若干数学观点中的数学文化.ppt

第四章 若干数学观点中的数学文化 第一节 “对称”的观点 1 一、一、我们身边的对称我们身边的对称 人体人体 雪花雪花 鼠标鼠标 2 数学公式中的对称 海伦公式 其中 正弦定理 对称多项式 3 对称 照镜子 夫妻 比赛循环赛 足球 非对称 照哈哈镜 父子 比赛淘汰制 非对称战争 其它的一些例子 4 阿拉伯建筑物的外墙 美国哈佛大学曾发表一份 研究报告称，伊斯兰世界对数 学有过重要贡献。研究人员认 为，中世纪伊斯兰世界的外墙 砖设计图案说明它们的设计者 掌握了西方世界500年后才掌 握的数学概念。 5 文学中的对仗 上联对下联： 明月 清泉 自然景物 明-清（形容词）； 月-泉 （名词） 明月松间照 清泉石上流 6 碳碳 富勒烯富勒烯 7 作为多面体的足球 亚正多面体亚正多面体 中的一种中的一种 足球足球 多面体，它的侧面多面体，它的侧面 由正五边形和正六由正五边形和正六 边形组成。边形组成。 8 uu 碳富勒烯介绍：碳富勒烯介绍： 碳富勒烯，即笼状的碳原子团簇，是一类新碳富勒烯，即笼状的碳原子团簇，是一类新 的有机化学物种。由于它具有特殊的分子构型以及的有机化学物种。由于它具有特殊的分子构型以及 量子尺寸效应，因而表现出了异常高的化学活性、量子尺寸效应，因而表现出了异常高的化学活性、 催化活性，以及奇特的导电性，在化工、光电材料催化活性，以及奇特的导电性，在化工、光电材料 等领域具有广阔的应用前景。等领域具有广阔的应用前景。 9 1985 1985，一位来自英国的天文学家克鲁托（，一位来自英国的天文学家克鲁托（H. W. H. W. KrotoKroto），和两位美国物），和两位美国物 理学家斯莫利（理学家斯莫利（R. E. SmalleyR. E. Smalley），柯尔（），柯尔（R. F. CurlR. F. Curl）走进美国赖斯大学化）走进美国赖斯大学化 学实验室，希望能探讨宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期学实验室，希望能探讨宇宙中长链碳分子的形成和光谱。在他们短短几个星期 的合作过程中意外地发现（的合作过程中意外地发现（9 9月月4 4日）：在强烈的激光脉冲辐照下产生的碳团簇日）：在强烈的激光脉冲辐照下产生的碳团簇 中，中，C60C60具有超常的稳定性。他们并不知道化学的理论游戏具有超常的稳定性。他们并不知道化学的理论游戏C60C60，所以这样的实，所以这样的实 验结果让他们一筹莫展。后来受著名建筑学家验结果让他们一筹莫展。后来受著名建筑学家BB富勒最牢固的薄壳拱形结构富勒最牢固的薄壳拱形结构 的启发，他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球形结构，并的启发，他们最终才为其设想了一种与上述理论结果不谋而合的球形结构，并 将将C60C60命名为富勒烯。当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是命名为富勒烯。当他们满怀喜悦向数学家们请教时，得到的回答却是 “孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！孩子们，你们所发现的，就是一个足球啊！”。一经别人点破，他们也。一经别人点破，他们也 诧异地发现他们所醉心的最完美、最对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭诧异地发现他们所醉心的最完美、最对称的分子结构竟然是一个简单得让人哭 笑不得的常识。一个现代足球正是由笑不得的常识。一个现代足球正是由2020块白色的六边形球皮和块白色的六边形球皮和1212块黑色的五边块黑色的五边 形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出形球皮缝成的。在足球上你恰好可以数出6060个顶点。他们的努力是制造了一个个顶点。他们的努力是制造了一个 全碳分子的、世界上最小的、最精致的全碳分子的、世界上最小的、最精致的“足球足球”！由此，这三位科学家因其天！