高中数学 （学习目标+合作探究+反思感悟）21+数列的概念与简单表示法+学案（pdf）新人教A版必修5.pdf

新新学案高中数学必修%“ 人教实验&版# ! &! 学 习 札记 第 二 章 数!列 “ ! !数 数列列的的概概念念与与简简单单表表示示法法 学习目标 !结合实例掌握数列的概念! “!能根据数列的通项公式或递推公式写出数列中的指 定项! 能观 察“ 分 析 数 列 项 之 间 的 规 律! 推 断 数 列 中 的 某 一项! #!判断一个给定的数是否为数列中的项! $!理解数列是一种特殊的函数! 体会它与函数之间的 关系! 第一课时 情境创设 公元! “ & “年!一 位 意 大 利 比 萨 的 商 人 斐 波 那 契 $f / g 1 , + 0 0 /! 约! ! &0! “ $ &(% 在1 算盘书2 $ 这里的) 算盘* 指 的是计算用的沙盘% 中提出过一个) 养兔问题* ! 这道题说的 是# 某人买回一对小兔! 一个月后小兔长成大兔! 再过一个 月! 大兔生了一对小兔! 以后! 每对大兔每月都生一对小兔! 小兔一个月后长成大兔!如此下去! 问一年后此人共有多少 对兔子( 你能算清吗( 把每个月后的兔子数排成一列! 组成一列数! 我们如何 用数学的方法来研究它呢( 合作探究 探究一!数列的概念 问题!你能写出情境创设中每月兔子的对数吗( !“!#!)!(! #! 3! 问题“!这列数中每个数能交换顺序吗( 这列数中)(* 的含义是什么( 不能!)(* 是第4个月兔子的对数! 议一议! 你能写出常见的几列数吗( $!%! $!%! 4!“ )! 3& $“%! &!%!(!4!)! 3& $#%!.! !.! 3& $%! 3! 像这几组数都有共同的特征# 都是按照一定的顺序排列 的! 都是数列! 提升总结! 数列的概念# 一般地! 按照一定顺序排列着的 一列数叫做数列!数列中的每一个数叫做这个数列的项!各 项依次叫做这个数列的第!项$ 或首项% ! 第“项! 3! 第 项! 3! 数列的一般形式#!#“!#! 3!# ! 3! 简记为,#4 ! 其 中# 是数列的第项! 问题#!把数列$!% 中的%和!互换! 变为另一列数! 即# %!$! 4!“ )! 3! 它和数列$!% 是否相同( 为什么( 不相同! 因为%和!的顺序发生了变化! 在第一个数列 中%是第三项! 而在新数列中%是第一项! 议一议! , #4 与#是否相同( 不同! 它们是两个不同的概念# ,# 4 表示数列#!#“! #! 3!#! 3! 而#只表示数列,#4 的第项! 提升总结! 强调两个关键词# ) 一列数* ) 一定顺序*! $!% 数列的数是按一定顺序排列的! 因此! 如果组成两个 数列的数相同而排列的次序 不 同! 那 么 它 们 就 是 不 同 的 数列& $“% 定义中并没有规定数列中的数必须不同! 因此! 同一 个数在数列中可以重复出现 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *! 数!列第二章 ! ! 学!习 札记! 例!分别写出下面的数列! $!%&“ &之间的素数按从小到大的顺序构成的数列& $“% 正整数的倒数构成的数列! 分 析 根据定义可直接写出! 跟踪练习! !将自然数的前)个数#排成&!“!#!$& “排成$!#!“!&#排成“!&!#!$&*排成$!&!#!“!可 以叫做数列的有$!% 56 !76 !“!86 !“#!96 !“#* 探究二!数列的分类 问题 !观察我们所举的每一个数列! 它们的项数各是多少( 议一议! 根据项数特点! 如何对数列分类( 数列按所含项数分为# 有穷数列$ 项数有限% 和无穷数列 $ 项数无限%! 问题%!观察我们所举的每一个数列各项大小的特点! 你能发现什么( 数列$!% 从第“项起! 每一项都大于它的前一项! 数列$“% 从第“项起! 每一项都小于它的前一项! 数列$#% 从第“项起! 有些项大于它的前一项! 有些项小 于它的前一项! 数列$% 各项都相等! 问题(!根据各项大小的特点! 如何对数列分类( 递增数列# 从第“项起! 每一项都大于它的前一项! 递减数列# 从第“项起! 