ch-6-2两类换元积分法和分部积分法.pptx

数学分析 第二节 换元积分法和分部积分法 二、分部积分法 重点：换元法和分部积分法的应用 难点：换元法的应用要点与灵活性 分部积分法的应用要点 一、换元积分法 数学分析 问题 解决方法利用复合函数，设置中间变量. 过程令 一、换元积分法 1、第一类换元法 数学分析 在一般情况下： 设 则 如果（可微） 由此可得换元法定理 数学分析 第一类换元公式（凑微分法） 说明使用此公式的关键在于将 化为 定理1 关键 找出合适的函数 f 和 数学分析 例1 求 解（一） 解（二） 解（三） 方法: 凑系数 ；三角恒等式. 数学分析 例2 求 解 一般地， 方法: 凑系数 . 数学分析 例3 求 解 练习 求 (1) (2) 数学分析 例4 求 解 方法: 直接凑 . 数学分析 例5 求 解 方法: 直接凑 . 数学分析 练习 求 数学分析 例6 求 解 方法: 添平衡项 . 数学分析 例7 求 解 方法: 配方后用积分公式 . 数学分析 例8 求 原式 解 方法: 有理化 . 数学分析 例9 求 解(一) 方法: 三角函数恒等式变形 . 解（二） 数学分析 例10 求 解 数学分析 例11 求 解 结论: 当被积函数是三角函数正弦或余弦 的多项式时，奇次直接凑微分; 偶次降次. 数学分析 例12 求 解 数学分析 例13 求 解 数学分析 例14 求 解（一） （应用三角函数恒等变形） 数学分析 解(二) 类似地可推出 数学分析 解 例15 设 求 . 令 数学分析 练 习 解 数学分析 作 业 P246: 1 (书上，不交). P259: 1, 2(3,4,5,6,19,20) . 数学分析 问题 解决方法改变中间变量的设置方法. 过程令 （应用“凑微分”即可求出结果） 2、第二类换元法 数学分析 证设 为 的原函数, 令 则 则有换元公式 定理2 数学分析 第二类积分换元公式 数学分析 例16 求 解 令 数学分析 例17 求 解 令 数学分析 例18 求 解 令 数学分析 说明（1 ） 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 可令 可令 可令 数学分析 说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代 换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式 例 中, 令 数学分析 说明(3) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换 例19 求 令解 练习：试用拆项的方法求此积分 数学分析 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换（倒代换或双曲代换）并不是绝对 的，需根据被积函数的情况来定. 说明(4) 例20 求（三角代换很繁琐） 令解 数学分析 基 本 积 分 表 (2 ) 3、基本积分表 数学分析 数学分析 4、两类换元法的比较 两类积分换元法 （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表(2) 两类积分换元法比较 相同: (1)引入新积分变量; (2) 复合函数求导 不同 变量类型 代换方式 第一类 中间变量 直接代入 第二类 自变量 求反函数后再代 数学分析 思考题 求积分 数学分析 思考题解答 数学分析 练习 求 解令 数学分析 问题 解决思路利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分公式 三、分部积分公式 数学分析 问题：u, v 如何选择？ 分部积分公式 例 求积分 若 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 数学分析 例1 求积分 解令 数学分析 例2 求积分 解 （再次使用分部积分法） 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) 数学分析 例3 求积分 解令 # 数学分析 例4 求积分 解 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为u . # 数学分析 例5 求积分 解 注意循环形式 数学分析 例6 求积分 解 数学分析 课堂练习： 求积分 #1. #2. 数学分析 例7 求积分 解 数学分析 数学分析 数学分析 解法 例9 求 下面求法同例2 数学分析 解 两边同时对 求导, 得 例10 数学分析 解