由此，这三位科学家因其天 才式的开创性工作共享了才式的开创性工作共享了19961996年度诺贝尔化学奖。年度诺贝尔化学奖。 富勒烯的发现 10 克鲁托 (H. W. Kroto, 1939-) 1996年诺贝尔化学奖得主 斯莫利 ( R. E. Smalley,1943-2005) 11 柯柯尔尔（Robert F. Curl Jr.Robert F. Curl Jr.） 的自的自传传传传 我1933年8月23日出生在美国德州的Alice. 我的 父亲是一个卫理公会的牧师, 母亲是家庭主妇. 我有 一个姐姐, 她叫玛丽. 在过去, 卫理公会的牧师游动 频繁, 因此我的孩提时代的大部分时间在德州南部的 一个又一个的小镇中度过: Alice, Brady, San Antonio, Kingsville, Del Rio, Brownsville, McAllen, Austin, 然后又回到San Antonio. 在此期间教会管 理层渐渐认识到我父亲具有组织群众活动及解决冲 突方面的管理才能. 所以从我九岁起我父亲就不再当 教会牧师, 而成了一名地区教会活动的主管. 这就将 我解脱了, 使我有时间担当“儿童传道士” 并成为人 们关注的中心 1996年诺贝尔化学奖得主 12 Richard Buckminster Fuller (1895-1983) 建筑学家 富勒 富勒富勒(R. B. Fuller)(R. B. Fuller)，美国建筑学家。，美国建筑学家。 1967 1967 年蒙特利尔世界博览会的美国年蒙特利尔世界博览会的美国 馆由他设计。富勒的结构设计思想馆由他设计。富勒的结构设计思想 被称之为综合主义。综合主义是表被称之为综合主义。综合主义是表 示将结构单位组合起来，以承受更示将结构单位组合起来，以承受更 大的结构力量；结构单位组合后承大的结构力量；结构单位组合后承 受的力量比结构单位分立所能承受受的力量比结构单位分立所能承受 的力量大。这原理被富勒用于建筑的力量大。这原理被富勒用于建筑 设计，蒙特利尔世界博览会的美国设计，蒙特利尔世界博览会的美国 馆即是这一综合主义的代表作品。馆即是这一综合主义的代表作品。 13 那么，什么是“对称”的共性？ 什么是“对称”的本质？ 如何用数学语言描述“对称”？ “对称即群” 14 二、平面图形的对称 问：正三角形与正方形谁“更”对称一些？ 15 1. 在运动中看 “对称” 可以把“平面图形的对称” 轴对称、 n次中心对称、平移对称中用到的 运动分为三类： 反射 旋转 平移 16 2 从不变性看“对称” 这些运动都是变换；这些变换共同的特点 是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所 以，把反射、旋转、平移，以及它们的 相继实施，统称为 “保距变换”。 （有意 避开“滑动反射”，含于“相继实施”中） 17 变中有不变 注意，在上述“保距变换”的定义下,“不动”也是一 种“保距变换”,它可以看成旋转0o的“保距变换”,也可以看 成平移 a=0 的“保距变换”.这样，任何平面图形都会在某种 “保距变换”下不变,因为它至少在“不动”下不变.如果一种 平面图形（例如一般三角形）只在“不动”这种“保距变换” 下才不变,那么我们就认为该平面图形的对称性最差,或者干脆 说它“不 对称”. 18 由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平 面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把 所有使某平面图形 K 不变的“保距变换”放在一起, 构成一个集合,记为S(K) 并称其为K的对称集. 19 3. 抽象观点与具体例子的对照 20 正三角形与正方形谁更对称一些？ 答：正方形比正三角形更对称一些。 21 4. 小结 从 “对称”的现象，到发现 “变中有不变” 的本质 ，再提出“保距变换”；把保持图形K不变的“保距变换”放 到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集”，用它来描 述K的对称性；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平 面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子， 验证我们的理论。 “从实践中来，又到实践中去” 反观前面关于“对称”的例子。 22 我们身边的对称我们身边的对称 人体人体 雪花雪花 鼠标鼠标 23 数学公式中的对称 海伦公式 其中 正弦定理 对称多项式 24 对称 照镜子 夫妻 比赛循环赛 足球 非对称 照哈哈镜 父子 比赛淘汰制 非对称战争 其它的一些例子 25 文学中的对仗 上联对下联： 明月 清泉 自然景物 明-清（形容词）； 月-泉 （名词） 明月松间照 清泉石上流 26 作为多面体的足球 n n 亚正多面体亚正多面体 中的一种中的一种 足球多面体，足球多面体， 它的侧面由正它的侧面由正 五边形和正六五边形和正六 边形组成。边形组成。 27 思 ：请你用运动的观点，“变中有不变” 的语言，叙述氯化钠和金刚石分子结构的 对称性。 28 三、子集的对称 把讨论 “平面图形的对称” 中形成 的数学思想提炼炼出来，用“子集的对对称 ” 的语语言来统统一地描述任一客观观事物的 “对对称”。 29 任一客观观事物都可以看作某一个集合M的子集 M N 30 1. 集合上的可逆变换 设M是一个集合，则M到自身的一个映射 称为“M上的一个变换”；M到自身的一个可逆 映射称为“M上的一个可逆变换”。 31 2.子集的对称 M N 考虑M上的有特点的可逆变换 32 变中有不变，“变”,是指集合M上有特点 的一些可逆变换,每个可逆变换 都“改变”了 集合M中的元素和子集.这里的“不变”,是指对 于M的一个具体的子集N,有些 在整体上保 持N不变,即 称这样的 为“N的对 称变换”.把所有这样的“对称变换”放到一起, 构成一个集合,记为 称为“N的对称集”，用来描述N的对称性。 与 对照，基本精神是一致的。 33 3. 小结 这里用大量篇幅，从特殊到一般，把“对称”的本质抽 象出来，定义了数学意义上的对称；又从一般到特殊，用抽 象观点来返观客观实际中“对称”的例子，看到抽象观点与感 性认识是吻合的。所以说，抽象来源于直观，高于直观，而 且能反映直观，指导直观，并通过直观来检验。这是一种数 学方式的理性思维。这一点在哲学上的叙述为：理论来源于 实践，高于实践，而且能反映实践，指导实践，并通过实践 来检验。 34 四、对称变换群 上面把“对称”这一概念，用集合及 变换的语言严格叙述出来了，并由 此给出了“子集N的对称变换”和“子 集N的对称集 ”的概念，并用它们来描 述N的对称性。 35 子集 的对称集 ，不是一个普 通的集合，而是一个具有代数结构的集合。它 的结构表现在： 中有运算，即 S(N) 中任意两个 元素的相继作用，记为 ；运算还有规律， 这些规律如下： 36 S(N)中任意两个元素 , 相继继作用的结结果 仍保持N整体不变变，故 仍在S(N)中,称之 为为S(N)中的运算满满足封闭闭律(一般说说“运算”,就 隐隐含封闭闭,为为强调调,单单列一条)； S(N)中任意三个元素 ， ， 的运算， 是先做 的运算还还是先做 的运算， 效果是一样样的，即（ ） = ( ), 称之为为S(N)中的运算满满足结结合律； 37 S(N)中总有一个特殊的元素即恒等变换，它如 同数的乘法中的1，与任何元素作运算都保持该 元素不变，称之为S(N)中的运算满足幺元律； 对对S(N)中任一元素 ，S(N)中一定有一个元素 ，使 与 相继继作用的效果，恰相当于中的恒等 变换变换 ，即不动动， 称为为 的逆元，这这称为为 S(N)中的运算满满足逆元律。 N的对称集S(N) 叫作“N的对称变换群”。“对称即 群” 38 五、群的定义 定义 设G是一个带有运算“ ”的非空集合，且其 中的运算满足以下四个条件，则称G； 是一个群 结合律 有 封闭律 有 幺元律 存在 使 ， 有 ，称 为幺元； 逆元律 ，存在 ，使 称b为为a的逆元。 群G； 也简记为简记为 G 39 与 “N的对称变换群”S(N) 相对照 40 举 例 41 应 用 在晶体分类上的应用