测控技术与仪器 毕业论文范文——小波分析在测试信号中的应用研究

小波分析在测试信号中的应用研究摘要小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的应用。研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。本文旨在描述小波的基本理论，使用小波去噪算法。主要工作包括：详细讨论了小波分析的基本理论：介绍了连续小波变换，离散小波变换和二进小波变换；给出了小波变换的快速算法和重构算法；最后研究了小波基的数学特性，分析了它们对实际应用的影响和作用。详细介绍了Donoho和Johnstone等人提出的基于小波分析的硬阈值和软阈值函数去噪方法及其在信号处理中的应用，使用了软阈值去噪方案，最后通过Matlab仿真试验证实该方案的正确性和有效性。最后是整篇论文的总结。关键词： 小波变换，小波去噪，MATLAB，阈值Application and research of Wavelet analysis on test signalsABSTRACTWavelet analysis is a rapidly developing and novel subjectNowadays，it has been widely used in practical applicationsTo study the new theory，methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical valueThis dissertation aims to consummate the wavelet theory，use some wavelet de-noising algorithmsThe thesis mainly includes the following aspects：The fundamental theories of wavelet analysis are discussed in detailContinuouswavelet transform，discrete wavelet transform and dyadic wavelet transform are includedThe fast algorithm of discrete dyadic wavelet transform is givenFinally，an analysis is made on the influence of the wavelet bases on practical applications bystudying their mathematical propertiesThis dissertation introduce de-noising methods which is proposed by Donoho and Johnstone of the hard threshold and soft threshold function on wavelet and its application in signal processing in detail. Soft threshold method is applied. Finally, it is confirmed by the MATLAB simulation the correctness and effectiveness of the program.KEY WORDS：wavelet transform,wavelet de-noising,MATLAB,thresholding1 绪论简要介绍小波发展的历史和小波在不同领域中的应用概况。小波分析是近十几年来在国际上掀起研究热潮并有广泛应用价值的一个研究领域，探讨小波的新理论、新方法以及新应用成为当今数学界和工程界的一个发展方向。其涉及面之广、影响之大、发展之迅猛是空前的。小波分析之所有得到快速发展是因为它克服了傅里叶分析的缺点和局限性，是傅里叶分析的一个突破性进展，是一种崭新的时频分析方法。经典的傅里叶分析是通过信号的频谱来研究分析信号的特性的，傅里叶分析便成功成为最完美的数学理论与最广泛和有效地被应用着的（无论是在数学内部还是在科学与工程中）数学方法之一。虽然傅里叶分析方法方便有效，然而，经典的傅里叶变换有它固有的缺点，由傅里叶变换的定义可见，傅里叶变换取决于信号在实轴(-，+)上的整体性质，因此不能反映出信号在局部时间范围中的特征，即在时空域中没有任何分辨傅里叶变换在任何有效频段上的信息都不足以确定在任意小范围内的信号，无论在理论上还是实践中这个事实都带来许多困难和不便。