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微电子学研究院 可靠性的数学基础 可靠性的数学基础部分 q 可靠性的定量表征 q 常见的失效分布 q 产品的寿命表征 q 可靠性框图和数学模型 q 分布的检验 主要内容： 可靠性的数学基础部分 1 可靠性的定量表征 概念： 可靠性 失效 寿命 产品可靠性的数学描述：可靠度、失效概率、 失效概率密度、瞬时失效率、平均寿命、可靠 寿命等 3 可靠性的数学基础部分 x：为随机变量，这里指产品寿命； N：为进行试验的产品总数； n(t)：为试验到t时刻失效的总个数； N(t)：为工作到t时刻仍在正常工作的产品数。 R(t)描述了产品在(0,t时间内完好的概率 1.1 可靠度R(t) 可靠度是指产品在规定的条件下，在规定的时间内，完成 规定功能的概率。常记作R(t)，也称为可靠度(函数)。 可靠性的数学基础部分 1.2 失效概率F(t) 失效概率也叫累积失效概率或不可靠度(性)或分布函数 ，是指产品在规定的条件下，在时间t以前失效的概 率，是寿命这一随机变量的分布函数，记作F(t)。 R(t)与F(t)是对立事件，其概率之和应为1 可靠性的数学基础部分 图1 F(t)与R(t)时间曲线 n(t = 0) = 0 R(t = 0) =1 F(t = 0) = 0 n(t = ) = n R(t = ) = 0 F(t = ) = 1 可靠性的数学基础部分 1.3 失效概率密度f (t) 失效概率密度(失效密度或分布密度)是指产品在t时刻的 单位时间内，发生失效的概率，它用来描述在0+ 的整个时间轴上的分布情况。是寿命这一随机变量 的密度函数f (t)。 可靠性的数学基础部分 Dn(t)表示(t, t+Dt)时间间隔内失效的器件数 可靠性的数学基础部分 1.4 瞬时失效率(失效率)l (t) 失效率是指产品在时刻t尚未失效的器件在单位时间内失 效的概率，它用来描述在各个时刻仍在正常工作的 器件失效的可能性。记作l (t) 在时刻t完好的产品，在t, t+Dt时间内失效的概率为 在单位时间内失效的概率为 可靠性的数学基础部分 由于 所以 可靠性的数学基础部分 两端取积分，有 R(t)、F(t)和l(t)的关系： 可靠性的数学基础部分 2 常见的失效分布 电子元器件可靠性大都是用其寿命来表征 确定产品寿命服从何种分布的方法一般有两种： 1。根据物理背景来确定(寿命与承受的应力、内在 结构及物理、化学、机械性能有关，与产品失效时 的物理过程有关) 2。通过寿命试验及使用情况，获得产品的失效数据 用统计推断的方法来判断它是何种分布 可靠性的数学基础部分 图 一般电子元器件的失效率与时间的关系(浴盆曲线) 电子元器件的失效规律 可靠性的数学基础部分 第I区(早期失效阶段)：失效率高，失效率随时间的增加 而下降；由一种或几种具有一定普遍性的原因(如设计、 制造中的缺陷)所造成，对不同品种、不同工艺的器件， 这一阶段的延续时间和失效比例是不同的。 减少该阶段失效的办法：严格工艺操作、半成品和成品 的检验，合理筛选。 第II区(偶然失效阶段)：失效率低，近似为一常数，是器 件的良好使用阶段，失效是由多种而又不太严重的偶然 因素引起的。是产品最佳的工作阶段。 第III区(耗损失效阶段)：失效率明显上升，大部分器件 相继失效，失效是由带全局性的原因(老化、磨损、耗损 、疲劳等)造成的。 器件的设计、制造应尽快使其进入低失效率的偶然失效 期，以推迟耗损期的到来。 可靠性的数学基础部分 独立地重复做n次上述试验，若随机变量x取值为 的事件(抽到的器 件是次品)是k次，其概率为 2.1 二项分布b(n,p) 某种随机试验只有两种可能结果 例：从一批器件中随机抽取一个器件，该器件可能是正品(A)，也 可能是次品( ),只可能是这两种情况。 它们发生的概率是 15 可靠性的数学基础部分 则称随机变量x服从二项分布b(n,p)。显然 随机变量x取值为 的次数小于或等于k次的累积分布函数 为从二项分布b(n,p)。