正交试验设计的方差分析.ppt

3-6正交试验设计的方差分析 一.方差分析的意义 前面我们介绍了正交设计方案及其结果的直 观分析，该方法简单明了，通俗易懂，计算工作 量少，便于普及和推广。但直观分析方法不能把 实验中由于实验条件的改变而引起的数据波动同 实验误差引起的数据波动区分开来，也就是说， 不能区分因素各水平所对应的实验结果间的差异 ，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于实 验误差引起的。 为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。 方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分 解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动， 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC )与误差的偏差平方和(Se)，并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和，或均方)，然后进行检验，最 后得出方差分析表。 二.方差分析中的一些基本概念 1.偏差平方和 方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此， 充分理解这一概念是至关重要的。 所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y1, y2, y3yn)与它们的算术平均数y之差的平方和。用符号 S来表示。即： 则 为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式： 若令： 则 偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。 显然，S越大，该组数据越分散；反之，S越小，说明该 组数据越集中。 2.平均偏差平方和与自由度 为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或 集中的程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和)平 均偏差平方和的计算方法是：将n个数(y1, y2, y3, yn) 的偏差平方和 除以平方项的个数减1， 即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。 为什么不除以n而要除以(n-1)呢？这是因为n个 数(y1, y2, y3, yn)之间并非彼此毫无关系，它们满 足的关系是： 即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中 只有(n-1)(n-1)个个可“自由”变动，所以，求平均偏差平方 和时除以(n-1)(n-1)，数学上将这个，数学上将这个(n-1)(n-1)称为 称为S S的自由度的自由度 。 当实验所测得的当实验所测得的n个数(y(y 1 1 , y, y 2 2 , y, y 3 3 , , y y n n ) )数值较数值较 大时，为了简化计算，可将每一个原始数据大时，为了简化计算，可将每一个原始数据y y i i (i (i=1, =1, 2, 32, 3n)n)都减去同一个常数都减去同一个常数C C，这并不影响偏差平，这并不影响偏差平 方和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。方和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。 上述推论可通过以下简单换算予以证明。 若令Xi=yi-C (i=1, 2, n) 则 于是 3. F比与F分布表 (1) F比 F比是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误 差的平均偏差平方和的比值。即： (2) F F分布表及其查阅方法分布表及其查阅方法 为了判断为了判断F F比 比值的大小所表明的物理意义 值的大小所表明的物理意义( (即即F F比 比值多大 值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的 改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的 差异主要是由实验误差所引起的差异主要是由实验误差所引起的) )，这就需要有一个，这就需要有一个 标准来衡量标准来衡量F F比 比值，此标准就是根据统计数学原理编 值，此标准就是根据统计数学原理编 制的制的F F分布表，分布表，F F分布表列出了各种自由度情况下分布表列出了各种自由度情况下F F比 比 的临界值。的临界值。 在F分布表上横行(n1：1, 2, 3)代表F比中分子的自 由度；竖行(n2：1, 2, 3)代表F比中分母的自由度；表 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。 例如，某因素A的偏差平方和的自由度fA=1，误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8，查得F0.1(1,8)=3.64，这 里0.1是信度。 在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响)，信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握，若a=5%，那就是指当FAF0.05(fA, fe )时，大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 影响。对于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的 有a=1%， a=5%， a=10%等。根据自由度的大小，可 在各种信度的F表上查得F比的临界值，分别记作 F0.01(n1, n2 )， F0.05(n1, n2 )， F0. 10 (n1, n2 )等。 4.因素的显著性判断 设因素A的F比为FA： 当FA F0. 01 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有很显著的影响，记作*。 当FA F0. 05 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有显著的影响，记作*。 当FA F0. 10 (n1, n2 )时，说明该因素水平的改变 对实验结果有一定的影响，记作O。 三.正交试验设计的方差分析 现以实验室制取H2为例，来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平 如表1和表2所示。 因素 水平 A wH2SO4 (%) B mCuSO45H2O(g) C mZn (g) 一200.44 二250.55 三300.66 表1. 因素水平 表2.