在许多实际问题中，人们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特征。例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么位置出现什么样的反射波。这正是傅里叶变换难以奏效的弱点，而小波分析则给信号处理领域带来了崭新的思想。小波分析以不同的尺度（或分辨率）来观察信号，对信号分析的这种多尺度（或分辨率）的观点是小波分析的核心。小波分析与傅里叶分析的本质区别在于：傅里叶分析只是考虑时域与频域之间的一对一映射，它只是用单个变量的基函数表示信号；小波分析则是用联合的时间尺度函数来分析信号的，从根本上克服了傅里叶分析只能在时间域或频率域分析信号的缺陷。小波分析与时频分析的区别则在于：时频分析是在时频平面上分析信号，小波分析虽然也是在二维平面上分析信号，但不是在时频平面上，而是在所谓的时间尺度平面上。众所周知，信号处理现如今已成为当代科学技术活动中不可缺少的一部分，而在小波分析的许多领域中，都可以将其归结为信号处理问题。小波分析可以对信号进行时域和频域分析，具有时频局部化和变分辨特性，是一种新的多分辨分析方法，特别适合分析和处理非平稳信号，被誉为信息信号的“显微镜”。作为信号处理和分析的工具，傅里叶分析曾在数字信号处理领域占据绝对的位置，但随着小波理论的日趋完善，小波分析显示了其强大的生命力和显著的优越性，并且正在信号处理以及其他许多领域取得越来越广泛和深入的应用。1.1 小波发展简史近几年来，一种被称为小波变换的数学理论和方法正在科学技术界引起了一场轩然大波。在数学家看来，小波分析是一个新的数学分支，是泛函分析、傅里叶分析、样条分析、调和分析的最完美结晶。小波分析源于信号分析，小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出，可以追溯到1910年Haar提出的小“波”规范正交基及1938年Littlewood-Paley对傅里叶级数建立的L-P理论，即按二进制频率成分分组，傅里叶变换的相位变化本质上不影响函数的形状和大小。其后，Calderon于1975年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上H1的运作分解，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成一个正交系的结论。1981年，法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现传统的傅里叶变换难以达到要求，于是引入“小波”概念对信号进行分解。随后，理论物理学家Grossman对Morlet的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于1986年，当时Meyer创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移(j.k*t)=2-j/2(2-jt-k)：j,kZ构成L2(R)的规范正交基。继Meyer提出了小波变化之后，Lemarie和Battle又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中的小波函数的构造及信号按小波变换的分解及重构，从而成功地统一了在此以前的Meyer、Lemarie和Battle提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法现今称之为Mallat算法有限应用于图像分解与重构。与此同时，Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基，她的工作已成为小波研究的经典文献之一。这样小波分析的系统理论初步得到了建立。1988年，Ameodo及Grasseau等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生长现象。1990年，崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的所谓的单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。同时，Beylkin、Coifman等将小波变换应用于算子理论。