《重积分练习》PPT课件.ppt

例4. 改换 解：写出D的表达式， 画 D 的图形 改为先对x再对y的积分 y x 0 D 2 4 解：积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 解 ： 原式 例3. 求 解：由于是“积不出”的，怎么办？ 要改换积分次序. 先画积分区域D的图形. 由积分表达式知，D： y x 1, 0 y 1 画曲线 x=y 和 x=1，直线y=0, y=1. 如图： 故 原式 = y x 0 D y = x 例. 设D：a x b, c y d. f(x, y)=f1(x)f2(y)可积， 则 y x 0 d c ab 例5. 关于分块函数在D上的积分. 其中D：0 x 1, 0 y 1 解：积分区域如图 记 f (x, y) = | y x | = yx, 当y x时, xy, 当y x时, 且区域D1: y x和D2: y x分处在直线y=x的上，下方. 故，原式 = y x 0 1 1 D D2 y = x D1 注：分块函数的积分要分块(区域)来积. 另外，带绝对值的函数是分块函数 。 y x 0 D2 1 1 y = x D1 D 例2 计算二重积分 ,其中区域 为矩形： 解 因为 ,所以 或先积 再积 例3 计算二重积分 .其中积分区域 分 别如下图所示： 三角形； 四分之一椭圆。 解 因为下图所示的三角形 区域的斜边方程是 所以 可表示为 前图所示的四分之一椭圆区域可表示为 因此 例4 计算二重积分 ,其中 是由三条线 所围成 的区域. 解 易知积分区域可表为 于是 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 原式 备用题 1. 给定 改变积分的次序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 计算其中D 为由圆 所围成的及直线 解： 平面闭区域. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1 求由旋转抛物面 z = 6 x2 y2 与 xy 坐标平面 所围成的立体的体积. 解由图 1 可见， 该立体是以曲面 z = 6 x2 y2 为顶， x2 + y2 = 6 为底的曲面柱体. 利用对称性，得 图 1 例 2 求由锥面 及旋转抛物面 z = 6 x2 y2 所围成的立体的体积. 解 画出该立体的图形， 求出这两个曲面的交线 在 xy 面上的投影曲线为 曲面围成的体积 它是所求立体在 xy 面上 的投影区域 D 的边界曲 线. 所求立体的体积 V 可 以看作以 z = 6 x2 y2 为顶、 以 D 为底的曲顶 柱体的体积 V2 ， 减去以 为顶、 即在同一底上的曲顶柱体的体积 V1 所得， 方法1. 投影法 (“先一后二” ) 该物体的质量为 细长柱体微元的质量为 微元线密度 记作 方法2. 截面法 (“先二后一”) 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度 记作 投影法 方法3. 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 其中 为 例3. 计算三重积分 所 解: 在柱面坐标系下 及平面由柱面 围成半圆柱体. 例4. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中 由抛物面 原式 = 3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 2. 计算其中 解: 利用对称性 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为 变量可分离. 围成 ; 2. 设计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 3. 设 由锥面和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 备用题 1. 计算 所围成. 其中 由 分析：若用“先二后一”, 则有 计算较繁! 采用“三次积分”较好. 所围, 故可 思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 表为 解: 例5. 计算三重积分 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中 与球面 解 所围成的立体如图， 所围成立体的投影区域如图 ， 解 解 例5 计算 解 故 例6 解一 解二 先单后重 将 投影到 xoy 面得D 先重后单