实验方案及实验结果的直观分析 列号 实验号 A wH2SO4 (%) B mCuSO45H2O(g) C mZn (g) 空白列10min内H2的 产率 1111232.62 2212140.40 3313341.07 4123134.97 5221336.53 6322245.75 7132336.62 8233239.19 9331144.53 列号 实验号 A wH2SO4 (%) B mCuSO45H2O(g) C mZn (g) 空白列10min内H2的 产率 K1104.21114.09122.77119.9最佳实验 条 件是A3B3C1 K2116.12117.25115.23117.56 K3131.35120.34113.68114.22 k134.7838.0340.9239.96 k238.7039.0838.4139.18 k343.7840.1137.8938.07 R9.052.083.031.89 上述正交试验设计所获得的数据，从直观分析的角度 来看，提供给我们如下有用的信息： 第一：从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标 影响的主次关系，即： 主-次 AwH2SO4 CmZn BmCuSO45H2O 但是，极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次 关系，它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程 度。也就是说，它既不能指明这些因素中哪个是影响 实验指标的关键因素，也不能提供一个标准，用来考 察、判断各个因素的作用是否显著。 第二：就因素A而言(因素B、C也类同)，其中k1、k2 、k3值之间的差异是如何产生的？是由于A因素水平 不同引起的呢？还是由于实验误差所造成的呢？还 是两者综合作用的结果？从直观分析角度是无法说 清楚的。 正是由于直观分析存在着上述的缺点，所以需 要采用方差分析的方法来弥补上述的不足。 1.单因素实验的方差分析 为了便于讨论，我们仍以实验室制取H2的因素 之一-A因素(硫酸的质量分数)为例，来说明单个 因素的实验数据的方差分析方法。 方差分析是把实验数据总的波动(即数据的总的偏差平方 和S总)分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动( 即因素的偏差平方和)，对本例而言仅为S wH2SO4；另一部分反 映实验误差引起的波动(即误差的偏差平方和Se)。即： (1) Se的计算 参与wH2SO4某一水平的实验编号 10minH2产率 A1(20%)A2 (25%)A3 (30%)A1(20%)A2 (25%)A3 (30%) 12332.6240.4041.07 45634.9736.5345.75 78936.6239.1944.53 平均值y34.7438.7143.78 表3.实验结果分析 若以S1表示A1水平下实验误差所引起的波动，其值应 为：S1=(32.62-34.74)2+(34.97-34.74)2+(36.62-34.74)2 =8.0870。同理可以求出A2 、A3水平下实验误差所引 起的波动，其值分别为S2=7.8389，S3=11.7875 则，A因素的各个水平下总的偏差平方和应为： Se= S1+ S2+ S3=8.0870+7.8389+11.7875=27.71 (2) S总的计算 总的偏差平方和S总是指全部实验数据中，每个数据(yi) 与总平均值(y总)之差的平方和，即： 由表3知: y总=1/9(32.62+34.97+36.62+40.40+44.53)=39.08 则：S总=(32.62-39.08)2+(34.97-39.08)2+(44.53- 39.08)2=151.08 S总反映了实验数据总的波动情况，如果硫酸质量分 数水平的改变对实验指标不发生影响，而且实验中 也没有误差产生的话，那么全部实验数据理应都一 样，即S总应等于零，但情况并非如此。 (3) S wH2SO4 (SA)的计算 对于因素A来讲，当它取一水平时，3次实验(即1、4、7实验)结 果的均值(y)应为： y1=1/3(y1+y4+y7)=1/3(32.62+34.93+36.62)=34.74 y1代表了3次一水平实验对H2产率的影响。同理： y2=1/3(y2+y5+y8)=38.71 y3=1/3(y3+y6+y9)=43.78 y2、y3分别代表了3次二水平和三水平实验对H2产率的影响。因 此，因素水平变化所引起的波动，即因素A的偏差平方和SA应为 ： SA=(y1-y总)2= (34.74-39.08)2+(38.71-39.08)2+(43.78-39.08)2 =123.37 上述计算结果我们可以通过S总=SA+ Se式来检验SA和 Se 计算正确与否。 (4)自由度和平均偏差平方和的计算 为了消除个数不同对实验指标所产生的影响， 应采用平均偏差平方和，其计算公式为： 因素A的平均偏差平方和=SA/fA 误差的平均偏差平方和=Se/fe 式中SA、Se分别代表因素A和误差的偏差平方和 fA=A因素的水平数-1，它代表SA的自由度 fe=f总-fA，它代表Se的自由度 f总=总的实验次数-1，它代表S总的自由度 在本例中f总=9-1=8，fA=3-1=2， fe=8-2=6 (5) F值的计算及因素显著性的检验 因素水平的变化引起的平均偏差平方和与误差 的平均偏差平方和的比值称为F值，即： 用F值的大小来判断因素水平对实验指标的影响。 显然，只有当比值大于1时，才能表明因素水平的 改变对实验指标的影响，即超过了实验误差所产生 的影响。 为了判断因素对实验结果形象的显著性的大小 ，须将计算得到的F值与从F分布表上查到的相应临 界值进行比较。当F值大于临界值时，表明该因素对 实验结果影响显著。 就本例而言：FA=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36 查F检验的临界值表可知： F0.10(2, 6)=3.46， F0.05(2, 6)=5.14， F0.01(2, 6)=10.9 由于FA F0.10(2, 6)，所以我们可以认为，有99%以上 的把握判断因素A的水平改变对实验结果有极为显 著的影响，以“*”标记。由此可得出如下结论：对 10minH2产率的影响是由硫酸浓度的差异所引起的。 2.多因素实验的方法分析 和单因素实验的情况一样，多因素实验方差分 析的目的仍然是将实验误差所引起的结果与实验条 件的改变(即各因素水平的改变)所引起的结果区分 开来，以便能抓住问题的实质，此外，多因素实验 的方差分析还要将影响实验结果的主要因素和次要 因素区分开来，以便集中力量研究主要因素。 我们仍以实验室制取H2为例，来阐明多因素单指标 实验方差分析的基本步骤。 (1)因素的偏差平方和的计算 自由度f=3-1=2，为了简化计算，上式可写为 其中CT=G2/n 则 将数据带入上式 CT=G2/9=(351.68)2/9=13742.09 SA=(104.212+116.122+131.352)/3-(13742.09)/9=123.37 同理，可以计算出因素B和因素C的偏差平方和S B B 、S C C (其自由度f B B =f C C =3-1=2)，S B B =6.51，S C C =15.77， S A A 、S B B 、S C C 反映了因素A、B、C的3个水平所引起 的实验结果的差异。 (2)误差的偏差平方和的计算 对于误差的偏差平方和(Se)，可用正交表中未安 排因素的空白列的偏差平方和来计算。因为空白列 未安排因素，它们的偏差平方和中不包括因素水平 的变化所引起的实验结果的误差，仅仅反映了实验 误差的大小。 本例中：Se= SD=(K12+K22+K32)/3-CT=5.43 误差的自由度：fe=f总-fA-fB-fC=(9-1)-2-2-2=2 应当指出，当正交表中空白列不是一列时，可将空 白列的S值相加作为误差的估计值。 (3)因素的显著性检验 分别计算出因素A、B、C的F值： 查F