1991年，Jaffard及Laurencot将小波变换应用于偏微分方程数值解，而Wickerhanser等将Mallat算法进一步深化，得到小波包算法，它对频带的划分突破了小波分析等划分的限制，拓宽了小波信号分析的适用范围，但是解决的关键问题是最优基选择和信号的自适应最优表示。Goodman等1994年基于r元多分辨分析建立了小波非基本理论框架，并给出了样条多小波的例子。1995年，Sweldens提出了通过提升方法（lifting scheme）构造新二代小波的新思想。利用这种方法可以构造非欧空间中不允许伸缩和平移，从而傅里叶变换已不再适用的情形下的小波基，使小波的构造摆脱了对傅里叶变换的依赖性。1996年，Donovan、Geronimo、Hardin和Massopust将分形理论中的迭代函数系统用于双尺度差分方程组，再次利用分形差值构造了所谓的DGHM小波。1998年，为了解决小波处理中高维奇异性等所带来的问题，Gandes在他的博士论文中首次提出了“脊波”（ridgelet）的概念。脊波是用一系列脊函数的叠加来表示相当广泛地函数类，同时具有基于离散变换的“近似正交”的脊函数框架。脊波的理论框架是由Gandes和Donoho完成的，它能够对高维空间中的直线状和超平面状的奇异性进行很好的逼近。时至今日，小波理论已相当丰富，并在继续蓬勃发展着。1.2 小波分析及其应用小波分析是近期发展起来的新型数学分支，小波分析的出现，是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结果，它无论是对数学还是对其它应用学科都产生了深远的影响。在数学界，它被认为是现代分析完美的总结，是继傅里叶分析之后调和分析发展史上的又一里程碑。在应用领域，特别是信号处理、图像处理、语言分析、模式识别、量子物理及众多非线性科学领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。小波分析是基于对傅里叶分析的继承和发展而来的一种全新的时频分析方法。我们知道，傅里叶基中的函数在频率域是完全局部化的，但在空间域或时间域上午任何局部性，相反地，Haar系中的函数在时间域上虽局部性很好，但它在傅里叶变量域上局部性却很差，小波基却兼有它们的优点。而寻求关于时间变量与频率变量都适合的基时Balian所提倡的，为了体现Balian的这一思想，Gabor与1964年引入了窗口傅里叶变换，但是窗口傅里叶变换是一种窗口大小及形状固定的时频局部化分析。但因为频率和周期成反比，因此，窗口傅里叶变换就无能为力了。而小波分析就是这样一种窗口大小固定但形状可以改变，因而满足以上要求的时频局部化分析方法。小波分析是对傅里叶分析的推广乃至根本性革命的结果，是一个优于傅里叶分析的有效地分析工具，已广泛地应用于众多的科学和工程领域，并取得了卓越的成效。它的应用范围主要包括：小波在数学领域中的应用，如求解微分方程、积分方程、函数逼近、分形、混 沌问题、概率小波、非线性分析等等。小波在信号处理中的应用，包括对信号进行分析与检测、识别、信号的滤波去噪、地质勘探、机械故障分析、地震检测等等。小波在图像处理中的应用，其中包括图像边缘信息提取与检测、图像数据压缩、图像去噪、图像编码、信息保密等。小波在通信中的应用，如CDMA、自适应均衡、扩频通信、分形调整等方面的应用。小波分析是不同学科、不同领域的交流与交叉学科发展的结果，是科学家、工程师与数学家们共同创造的，是理论与实践的相互促进与激励的产物。经过许多学科领域十多年的共同探讨研究，重要的数学形式已经建立，理论基础更加坚实，使得应用更加广泛和深入；反过来，这些应用研究也推动了小波理论的不断丰富和完善。2 小波分析理论简介2.1 小波分析小波分析在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，能够在低频部分得到较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分正好相反，得到的是较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。正是在这种意义下，它有极敏感的“变焦”特性，被誉为“数学显微镜”。设(t)L2(R)（L2(R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间），其傅里叶变换为()。当()满足允许条件(Admissible Condition)：C=R（）2d (2.1)时，称(t)为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet）。