显然 二项分布是一种离散型分布，常用于相同单元平行工作的 冗余系统中，也用于成败型系统的成功概率计算中。 可靠性的数学基础部分 2.2 泊松分布 二项分布的p值很小，而n常很大，.可根据泊松定理用泊松 分布来逼近，即 若 ，则为 式中b(k;n,p)为二项分布b(n,p)中事件发生k次的通项。等式右边 称泊松分布，并把整列e-llk/k!;k=0,1,2,n记为P(l)，则事件 发生k次的通项为 上式表示随机变量取值为k时的概率服从参数为l的泊松分布 。 可靠性的数学基础部分 二项分布及泊松分布的情况如下表所示： 表1 常用离散型概率分布 19 可靠性的数学基础部分 2.3 威布尔分布 威布尔分布的累积分布函数、失效密度函数和失效率分 别为 m称为分布的形状参数；r为位置参数；t0为尺度参数。 可靠性的数学基础部分 形状参数m是三个参数中最重要的一个。其大小决定分布曲 线的形状，表示一批产品的分散度。m对f(t)的影响最显著。 当r和t0固定时，曲线形状随m而变化，如下图： 图 当m1时，曲线随时间增加出现峰值而后下降。 当m=3.5时，曲线已接近正态分布。 通常把m4时的分布当作正态分布处理。 可靠性的数学基础部分 图 m1时， l随时间的递增而迅速上升。相当于产品的失效耗损期 。 可靠性的数学基础部分 位置参数r决定了分布的出发点。当m、t0相同，r不同时，其密 度函数曲线是完全一样的，只是曲线的位置有所变动。 图 当r0时，表示这些元器件有一段不失效的时间。 可靠性的数学基础部分 尺度参数t0 决定了f(t)曲线的陡度。在m和r值固定(这里r值设为 0)时，不同的t0值，其概率密度f(t)曲线的形状基本相同，而只 是沿坐标轴缩放的程度不同，相当于轴的刻度不同，如下图所 示。它反映了产品工作时的负荷条件，负荷重，相应尺度参数 要小些。 图 可靠性的数学基础部分 2.4 指数分布 在威布尔分布函数中，当m=1时，如果令1/t0=l和r=0，则有 上式就是指数分布的累积失效概率、失效密度函数和失效率函数的 表达式。指数分布是威布尔分布的形状参数m=1时的特殊情况。 指数分布的特点：失效率为一常数。是电子元器件处于偶然失效阶 段的描述。 可靠性的数学基础部分 2.5 正态分布(高斯分布) 若产品某特性x的概率密度为 则称x服从参数为m和s的正态分布，记为XN(m,s2)， m、s分别 称为位置参数和尺度参数，也称均值和标准差。 另 ，就可将上式化成标准随机变量z的分布密度 函数为 26 可靠性的数学基础部分 图 正态分布曲线 可以看出，t = m时，f(t)取得极大值。 参数m反映分布的集中点，参数s反映分布分散的程度。 t越靠近m ，出现的概率越大；反之。 s越小，f(t)的极大值越大；反之。 可靠性的数学基础部分 分布函数为 f(x)为标准正态分布函数。 正态分布的有关可靠性数量特征 可靠性的数学基础部分 正态分布的失效率与m,s2值无关，随时间呈上升趋势，属递增型 。 正态分布主要用于制造过程中工艺过程控制及质量管理。 式中 为标准正态分布概率密度函数值，可由f(t)/s计算出 。 图 标准正态分布曲线 可靠性的数学基础部分 正态分布主要应用于考虑元器件耗损和工作时间 延长引起的失效分布。从元器件失效特性的浴盆 曲线可以看出，耗损失效的分布往往非常接近于 正态分布。故可以用正态分布来有效地预测或估 计可靠度。 正态分布反映了产品失效模式的多样性和失效机 理的复杂性。 可靠性的数学基础部分 2.6 对数正态分布 随机变量t的对数服从对数正态分布时，其概率密度函数为 称随机变量t服从对数正态分布。 m：对数均值 s2：对数方差(或对数标准差) 若lnt换成lgt，规律相同，结果仅差一系数。 可靠性的数学基础部分 相应的各有关特征量为 对数正态分布常用于设备维修时间的分布及材料的疲劳寿命方面，在 半导体器件的寿命分布中也有应用。 注：从数理统计可知，若某一随机变量受许多随机因素之和的影响， 则它服从正态分布；若其受许多随机因素乘积的影响，则它服从对数 正态分布。 