数理统计8-假设检验.ppt

二、单个正态总体均值和方差 一 、参数的假设检验 第四章 假设检验 的假设检验 三、两个正态总体均值相等和方差相等 的假设检验 例 怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？ 罐装可乐的容量按标准应是355毫升. 通常的办法是进行抽样检查. 每隔一定时间，抽查若干罐 . 如每隔1小时，抽查5罐， 得5个容量的值X1，X5，根据这些值来判断生产是 否正常. 很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情 况下就判断生产 不正常，也不能总认为正常， 有了问题不能及时发现，这也要造成损失. 如何处理这两者的关系，假设检验面对的就 是这种矛盾. 在正常生产条件下，由于种种随机因素 的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波 动. 这些因素中没有哪一个占有特殊重要的 地位. 因此，根据中心极限定理，假定每罐 容量服从正态分布是合理的. 现在我们就来讨论这个问题. 称H0为原假设 （或零假设）； H1为备选假设 （或对立假设）. 在实际工作中 ，往往把不轻 易否定的命题 作为原假设. H0： （ = 355）H1： X1, , X5是取自正态总体的样本， 是一个常数. 当生产比较稳定时， 检验假设： 可从历史资料获得 的值 . 那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？ 较小时，可以认为H0是成立的；当 - | | 生产已不正常. 当较大时，应认为H0不成立，即 - | | 问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质. 差异可能是由抽样的随机性引起的，称为 “抽样误差”或 随机误差 这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动. 然而，这种随机性的波动是有一定限度的， 如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的 随机性来解释了. 必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即 反映了生产已不正常. 这种差异称作 “系统误差” 是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？ 根据所观察到的差异， 这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则： 小概率事件在一次试验中基本上 不会发生 . 实际推断原理（小概率原理） 通过大量实践， 人们对小概率事件（即在一次试验中发 生的概率很小的事件）总结出一条原理： 小概率事件在一次试验中几乎不会发生 并称此为实际推断原理， 其为判断假设的根据。 在假设检验时，若一次试验中小概率事件发生了，就 认为是不合理的。 小概率事件在一次试验中发生的概率 记为，一般取 在假设检验中，称小概率为显著水平、检验水平。 一、假设检验的思想方法 信息看在H0成立下会不会发生矛盾。最后对H0成立 与否作出判断： 中居然发生， 若小概率事件发生了， 则否定H0。 若不发生，则接受H0，并称 H0相容。 概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验 我们就以很大的把握否定原假设. 假设检验使用的方法是概率论的反证法： 即先对所关心的问题提出原假设 H0 , 然后运用样本 不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是 说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0 的程度 . 所以假设检验又叫“显著性检验” 由于作出结论的依据是下述 小概率原理 小概率事件在一次试验中基本上不会发生 . 不是一定不发生 如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从 而作出否定H0的结论，那就犯了“以真为假”的错误 . 如果H0不成立，但统计量的实测值未落入否定域， 从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的H0，那就 犯了“以假为真”的错误 . 两类错误：假设检验会不会犯错误呢 假设检验的两类错误 H0为真 实际情况 决定 拒绝H0 接受H0 H0不真 弃真正确 正确取伪 P拒绝H0|H0真= , P接受H0|H0不真= . 犯两类错误的概率: 显著性水平 为犯第一类错误的概率. P第一类错误= P第二类错误= 对给定的显著性水平，H0关于 的接受域： H0关于 的拒绝域： 把本来正确的东西给丢弃了这就范了“弃真”的错误， 其概率是P拒绝H0| 真= 而结论是：若 落在H0的接受域内，就接受H0， 但结论是：若 落在H0的拒绝域内，就拒绝H0， （1）在H0正确的情况下， 落在R上的每一点都是可能的 范了“取伪”的错误， 注意：积分区间长度不变： 但积分区间的中心 （2）要同时降低两类错误的概率 或者要在 不变的条件下降低 ，需要增加样本容量. （1）当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致 另一类错误概率的增加. 因减少，积分区间长度： 实际问题中，我们希望两类错误都能得到控制。一 般多是控制第I类错误的概率到适当程度而不管第II类 错误的大小，这种检验叫显著性检验。 8.2 单个正态总体均值与方差的假设检验 设总体为X的样本。 我们对,2作显著性检验 一、总体均值的假设检验 1、已知2，检验 （H1可以不写） 其中0是已知常数， 在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设. 提出原假设和备择假设 第一步： 1.