将母函数(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。对于连续的情况，小波序列为 a,b(t)=1a(t-ba) a,bR;a0 (2.2)其中a为伸缩因子，b为平移因子。对于离散的情况，小波序列为j,k(t)=2-j/2(2-jt-k) j,kZ (2.3) 对于任意的函数f(t) L2(R)的连续小波变换为Wf(a,b)=a-1/2Rf(t)(t-ba)dt (2.4)其逆变换为f(t)=1CRR1a2Wf(a,b)(t-ba)dadb (2.5)因为小波函数是一个对称双窗函数，当得的中心及半径分别为t*和时，同时当的傅里叶变换中的中心及半径为*（有对称性，只考虑正半频率轴，从而*0）和，则的伸缩、平移函数系a,b的中心及半径分辨为b+at*和a（设a0），a,b的Fourier变换a,b的中心为*a而半径为1a，亦即其时频窗由 t*-, t*+*-, *+变为 b+at*- a, b+at*+ a *a-1a, *a+1a，窗口中心为 （b,0/a）。其中b仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。现固定b，则当a逐步减小使，窗的中心逐步向高频方向移动，同时窗的宽度减小，但窗的高度增加；当a逐步增大时，窗的中心逐步向低频方向移动，同时窗的宽带增大，但窗的高度减小，尽管窗口面积的大小不变。2.2 多分辨分析1998年，MaRie与Meyer合作提出了多分辨分析的框架，其主要思想是：从L2(R)某个子空间出发，在这个子空间先建立起基底，然后利用变换，再把基底扩充到L2(R)中去，最终将L2(R)分解为一串具有不同分辨率的子空间序列。小波分析能够为L2(R)提供一个结构简单且具有良好局部性质的正交基。为此从多分辨分析开始。空间L2(R)的多分辨分析(简称MRA)是指L2(R)中的满足如下条件的一个空间序列Vj：(1)一致单调性： V-2V-1V0V1V2(2)平移不变性： u(x)Vju(x-k) Vj(3)伸缩相关性：u(x)Vj u(2x) Vj+1(4)逼近性：UjZVj=L2(R),jZ=0 (5)Riesz基的存在性：存在V0，使(x-k)kZ是V0的Riesz基从以上条件我们可以得出(x)(称为尺度函数)满足下面的双尺度方程：(x)=2kZhk (2x-k) (2.6)通过以上条件，我们可以证明，存在尺度函数V0，使它的平移系j，k(x)=2-j/2(2-jx-k):j,kZ构成所有Vj规范正交基。但因为VjjZ仅仅是L2(R)的单调的嵌套子空间序列，不是L2(R)的正交分解，所以不可能由Vj中的基合成L2(R)的规范正交基。因此，MRA就从VjjZ通过正交补的方法构造出L2(R)的正交分解子空间序列WjjZ,即所谓的小波子空间序列。具体的做法就是要从Vj的基构造出Wj的基，然后合成全空间L2(R)的基小波基。设Wj是Vj在Vj+1中的正交补，即VjWj=Vj+1则可得到小波函数(x)的双尺度方程：(x)= 2 kZgk(2x-k) (2.7)定理2.2.1：如果(x)为双尺度方程，记hk为低通滤波器传递函数H()的脉冲响应，其中hk=，H(2)= 12khkeik,则H()满足下列两个性质：性质1：H(0)=1性质2：H()2+H(+)2=l 定理2.2.2：设VjjZ为L2(R)的一个多分辨分析，记G()为H()相应的共轭滤波器，称为带通滤波器，记V-1W-1=V0，则存在1(x)使1(x-k)kZ为W-1的规范正交基。令(x)= 1(2x)，则j，k=2-j/2(2-jx-k):j，kZ为L2(R)的规范正交基。其中，G(2)=e-j2H(2+) (2.8)(x)的傅里叶变换为()=G(2)(2)经过上述的过程，构造出了L2(R)的规范正交基小波基。其实域表达式为：()=2kZ-1khk(2x+k+1) (2.9)所以多分辨分析为小波基，尺度函数和小波函数的构造及小波分析的应用提供了统一的框架，是小波分析的核心。小波多分辨分析以其特有的方式将小波函数和尺度函数、两个特定的空间序列、双尺度函数和相应的滤波器组联系在一起。有了尺度函数，小波函数的导出就容易了。但实际上大多尺度函数无显式表达式，它们只是通过选择系数hk作为(2-5)式的解来定义的，在实际应用中常采用这个方法。所以由(2-5)(2-7)(2-8)式就可以确定小波基了，其中gk=为高通滤波器冲击响应。