博弈论作业及答案 浙江财经大学 张老师作业答案.doc

第1次作业 1、考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请，该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为1/2。现在假定每家企业的工资满足：W1/2W20，试计算此博弈的贝叶斯均衡。博弈论第1次作业答案1、a写出以上博弈的战略式描述 学生B 企业1 企业2 学生A 企业1 企业2 b求出以上博弈的所有纳什均衡（包括混合策略均衡） 存在两个纯战略纳什均衡：分别为（企业1，企业2），收益为。（企业2，企业1），收益为。 存在一个混合策略均衡：令学生A选择企业1的概率为，选择企业2的概率为;学生B选择企业1的概率为，选择企业2的概率为。当学生A以的概率选择时，学生B选择企业1的期望收益应该与选择企业2的期望收益相等，即：解得：,同理求出：解得：, 所以，混合策略纳什均衡为：学生A、B均以的概率选择企业1，企业2。 2、该模型的纳什均衡是什么？当趋向于无穷大时博弈分析是否仍然有效？各厂商的利润函数为：求解：对其求导，令导数为0，解得反应函数为：纳什均衡,必是n条反应函数的交点 . .得到： ，且为唯一的纳什均衡。 当趋向于无穷大时博弈分析无效。，此时为完全竞争市场，此时博弈分析无效。 3、问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？ 设：边际成本不变，为，。 计算得市场出清价格为： 两个厂商的利润函数为：求解：对其求导，令导数为0，解得反应函数为：纳什均衡,即（20,30）为两条反应函数的交点 得到： ，。 此时： ，。 4、若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？ 设居民选择的养鸭数目为，则总数为。假设：居民的得益函数为：计算：得到反应函数：5、 反应函数的交点是博弈的纳什均衡。将带入反应函数，得：。此时：。此时，然后讨论下若，则，上述博弈成立。若，则5、问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？矩阵1：妻子丈夫活着死了活着1，1-1，0死了0，-10，0矩阵2：妻子丈夫活着死了活着0，01，0死了0，10，0矩阵3：妻子丈夫活着死了活着-1，-11，0死了0，10，0用划线法得出三个矩阵的纳什均衡分别为：矩阵1：（活着，活着） （死了，死了） 可以看出这对夫妻间感情十分深厚。这对夫妻同生共死，一个死了，则另一个也选择死去。如果一个死了，一个活着，那么活着的将生不如死。矩阵2：（活着，活着） （活着，死了） （死了，活着）可以看出这对夫妻间感情一般。这对夫妻共同活着没有收益，一个死了，对于另一个来说反而更好。矩阵3：（活着，死了） （死了，活着）可以看出这对夫妻间感情很槽糕。这对夫妻共同活着对双方来说是生不如死。一个死了，对于另一个来说反而更好。 6、（1）如果，试求此博弈的Nash均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。 （2）如果，试求此博弈的Nash均衡。 （1）收益为： 得出反应函数为： 纳什均衡为两条反应函数的交点，代入得出： 两个人都不会努力的（2）收益为： 分别求偏导： 此时，两个人的努力程度都与对方的努力程度有关时，博弈一方越努力，另一方就选择努力程度为0，此时纳什均衡为（0,0）时，双方收益均达到最大值，此时纳什均衡为 时，博弈一方越努力，另一方选择努力程度为1，此时纳什均衡为（1,1） 第2次作业答案1， （1）用扩展型表示这一博弈。 （2） 这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？ 运用逆向法，由乙先来选择，在两个子博弈中，乙选择红色所示的路径。再由甲选择，在（高档，低档），（低档，低档）之间选择。甲选择绿色所示路径。最终的子博弈完美纳什均衡是（高档，低档），双方的收益为（1000,700） 2、（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡； 同时决策时，两个企业都为了各自利润最大化 分别对各自利润求导，并令导数为0 解得： ， 此时，两个企业同时决策的纯策略纳什均衡为企业1,2的价格为（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；企业1先决策，则企业2会在知道企业1的决策后，寻求自身利润最大化所以： 将带入 此时， ，跟同时决策时的纳什均衡相同。 企业1先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为（3） 企业2先决策的子博弈完美纳什均衡； 企业2先决策，则企业1会在知道企业2的决策后，寻求自身利润最大化 所以： 将带入 此时， 企业2先决策的子博弈完美纳什均衡为企业1,2的价格为（4）是否存在参数的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？ 企业在先决策时得到的利润大于后决策时的利润时，会希望先决策企业1希望先决策：，企业2希望先决策：，结论：， 3、（1）企业1没有引入新技术求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0 得到： ， （2）企业1引入新技术求两个企业的利润最大化，只要对利润函数求偏导，并另偏导为0 得到：，此时，引入新技术使得企业1的利润不少于没有引入新技术前的利润，所以得到时，企业1会选择引进新技术。 4、（1）企业1的产量，企业2以产量进入市场 企业2后进入市场，则企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化所以： 将带入，得 此时， ， （2）企业1的产量，企业2以产量进入市场时利润为0，觉得不进入市场 企业2后进入市场，则企业2会在知道企业1的决产量后，寻求自身利润最大化所以： 将带入，得 ，此时，企业2不进入市场。 5、三个企业的利润函数为： 企业2和企业3观察到企业1的产量后同时选择产量企业2和3均为了各自利润最大化选择产量，求解出各个的反应函数：，将反应函数带入企业1的利润函数，得对其求偏导，求解出企业1利润最大时的产量得到:, ,此时：第三次作业答案1、两个人的得益矩阵如下：BA努力偷懒努力偷懒一次博弈纳什均衡为（偷懒，偷懒），无法实现帕累托最优（努力，努力）。无限次博弈时，对于A，第一阶段选择努力，（1） 若前t-1时刻选择均为努力，t时刻也选择努力（2） t时刻选择偷懒，则前面的行为均为偷懒达到（努力，努力）这个均衡，使，即，采取触发策略。、均衡为（努力，努力），合作产生。 2、假设：厂商2在时，产量为，利润为； 厂商2在时，产量为，利润为对于厂商2来说，分别具有50%的概率得到以下的利润 对于厂商1来说，利润为 求解上面三个式子的一阶导数，并令其为零，得到得到：该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1的产量为，厂商2在时，产量为；在时，产量为。 3、考虑到在上呈均匀分布，对于厂商1，对于厂商2， 对于厂商1,2的利润函数求一阶导数，并令其为零得到该博弈的纯战略贝叶斯均衡为，厂商1,2的产量均为1 4、假设：此博弈的贝叶斯均衡为企业1,2的