可靠性的数学基础部分 图图 对数正态分布的密度函数曲线和对数正态分布的失效率曲线 可靠性的数学基础部分 表2 常用连续型概率分布 34 可靠性的数学基础部分 产品的寿命表征 3.1 平均寿命 对于不可修复的产品，是指产品发生失效前的工作或贮存的平 均时间；通常记作tMTTF。 对于可修复的产品，寿命指的是两次相邻失效(故障)间的工作 时间，而不是每个产品的报废的时间。对于这类产品，平均寿 命指的是平均无故障工作时间。通常记作tMTBF 。 两个定义在数学上的表达形式是一致的，故我们通称为平均寿 命。 如果在一批产品中取n个样品进行寿命试验，得到各样品的寿 命为t1、t2、tn，则它们的平均值 就是该组子样的平均寿 命。即 可靠性的数学基础部分 当n很大时，采用积分的形式可以将总体的平均寿命表示为 假如产品的失效分布服从指数分布，即 则服从指数分布的平均寿命q为 可见对指数分布而言，其平均寿命与失效率之间互为倒数关系 。 可靠性的数学基础部分 3. 寿命方差和寿命标准离差 寿命方差和寿命标准离差是反映产品寿命波动或离散程度的 特征量。 子样寿命方差D(T)的定义是子样的每个观测值ti与子样平均寿 命的离差平方和被n-1除，即 当随机变量的可能值密集在平均值的附近时，方差较小；相 反则方差较大。故由寿命方差的大小可以推断产品寿命分布 的离散程度。 寿命标准离差就是寿命方差的平方根。 总体的寿命方差s2是t与总体平均寿命m之差的平方的平均值 。 在实际工作中，总体的方差可以用子样的方差来估计。 可靠性的数学基础部分 3.3 可靠寿命、中位寿命及特征寿命 可靠寿命：使可靠度等于给定值R的时间t称为可靠寿命。 记为tR。如图所示。 R(tR) = R 图11 可靠性的数学基础部分 对于指数分布的情况，根据R(tR) = exp(-ltR)=R的关系，可 直接求出tR ，即 由此可以求出指数分布的产品，在任意可靠性水平下的可 靠寿命。如下表所示。 R0.99990.9990.990.90.80.70.60.50.40.30.20.10.050.01 tR0.00010.00100.0100.1050.2230.3570.5110.6930.9161.2041.6092.3023.0004.605 表 指数分布的产品在不同可靠水平下的可靠寿命 单位q R= 0.5时的tR称为产品的中位寿命； R= 1/e时的tR称为产品的特征寿命。 可靠性的数学基础部分 图12 可靠性各主要特征量之间的关系 可靠性的数学基础部分 可靠性框图和数学模型 4.1 基本概念及其意义 可靠性框图（又叫逻辑图或可靠性结构模型） 数学模型 可靠性的数学基础部分 图13 LC振荡回路及其可靠性框图 (a) 电路； (b) 可靠性框图 可靠性的数学基础部分 S1S2 S1S2 S1 S2 (a)(b) (c) 图14 (a) 电路中串联两个开关；(b) 开关起接通电路功能 的可靠性框图；(c) 开关起切断电路功能的可靠性框图 可靠性的数学基础部分 系统 串联 并联 混联 网络 其他 工作贮备 非工作贮备 纯并联 表决 理想开关 非理想开关 串并联 并串联 图 15 系统可靠性框图的分类 可靠性的数学基础部分 4.2 串联系统 系统中任何一个单元(部件)出故障都会导致整个系统出故障， 或者说只有当系统中所有单元都正常工作时系统才能正常工作的系 统，称为可靠性串联系统。串联系统的可靠性框图如图所示。 图16 串联系统的可靠性框图 系统寿命xs等于 各单元寿命xi中的最 小者，即 。设单元的可靠度 为，且相互独立， 系统可靠度为 既可靠度Rs(t)是组成该系统的各单元可靠度Ri(t)的连乘积，此即 串联系统可靠性的数学模型。 可靠性的数学基础部分 利用F(t)+R(t)=1可得系统的失效分布为 系统的失效分布密度为 系统的失效率ls(t)为 可靠性的数学基础部分 当n个单元均工作在偶然失效期时，即li(t)= li是一常数，于是 有 上式说明：系统中各单元均遵从指数分布时，串联系统也遵从 指数失效时间分布。