这样，就得到了L2(R)的正交分解：L2(R)=j=-Wj并且子空间之间有以下关系：WjVjWjVj=Vj+1WjWk(kj)Vj=span2-j/2(2-jx-k)：kZ （jZ）Wj=span2-j/2(2-jx-k)：kZ （jZ）L2(R)=span2-j/2(2-jx-k)：j,kZ2.3 连续小波变换与离散小波变换对于小波概念的引入，除了通常从上述多分辨分析(MRA)这一途径外，还可以通过连续小波的定义出发。定义2.3.1： 设L2(R)为一个可测的、平方可积的一维函数空间，设(x)L2(R)，由满足R(x)dx=0的函数(x)平移、伸缩产生的函数族a.b(x)=a-1/2(x-ba) a,bR,a0 (2.10)称为连续小波。满足允许性条件R()2-1d的(x)称为母小波。其中，a、b分别称为尺度因子和平移因子。()是(x)的傅立叶变换。若将式(2-10)中的参数a、b离散化，取离散值：a=a0m，b=nb0a0m，m，nZ (2.11)就得到了离散小波：m,n=a0-12（a0-mx-nb0） (2.12)定义2.3.2：在定义2.3.1的基础上，函数f(x)在L2(R)上的连续小波变换定义如下：Wf(a,b)=a-1/2Rf(x)(x-ba)dx (2.13)连续小波变换的逆变换定义为：f(x)=1C-001a2 Wf(a,b) a.b(x)dadb (2.14)其中C=0(x)2d.设(x)满足允许性条件，令a(x)=1a(xa)，则Wf(a,b)=f*a=Rfxa（x-b)dx=1aRf(x)(x-ba)dx (2.15)为f的卷积型小波变换。若将式(2-13)中的参数a，b离散化，取离散值：a=a0j，b=kb0a0m，j,kZ (2.16)这里，扩展步长a0l，是个固定值，并总假定a01，就得到了离散小波变换：cj.k=Rf(x)j,k(x)dx (2.17)其逆变换定义为：f(x)=c-cj,kj,k(x) (2.18)其中j,k(x)= a0-j2(a0x-kb0)为相应的离散小波函数， c是一个与f无关的常数。二进小波变换是连续小波变换和离散小波变换的折衷，它是把正频率轴划分为不相交的邻接的频率带，即a取一些离散值,a=2j,jz，则得到二进小波变换为：W2jf(k)=12jRf(t)(2-jt-kb0)dt (2.19)其相应的逆变换定义为：f(x)=jZRW2jf(k)2j(2-jx-k)dk (2.20)若a、b取离散值a=2j,b=2jk,j,kz，即式(2-15)中取a0=2,b0=1，则得到二进正交小波变换：Wf(j,k)=12jRf(t)(2-jt-k)dt (2.21)其相应的逆变换定义为：f(x)=j,kZWfj,kj,kx (2.22)其中j,kx=2-j2(2-jx-k)为相应的二进离散小波函数。连续小波变换对信号f在小波基上的展开具有多分辨的特性，这种特性正是通过尺度因子a和平移因子b实现的。通过a、b的变化就得到了小波变换下不同的时频信息，从而实现对信号f的局部化分析。但在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。需要强调的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a和平移参数b的，而不是针对时间变量x的。因此，离散小波变换具有更加重要的应用价值和实际意义。在实际中通过对连续的尺度参数a和平移参数b采用二进制动态采样网格而得到的二进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数a进行了离散化，而对时间域上的平移参量b仍保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平移不变量，这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。二进小波将频率轴按二进制离散化，它有很多优良性质，是离散小波中常用的一种形式。2.4 小波变换的快速算法1989年，Mallat在图象分解和重构的塔式算法启示下，基于多分辨分析框间架提出了如今以他名字称谓的算法Mallat算法。该算法大大简化了小波系数的计算，在小波分析中的地位就相当于FFT在经典傅氏分析中的地位，为小波的应用开辟了一条捷径。可以毫不夸张地说，如果没有快速小波变换算法，小波分析也就只能是一种理论摆设。下面我们给出Mallat算法的基本思想和一些重要的公式。假设多分辨分析VjjZ中(x-kkZ是标准正交的，对应的小波基函数为L2(R)。由于j,kj,kZ构成L2(R)的一组标准正交基，因而对任给的函数(信号)fL2(R)，都可以用VjjZ来分析。