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第1章 随机事件及其概率 1.2 随机事件的概率 1.2.1 频率 定义1 在相同的条件下，进行了n 次试验， 在 这n 次试验中，事件 A 发生的次数 称为事件 A 发生的频数，比值 称为事件A 发生的频率 ，记作 频率具有下述性质： （1）对任一事件A ，有 ； （2）对必然事件 ，有 ； （3）若 两两互斥，则 1.2.2 概率的统计定义 定义2 在相同条件下，重复进行的了 次试验 ，设在 次试验中事件 发生了 次，如果当 增大时，事件 发生的频率 稳定地在某一常 数 附近摆动，则称此常数 为事件 发生的概 率，记为 . 1.2.3 概率的古典定义 古典概型 （1）有限性：试验 的样本空间是有限的，即 样本点的个数（设为 ）是有限的，记为 ； （2）等可能性：每个样本点出现的可能性都 相等，即事件 的发生是等可能的， 它们出现的概率都一样，记为 定义3 设 是一个古典型随机试验，对其任给 事件 ，称 为随机事件 的概率 例1 投掷一枚均匀骰子，求朝上一面的点数为 奇数的概率 解 由于骰子是均匀的，所以骰子的6个面哪一 面朝上可能性都相等，因此试验是古典型，用 表示“朝上一面的点数为 ”， ，则 样本空间 ，用 表示“朝上一面 的点数是奇数”，则 ，故 例2 袋中装有 只白球 只黑球，从中任取一 只，求取到的是白球的概率 解 由于球除颜色外而无其它区别，所以从袋 中取球时每一球被取到的可能性都是相等的 ，共有 种取法，因此该样本空间 ， 其中前 号为白球，后 号为黑球，令 表示 “取到的是白球”，则 ，故 1.2.4 概率的公理化定义 定义4 设随机试验 的样本空间为 ，若按 照某种方法对 的每一事件 都赋予一个实数 ，且满足以下公理： （1）非负性：对任一事件 ，有 ； （2）规范性： ； （3）完全可加性：对 的任意一列两两互斥 的事件 ，有 则称实数 为事件的概率 由概率的公理化定义可知概率还具有如下性质 性质1 对任一事件 ，都有 ； 性质2 ， ； 性质3 有限可加性：若事件 两两互 斥，则 ， 上式称为加法公式 性质4 对任意事件 ，有 ； 推论 对任一事件 ，有 性质5 对事件 、 ，若 ，则有 ， 性质6 （加法定理） 对任意两事件 、 有 性质6的推广：对任意3个事件 、 、 ，有 一般地，对任意 个事件 ，有 例3 已知 ， ， ，求 （1） ，（2） ，（3） 解 （1）由性质4 （2）因 ，且 ， 由性质3， ，故有 （3）由性质4、6得 例4 一批产品中有46件合格品，4件不合格品 从中任取三件，求 “其中有不合格品”， “其中不合格
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