因指数分布的tMTTF (均值,q) 等于失效率的 倒数，可得系统与各单元之间的关系为 可靠性的数学基础部分 当各单元的失效率相等，即l1= l2= ln = l时 结论： （1）串联系统的可靠度要低于组成该系统的每个单元的可靠 度，且随串联数量增大而迅速降低。 （2）串联系统的平均寿命比单元的平均寿命要低。 （3）串联系统的失效率ls (t)比单元的失效率li (t)大。 串联系统的系统可靠度与串联单元数的关系如下图所示。 可靠性的数学基础部分 图17 串联下图的系统可靠度与串联单元数关系 要提高串联系统的可靠度必须减少串联中的单元数或提高单元的可靠度。 可靠性的数学基础部分 4.3 并联系统 并联系统又称并联冗余系统。它可分为工作贮备(平行冗余)和非 工作贮备(开关系统)两种情况。 工作贮备系统：是使用多个单元来完成同一任务的组合，在该系 统中所有单元同时工作，但只要其中有任一个单元工作，就能独 立地支撑整个系统的运行。有的工作贮备系统要求有两个以上单 元(如k个)正常工作，系统才能正常工作，这种情况称为“表决 ”或“n中取k”系统。 非工作贮备系统：是指系统中一个或多个单元处于工作状态，其 它单元处于“待命”状态，当工作单元出现故障后，处于“待命 ”状态的单元立即转入“工作状态”。 一般来说，非工作贮备系统的可靠度要高于工作贮备系统。 非工作贮备系统又可分为理想开关和非理想开关两种情况。 可靠性的数学基础部分 (1)纯并联系统 纯并联系统是由n个单元组成的，只 要其中有一个单元没有失效，系统 就能正常工作，其可靠性框图如图 所示。 纯并联系统的寿命等于各单元寿命 的最大者，即。假定单元的失效分 布为，且 图18 纯并联系统 可靠性的数学基础部分 系统的失效密度分布为 系统的可靠度为 若单元的失效率为常数li ，且各单元的失效服从指数分布，则 可靠性的数学基础部分 对给定可靠度，增加并联单元数，使系统可靠度的临界增量迅 速下降(如下图所示)。单元数n4时，系统可靠度增量很有限； 且n增加结构复杂，成本昂贵。因此，不是并得越多越好。 可靠性的数学基础部分 图19 并联系统的可靠度与单元可靠度之间的关系 可靠性的数学基础部分 若n=2，则有 特殊地，当l1= l2=l时，则有 若有l1= l2= l3 = = ln = l时 可靠性的数学基础部分 由n个并联单元组成的系统中，至少有k个单元正常工作系统s才 正常工作，叫n中取k系统k/n(G)。 k/n(G)系统可靠度的计算方法如下(以2/3(G)为例)： 设三个单元相互独立，各单元的寿命分别为x1， x2 ， x3 。则相应 的可靠度为 系统正常工作时有四种可能的组合：三个部件都正常工作；e1和 e2正常工作而e3失效； e1，e3正常，e2失效； e2，e3正常，e1失效 。因此 (2)表决系统 可靠性的数学基础部分 若单元寿命服从指数分布，Ri(t) = exp(-lit) (i = 1，2，3)，则 平均寿命为 可靠性的数学基础部分 比较一个单元、两个单元 组成串联及纯并联，和 2/3G表决系统的可靠度。 假若各单元的可靠度相同 均为R,且各单元相互独立 ，则有 可以看出：与单一单元系统相比，系统的故障时间变短了。 当l1= l2= l3时 可靠性的数学基础部分 图 20 四种组成方式系统可靠性的比较 结论： 两个单元并联后 系统的可靠性最 高，两个单元串 联的可靠性最小 ，当R0.5时，表 决系统的可靠性 大于一个单元的 可靠性。 可靠性的数学基础部分 一般情况下，系统由相同单元组成，各单元 可靠度相等为R0(t)，则k/n(G)系统的可靠度为 可靠性的数学基础部分 4.4 混联系统 (1)串并联系统 将nj个单元并联，再串联m个，构成n-m串并联系统如下图所示 。 图21 串并联系统 可靠性的数学基础部分 设各单元可靠度为Rij，i = 1,2,nj j = 1,2,m，且所有单元 的寿命相互独立，则由串联和并联公式得： 若nj=n，且各单元可靠度相等，Rij(t)=R(t)，则 其他各参量均可由Rs(t)求出。 可靠性的数学基础部分 (2) 并串联系统 将mj个单元串联，再并联n个，构成n-m并串联