因为对于某一特定的信号总是只具有有限的分辨率，所以可以假定fVj,Vj=spanj,kj,kZj为一确定的整数，并由UjZVj=L2(R)因此有f(x)=kZcj,kj,k (2.23)其中，cj,k=。式(2-23)称为f(x)的尺度函数展开表示。由多分辨分析知Vj=Wj-1Vj-1=Wj-1Wj-2Wj-MVj-M (2.24)故f(x)又可以表示为f(x)=J-MjJkZcj,kj,k+J-MjJkZcj,kj-M,k (2.25)其中，dj,k=。式(2-25)称为f(x)的小波级数展开表示。若记gj(x)= kZdj,kj,kWj , fj(x)= kZcj,kj,kVj则式(2-25)又可以写为f(x)=J-MjJgj+fJ-M它用f(x)在不同分辨层上的投影函数的叠加来表示f(x)，并随着j的增大，fj(x)越来越接近f(x)，即有f(x)=limjfj(x)而Mallat的分解和重构算法就是基于各层分解系数之间的关系的研究而构造出的结晶。由双尺度方程x=2nhn2x-n (x)= 2ngn2x-n (2.26)其中hn-2k= (2.27)gn-2k= (2.28)可得：j,k= nhnj+1,2k+n j,k=ngnj+1,2k+n (2.29)又由于cj,k=dj,k=因此系数之间有下列关系式：cj,k=nhn-2kcj+1,n dj,k=ngn-2kcj+1,n (2.30)这个由cj+1,kkZ计算cj,kkZ和dj,kkZ的算法称为Mallat分解算法。利用该分解算法可以很容易地由式(2-23)中的cj,kkZ计算出(2-25)中各个不同分辨层上的小波展开系数dj,kkZ (j=J-1，J-2,J-M)和在较“粗”尺度子空间中的尺度函数展开系数cJ-M,kkZt)。Mallat分解算法的过程可用图2.1表示。cjcj-1cj-2cJ-M dj dj-1 dj-2 dJ-M图2.1 Mallat分解算法的过程由于Vj+1=VjWj因而有j+1,k(x)=lljJx+lljJx (2.31)注意到j,kj,kZ的标准正交性，并利用式(2-29)可推出l=hk-2ll=gk-2l于是我们得到j+1,k(x)=lhk-2ljJx+ lgk-2ljJx (2.32)用f分别和式(2-32)两边做内积，则有cj+1,k(x)=lhk-2lcjJ+ lgk-2ldjJ (2.33)这就是Mallat重构算法。一般来讲，Mallat算法有两种不同的具体实现方式，分别为矩阵方法和卷积方法。矩阵方法：当引入矩阵H=(Hk,n)，G=(Gk,n)，其中Hk,n=hn-2k，Gk,n=gn-2k,并C0设为原始的采样信号时，我们就可以得到Mallat分解算法的简洁的矩阵分解形式：Cj+1=HCjDj+1=GCj （j=0,1，,J-1） (2.34)其中,Cj和Dj分别为尺度j上的逼近系数cj,k和小波系数嘭dj,k的列阵形式。H和G称为滤波器系数矩阵。相应的重构公式为Cj=H*Cj+1+G*Dj+1(j=J-1,J-2,1,0) (2.35)其中H*和G*分别是H和G的共轭转置矩阵，有关系H*H+G*G=1 (2.36)只有正交小波才满足上述结论，对于其它非正交小波而言，重构公式需变为Cj=HlCj+1+GlDj+1 (j=J-1,J-2, ,1,0) (2.37)其中Hl和Gl称为综合滤波器，且满足HlH+GlG=1 (2.38)其卷积实现方法为：若设S20dfn(nN)为原始信号f的采样序列S2jdfn(nz)为S20dfn(nN)在尺度j上的逼近系数，W2jdfn(nz)为S20dfn(nN)在尺度j上的小波变换系数，那么离散信号序列S2jdf，W2jdf1jJ构成了信号S20dfn(nN)的二进小波变换。小波快速算法的基本思想是在每一尺度j上，把信号S2jdfn(nZ)分解为下一尺度S2j+1df和W2j+1df，具体的卷积分解算法如下：S2j+1df =S2jdf*hjW2j+1df=S2jdf*gj j=0,1,J (2.39)其中，J为最优分解尺度,hj和gj分别表示h和g中每相邻两个系数之间插入2j-1个零构成的新的滤波器。相应地，卷积型小波快速算法的重构算法公式如下：S2jdf=S2j+1df*hj+W2j+1df*gj j=0,1,J (2.40)其中，hj和gj分别表示hj和gj的共轭。上述重构公式只适用于正交小波的情况，对于非正交小波，则要采用重构小波对应的滤波器系数pj和qj，相应的重构公式变为：S2jdf=S2j+1df*pj+W2j+1df*qj j=0,1,J (2.41)由矩阵方法实现Mallat算法时，每分解一次小波系数的长度就减半，因此若假设原始数据的长度为N=2k的话，小波分解的层数显然不能超过log2N。