《导数的应用习题》PPT课件.ppt

导数的知识点 一、知识点 1导数应用的知识网络结构图： 2基本思想与基本方法： 数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调 性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探 讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极 值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践 的辩证关系，具有较大的实践意义。 求有导数函数y=f(x)单调区间的步骤： i）求f(x)； ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）； iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。 证明有导数函数y=f(x)在区间(a，b)内的单调性： i）求f(x)； ii）解不等式f(x)0（或f(x)0）； iii）确认f(x)在(a，b)内的符号； iv）作出判断。 注意： 1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. 2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于 零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点. 3.注意在某一区间内 (1时, 故当x1时, 当00或x0)的极大值为6,极小 值为2. (1)试确定常数a、b的值; (2)求函数的单调递增区间. 答案:(1)a=1,b=4. (2)单调递增区间为(-,-1)和(1,+). 例3:试问:曲线y=x6/3上哪一点的法线在y轴上截距最小 ?(所谓法线是指:过曲线上一点与以此点为切点的 切线垂直的直线). 解:在已知曲线上任取一点(x, x6/3),则过该点的切线的 斜率为 ,从而法线的斜率为 故法线方程为 令X=0,得法线在y轴上的截距: 则令 ,得 当x1 时, ,则Y单调增加. 故当 时,Y有最小值5/6,此时点 为所求. 练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3与x=1处都 取得极值. (1)求a、b的值; (2)若x-1,2时,不等式f(x)2. 练习3:若函数f(x)=x3+bx2+cx在(-,0及2,+)上都是 增函数,而在(0,2)上是减函数,求此函数在-1,4上 的值域. 答:由已知得 可求得c=0,b=-3,从而f(x)= x3-3x2.又f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数f(x) 在-1,4上的值域是-4,16. x y 例4: 如图,在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. 解:设B(x,0)(00得x=1. 而01时, ,所以x=1是f(x)的 极小值点. 所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1. 从而当x0时,f(x)1恒成立,即: 成立. 三、小结 四、作业 1.要充分掌握导数应用的基本思想与基本方法. 2.要认识导数应用的本质,强化应用意识. 3.认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化,数形结 合等数学思想方法,发展延拓,定能不断提高解题的 灵活性和变通性. p.257258课后强化训练. 例2:已知f(x)=x2+c,且ff(x)=f(x2+1) (1)设g(x)=ff(x),求g(x)的解析式. (2)设 ,试问:是否存在实数 ,使 在(-,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数. 说明:此题为p.248第15题. 解:(1)由已知得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)= (x2+1)2+c; 由ff(x)=f(x2+1)得:(x2+c)2+c=(x2+1)2+c,即 (x2+c)2=(x2+1)2,故c=1.所以f(x)=x2+1. 从而g(x)=ff(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2. (2) 若满足条件的 存在,则 由函数 在(-,-1)内为减函数知,当x-1时, 即 对于 恒成立. 又函数 在(-1,0)内为增函数知,当-1x0时, 即 对于 恒成立. 故当 时, 在(-,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是 增函数,即满足条件的 存在. 另解:由已知的单调性知:(-,-1)内 ,(-1,0)内 又 在点x=-1处连续,故点x=-1是极小值点. 例5:如图宽为a的走廊与另一走廊 垂直相连,如果长为8a的细杆 能水平地通过拐角,问另