数学专业毕业论文 全矩阵环的一类基.doc

全矩阵环的一类基程治胜 （孝感学院 数学系021114204，湖北 孝感 432100）摘要：1994年，Hochwald对矩阵代数上的可乘映射问题进行了探讨，证明了：定理A（Hochwald） 若是一个保谱的可乘映射，则存在一个可逆矩阵，使得，2004年，程美玉等将Hochwald定理中的“保谱”条件弱化为“保迹”，得到了同样的结果.本文利用他们的结果证明了：定理设是一个域，（）是全矩阵环中个矩阵，且满足，（）， 其中为Kronecker符号则或者所有（）全为零，或者存在可逆矩阵，使得，其中表示位置是1，其余位置是0的矩阵关键词：全矩阵环；基；可乘映射；保迹；保谱A kind of basis of entire matrix ringsCHENG Zhi-sheng (Department of mathematics,Xiaogan Universty, Xiaogan,Hubei 432100,China)Abstract： In 1994 Hochwald discuss the question of multiplicative maps on matrix algebra and had proved theorem A:If ： is a multiplicative map which preserve spectral,then there exists a invertible matrix make =，.In 2004 Cheng meiyu weaken the condition of preserve spectral and get the same conclusion.we use their conclusions to prove theorem 1 .Let is a field and there are matrixs satisfy ，the Kronecker sign either all are zero matrixs or there exists a invertible matrix T make ,among which sign represents a matrix which element lie in is one and others are zero.Key words：entire matrix rings; basis; multiplicative maps ; preserve spectral; preserve track.0 引言与主要结果1994年，Hochwald在文献1中对矩阵代数上的可乘映射问题进行了探讨，证明了：定理A 1 若是一个保谱的可乘映射，则存在一个可逆矩阵，使得，2004年程美玉、李兴华将Hochwald定理中“保谱”条件弱化为“保迹”，证明了定理设是一个域，是一个乘法半群且满足，其中是定义在上的所有矩阵组成的乘法半群若是一个保迹可乘映射，则存在一个可逆矩阵，使得， 本文利用文献、的结论，得到了全矩阵环的一类基及其关系，我们的主要结果是：定理1设是一个域，（）是全矩阵环中个矩阵，且满足，这里是Kronecker符号.则或者全为零，或者存在可逆矩阵，使得，其中表示位置是1，其余位置是0的矩阵1 预备知识本文用表示域上的全矩阵环，用是的迹用表示标准单位列向量，其中,，用表示Kronecker符号，它定义为定义11,2 一个映射称为一个乘法映射（或称保持乘法）如果，定义21,2一个乘法映射被称为是保谱的，若. 其中是的所有的特征值的集合定义32 一个乘法映射是一个保迹的乘法映射，若定义4称为幂零矩阵，如果，引理1 全矩阵环的一组基满足，这里表示Kronecker符号 证明 当时, 当时,下面给出引理1的逆命题：引理2 设有个矩阵，满足 则所有 或者全为零，或者全不为零证明 若存在某 ()，则对，有证毕引理3 满足的非零矩阵是的一组基证明若 式两边同时左乘右乘得 当时，有因此式等价于即 证毕引理4满足（1）的是中个彼此正交的非零幂等矩阵证明 由（1）得，即；当时，即得是中个彼此正交的非零幂等矩阵引理5 幂零矩阵的特征值全为零证明 设为的任意特征值,为的属于的特征向量，即，则（），即得 证毕引理6 证明 当时由于是中个彼此正交的非零幂等矩阵根据文献2中的引理可逆矩阵使得从而当时由于,因此是幂零矩阵根据引理有.故证毕.2 定理的证明在证明定理1之前，我们首先构造映射 其中满足条件下面我们逐步证明所具有的性质：引理 是上的乘法映射 证明 有而 故 证毕引理 是保迹的证明 由于引理6知： 从而 引理 若是乘法映射,并且保迹，则存在可逆矩阵使得定理的证明构造上述映射由引理得存在可逆矩阵使得 即 故 致谢毕业论文终于顺利完成了，在此，要特别感谢我的指导老师胡付高副教授给予我的大力支持与悉心指导！参考文献1 Hochwald S HMultiplicative maps on matrices that preserve the spectrumJLin. Alg. Appl. ,1994 ,212/ 213 :339-3512 程美玉,李兴华保持矩阵迹的乘法映射J数学杂志200424(1) :43 Beasley L B,Pullman N L.Linear operators preserving idempotent matrices over fieldJ.Lin.Alg.Appl.1991,146:7-204 李强,曹重光.反对称矩阵空间行列式保持映射J.黑龙江大学自然科学学报,2005,22(1):86-885 安桂梅,侯晋川.反对称矩阵空间行列式保迹映射J.山西师范大学学报(自然科学版),2002,16(1):1-46 曹重光,张显.幂保持加法映射J.数学进展,2004,33(1):103-1097 曹重光,张显.保特征2的域上幂等矩阵的线性算子J.数学研究与评论,