而在用卷积实现小波变换时，就没有分解层数的限制。相反，信号与滤波器进行卷积计算的结果还会使信号的长度略有增加，因此还需要在其两端作适当的截断处理，以便使信号经过小波变换之后其长度保持不变。还需要指出的是，以上两种方法实现Mallat算法过程中，均需要对原始信号或图象作一定的边界延拓，否则会出现明显的边界效应。2.5 小波基的数学特性2.5.1 正交性正交性是小波基的一个非常优良的性质，也是一个非常朴素的性质，早期研究的小波大多是正交小波，它在理论上是近乎完美的。正交小波对应的低通滤波器和高通滤波器系数之问有着直观的联系，即gn=(-1)nh1-n或gn=(-1)n-1h-1-n (它们在相差一个平移因子的意义下是等价的)，这对正交小波的构造和实际应用都带来很大的方便。通过正交小波基进行的多尺度分解得到的各子带数据分落在相互正交的L2(R)的子空间中,使各子带数据相关性减小，这有利于数值计算和数据压缩，另外在计算小波反变换时，重构滤波器和分解滤波器之间只差一个共轭，算法更加简洁，从多分辨分析出发构造正交小波基已成为一种非常经典的方法，之后的Mallat快速算法最初也是针对正交小波提出来的。对于任一函数(x)L2(R)，其平移系(x-k)kZ构成规范正交基的充要条件是=kl (2.42)或是(+2k)=12 (2.43)设H()和G()分别是规范正交基对应的低通滤波器和高通滤波器传递函数，则他们都是以2为周期的函数，并且H() G()H(+) G(+)为一酉矩阵，其中H(0)=l。但是，能准确重构的、正交的、具有线性相位的有限冲激响应滤波器组是不存在的,在实际应用中，要么舍弃正交性条件，要么丢掉其对称性(或线性相位)。另外，从正交角度出发可以把小波基分为四类，它们分别是正交小波基、半正交小波基、平移正交小波基和双正交小波基，其中正交小波基和双正交小波基最为常用。除正交小波基外，其余小波基对应的分解滤波器和重构滤波器都是不同的，我们可以根据需要设计分解滤波器和重构滤波器的长度，尽可能既提高分解速度又保证其重构精度。2.5.2 消失矩定义2.5.1：对于小波函数(x)L2(R)，如果它满足-+xrx=0 r=0,1,R-1 (2.44)则称(x)具有R阶消失矩。上述定义的条件等价于在=0处有R阶零点，即dr()dr=0=0 r=0,1,R-1 (2.45)对于一般的小波来讲，需满足-+x=0因此，至少有一阶消失矩。为了满足小波生成的基本条件0=0，要求它对应的高通滤波器G()应含有因子PN=(1-ej2)N其中PN满足PN0=0和PN0=1，表现为基本的高通滤波性质，从时域分析看，它描述了N阶的前向差分算子N，类似于图象处理中的锐化算子，因此，我们称PN为N阶锐化特性滤波器。此时，阶数与消失矩R是一致的。一般来说，如果一个小波的消失矩为R，则它对应的滤波器长度不能小于2R。Daubechies小波基、双正交小波基、Coiflets小波基和Symlets小波基等系列都是具有较高的消失矩。从数值计算的角度看，消失矩的作用体现在压缩矩阵上，高的消失矩可使矩阵变得更加稀疏。在信号检测的应用中，为了能够有效地检测奇异点，小波基的消失矩也必须有足够的阶数，它与Lipschitz指数密切相关。然而，突变信号的Lipschitz指标一般在0，1)内，因此，消失矩的阶数也不能太高，过高的阶数将使分析结果模糊。另外，从计算量的角度考虑，消失矩的阶数与紧支撑区间相关，过高的阶数将增加计算量。2.5.3 正则性正则性一般用来刻画函数的光滑程度。正则性越高，函数越光滑。在数学上，函数的正则性通常用Lipschitz指数来刻画。定义2.5.3：(1)如果存在一个常数k0和一个n=a的多项式pn(t)，使得tR,有f(t)-pn=kt-t0 (2.46)则称函数f(t)在t0处具有局部Lipschitz指数0。(2)如果对于任意t0a,b，函数f(t)都具有局部Lipschitz指数，则有(2-57)式成立，而k是与t0无关的常数，则称函数f(t)在区间a,b上具有一致Lipschitz指数0，并称f(t)具有Lipschitz正则性，其正则性阶数定义为的上确界。具有一致Lipschitz指数的函数称为C类函数。事实上很容易理解，Lipschitz指数描述的正好是函数f(t)与多项式pn(t)的近似程度。因为若f(t)在t0点n次连续可导，则pn(t)正好是f(t)的Taylor级数展开的前n项。特别地，如果01，则pn(t)=f(t0)，此时，Lipschitz条件为ft-pn(t)=kt-t0由定义可知，阶跃信号在突变点处的Lipschitz指数为0，脉冲函数在冲击处的Lipschitz指数为负值。