已知已知， 第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布 第三步： 查表确定临界值 ,使 对给定的显著性水平 检验假设 的过程分为五个步骤： 或得H0否定域 第四步：将样本值 代入算出统计量 选择假设H1 表示Z可能大于0，也可能小于0。 这称为双边假设检验。 由于取用的统计量服从 Z(U)分布， 第五步：判断 则否定H0，接受H1 则H0相容，接受H0 故称其为 Z(U) 检验法。 0 例1 某车间生产铜丝， X的大小。 铜丝的主要质量指标是折断力 由资料可认为今换了一批原料， 从性能上看， 估计折断力的方差不会有变换， 但不知 折断力的大小有无差别。 解 方差已知 抽出10个样品，测得其折断力（斤）为 进行检验。 提出假设 （=0.05） 第一步： 第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布 第三步： 查表确定临界值 ,使 对给定的显著性水平 得H0否定域 第四步： 将样本值 代入算出统计量 第五步：判断 说明小概率事件竟在一次试验中发生了， 故否定H0.可以接受H1。 2、未知2，检验 （H1可以不写） 未知2，可用样本方差代替2 检验步骤 提出原假设和备择假设 第一步： 第二步：取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布 第三步： 查表确定临界值 ,使 对给定的显著性水平确定H0的否定域。 即“ ”是一个小概率事件 . 或 由于取用的统计量服从t分布， 第四步： 得 H0否定域 将样本值 代入算出统计量 第五步：判断 则否定H0，接受H1 则H0相容，接受H0 故称其为t 检验法。 抽取6件, 得尺寸数据如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 问这批产品是否合格? 某工厂生产的一种螺钉， 标准要求长度是32.5 毫米. 实际生产的产品其长度 X 假定服从正态分布 ， 未知， 现从该厂生产的一批产品中 例2 （=0.01） 提出假设 解 已知 未知. 取一检验统计量，在H0 成立下求出它的分布 得否定域 对给定的显著性水平查表确定 故不能拒绝H0 . 将样本值代入算出 T0的值, 没有落入 拒绝域 正态总体均值的假设检验小结 H0接受域 H0接受域 0 测量值X服从正态分布,取 =0.05 )? 解: 提出假设 H0：=112.6；H1：112.6 用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度, 重复测量7次，测得温度(): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值), 试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度 因为未知方差2，故采用t检验法。 取统计量 例3 查表 由样本算得 这里 H0相容，接受H0。 即用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。 由于S2为2的无偏估计，自然想用S2与2进行比较 若过大或过于接近0， 则说明2 偏离02较大。 因此有理由否定H0。 三、关于2假设检验 在显著性水平条件下检验假设 其中0是已知常数， 取统计量 提出原假设和备择假设 第一步： 第二步：取一检验统计量， 第三步： 查表确定临界值 对给定的显著性水平确定H0的否定域。 或 H0否定域 第四步： 在样本值 下计算 第五步：判断 若 或 则否定H0。 若则接受H0。 例1 已知某种延期药静止燃烧时间T, 今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位 秒）数据为 问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为 我们的任务是根据所得的样本值检验 提出假设 第一步： 第二步：取统计量， 第三步：查表确定临界值对给定的显著性水平 或得 H0否定域 解 根据样本值算得 则H0相容，接受H0 。 可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为 显然 第四步： 第五步：判断 （=0.05） 解: 提出假设 某次统考后随机抽查26份试卷, 测得平均成绩: 试分析该次考试成绩标准差是否为 已知该次考试成绩 取统计量 例2 查表 根据样本值算得 则H0相容，故接受H0 。 显然 表明考试成绩标准差与12无显著差异。 关于2假设检验 已知， 其中0是已知常数， 取统计量 或 H0否定域 分别是 且X与Y独立, X1,X2, 是取自X的样本, 取自Y的样本, 分别是样本方差, 均值, 1. Y1,Y2,是 样本 提出假设 H0： 1=2 ；H1： 12 四. 检验两正态总体均值相等 取统计量， 拒绝域的形式 对给定 查表确定 1. 提出假设 H0： 1=2 ；H1： 12 则否定H0，接受H1 则接受H0 即认为两个正态母体均值无显著差异 即认为两个正态母体均值有显著差异，显著性水平 为 由样本值 代入算出统计量 H0： 1=2 ；H1： 12 取统计量 提出假设 拒绝域的形式 给定显著性水平 且X与Y独立, 1. 提出假设 检验两正态总体均值之差 取统计量 拒绝域的形式 给定 算出统计量 则否定H0，接受H1 则接受H0 即认为两个正态母体均值无显著差异 注意 在关于 的假设检验中, 通常遇到的情况是 ，即检验与是否相等. 例3 某苗圃用两种育苗方案对杨树进行育苗试验, 已知在两组育苗试验中苗高的标准差分别为 cm, cm. cm, 设杨树苗高服从正态分布, 试在显著性水平 下, 判断两种试验方案对平均苗高有无显著影响？ 现各抽取80株树苗作为样本, 算得苗高的样本均值分别为 cm. 解 设第一种方案的苗高为第二种方案的苗高为 则 , 检验假设 选取检验统计量 该拒绝域为 现在 , , , 统计量 的值 因为 所以拒绝原假设 即这两种试验方案对苗高有显著影响. 五、 检验两正态总体方差相等 F检验 取统计量 分别是样本方差, 由样本值算出统计量F的值，并查表得 判断 拒绝域的形式 给定 例4 为比较两台自动机床的精度，分别取容量为10 和8的两个样本，测量某个指标的尺寸(假定服从正 态分布)，得到下列