越大，函数越光滑，奇异性越小；越小，表明函数在该点处的变化越剧烈，也就是奇异性越大。例如， 若f(t)在t0点连续可微，则在该点的Lipschitz指数为1；f(t)在t0点可导，而导数有界但不连续时，Lipschitz指数仍为l。若f(t)在t0点不连续，但是在其一个邻域内是有界的，则在该点的=0。如果f(t)在t0处的Lipschitz指数1，则表明f(t)在该点处不可微，称f(t)在t0处是奇异的。可见，刻画了奇异性的类型。分析f(t)的Lipschitz正则性的传统方法是考察f(t)的傅里叶变换f()的渐进衰减性，可以证明当f()满足-+f(1+d (2.47)则有界函数f(t)在(-,+)上具有一致Lipschitz指数。刻画了函数f(t)的整体性的强弱。(2-58)式给出了f(t)在整个实数域上整体正则性的充要条件，但从该条件无法确定函数在某个特定点t0的局部奇异性。这是因为傅里叶变换只能做单纯的频域分析，对信号的表示缺乏空间局部特性，即不具有对空间变量进行信息定位的功能，因而傅里叶变换只能确定信号奇异性的整体性质，无法确定奇异点的空间分布。由上述定义可以看出，正则性在数学上表现为小波基的可微性或光滑性。Mexican hat小波基和Meyer小波基都是无限可微的，因而满足(t)C,Daubechies小波基，对于大的阶数P，其正则性大约为0.2P，因而满足少(t)C0.2P。连续可微的小波基对于在小波变换中有效地发现奇异点是必要的，对于大部分正交基，正则性越高就意味着有更高的消失矩。函数在某一点或某一区间内k-l阶导数连续，但是k阶导数不连续(k为任意自然数)，则称该函数在这一点或这一区间k-1阶光滑。k-1阶光滑函数的傅里叶变换趋向于零的速度为O(1k+1)。在实际中为分析和应用的方便，希望小波具有一定的光滑性，但这与紧支和快速衰减性相矛盾，在此之间需要进行平衡。2.5.4 紧支性 若函数(t)在区间a，b处值恒为零，则称该函数在这个区间上紧支，称a,b为(t)的支集，具有该性质的小波称为紧支撑小波。紧支性是小波的重要性质，也是“小波”这个名词的由来，支集越小的小波，局部化能力越强，紧支小波不需要人为截断，应用精度很高。在信号突变检测中，紧支小波基是首要选择，若将小波函数(t)看成带通滤波器，则我们可以通过改变其支集的大小来调整通频带的带宽。就紧支性而言，紧支撑区间越小，越有利于确定信号的突变点，不过同时又失去了好的正则性。一个高效的小波基最好能在时域和频域上同时表现出紧支性，这样就可以避免频域上交叉项的影响，在时域上也不会引起泄露。然而由测不准原理可知，同时具有紧支性是不可能满足的。一般更希望小波基能够在时域上具有紧支性，因此我们通常所指的紧支性为时域紧支性。常见的紧支小波基有：Daubechies小波基系、Coifman小波基系和Symlets小波基系；Mexican hat小波基、Meyer小波基都不具有紧支性。2.5.5 对称性对称滤波器组具有两个优点：(1)人类的视觉系统对边缘附近的量化误差较非对称误差更不敏感；(2)对称滤波器组具有线性相位特性，对图象边缘作对称扩展时，重构图象边缘部分失真较小，有利于复杂特性的分析(如序列目标检测和分类)。下面给出线性相位的定义及其对称的关系。定义2.5.4：令(t)L2(R)，如果它的傅里叶变换满足=eia， a.e (2.48)其中a实常数，且正负号与无关，则称(t)具有线性相位。如果它的傅里叶变换满足=Fe-l（a+b)， a.e其中F是一个实值函数，a，b为实常数(a称为的相位)，则称(t)具有“广义线性相位”。函数(t)L2(R)具有“广义线性相位”，当且仅当eib(t)满足eiba+t=eib (a-t)即eib(t)关于a“斜对称”。一个函数(t)L2(R)具有“广义线性相位”，当且仅当它是对称或反对称的，即a+t=a-t (对称性)或a+t=-a-t (反对称性)对称或反对称的尺度函数和小波函数是非常重要的，因为可以构造紧支的小波基，使其有线性相位。在信号分析中，尺度函数和小波函数又能作为滤波函数，如果滤波器具有线性相位，则能避免信号在分解与重构中失真。不过，值得注意的是，对称和反对称小波在检测信号的奇异性时的表现是不同的：对于跃阶边缘，反对称小波变换在该处为最大值，而对称小波呈现过零值；而对峰值跳变信号来讲，情况刚好相反。但是，Daubechies己证明，除Haar小波基外，不存在实的、规范正交同时具有对称或反对称的紧支小波函数。为了得到小波基的对称性，人们作了大量的改进工作，归纳起来有两大类方法：(1) 在构造和时，使用某些技巧，使和具有一定的对称性。例如，可以通