每一项都小于它的前一项! 摆动数列# 从第“项起! 有些项大于它的前一项! 有些项 小于它的前一项! 常数列# 各项都相等! 例“!下面的数列! 哪些是递增数列“ 递减数列“ 常数 列“ 摆动数列( $!%#! )!%! !# #! 3&!$“%! “ # ! # ) ! $ ! ) % ! 4 ! !& $#%&!&!&! 3&!$% #!#!#!#!#!#! 3! 探究三!数列的通项公式 问题)!已知函数=$ 4%$! 求当4依次取!“!#! $! 3时的函数值! 4!“#$ 3 3 =$4%$! $! &! # 3 #$! 3 !议一议! 把函数值排成一列! 构成一个数列! 该数列的项 和项数是什么关系( 是函数关系! 并且是一次函数关系! 提升总结! $!% 数列是一种特殊的函数! 它的定义域是正 整数集或它的有限子集!解析式为#&=$ % ! 值域是当依 次取! “!#!$! 3时所对应的一列函数值! $“% 如果数列, #4 的第项与序号之间的关系可以用 一个公式来表示! 那么这个公式叫做这个数列的通项公式! 我们可以根据数列的通项公式写出数列的各项! $#% 数列的通项公式类似于函数的解析式! $% 并不是所有的数列都能写出通项公式! 而一个数列 的通项公式有时也不唯一! $)% 数列通项公式通常具有如下作用# 求数列中的某一 项和检验某个数是否是该数列中的项! 例#!根据数列的通项公式填表# !“ 3 ) 33 # 3 ! “ 3 $ “$# 跟踪练习! “!数列,#4 中!#&“$! 那么#“为$!% 56 “$!76 $!86 $“!96 $ 跟踪练习! #!在数列!“!#!)!(!4!“ !# $! 3中! 根据 规律! 4&! 反思感悟 !数列按项数可分为!“!两类! 按项的 变化可分为!“!“!三类! 各项都相等 的数列为! “! !“!“!是数列中体现的重要 数学思想! 在本节中让学生通过观察“ 类比“ 发现“ 归纳! 培养 他们的归纳能力! 特别是在体会数列与函数联系的过程中! 已知前几项写后一项为进一步学习求通项公式打好基础 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *! 新新学案高中数学必修%“ 人教实验&版# ! (! 学 习 札记 第二课时 情境创设 上一节课前我们了解了斐波那契数列! 有数学家对此进 行进一步研究发现! 随着数列项数的增加! 前一项与后一项 之比越来越逼近黄金分割的数值&! 4 ! (& # #% ( (3! 还有一 个重要性质! 即从第二项起! 每个奇数项的平方都比前后两 项之积多! 每个偶数项的平方都比前后两项之积少! 这些 性质的发现来源于对数列各项规律的研究! 合作探究 探究一!根据数列的有限项归纳数列的通项公式 问题!观察下面数列的特点! 用适当的数填空! $!%! #! ! 3& $“%!.$! %!“ )!$ %& $#%. ! !=“! !. ! #=$! ! $=)! ! 4=& $%“! &!“!&!&! 3! 答案! $!%)& %!$“%!&.! 4&.# 4!$ #% ! “=#& . ! )=4! $%“& “ 问题“!观察上述四组数列中项与序号的关系! 它们之 间有什么规律( 能否用一个解析式来表示( $!% 项! #!)!%! ! 3 888888 序号 !“#$)43 规律! 每项&相应的项数乘“减! 即# &“.! $“% 项!.$! %!.! 4!“ )!.# 4!$ % 888 !8 8!8 8 !序号! !“# !$ )!4! 规律! 每一项的绝对值&相应项数的平方! 奇数项的符 号为正! 偶数项的符号为负! 即# &$.!% $!+ “! $#% 项!. ! !=“! ! “=#! . ! #=$! ! $=)! . ! )=4! ! 4= ! 8! 8! 8! 8!8! 8 序号 !“#$)4 规律! 每一项都是分式! 分子都是! 分母是相应的序号 与相应序号加!的积! 奇数项符号为负! 偶数项符号为正! 即# &$.!% + ! $!% ! $% 项!“! &!“!&!“!&!“! 3 8888888 序号 !“#$)43 规律! 奇数项都是“! 偶数项都是&! 即# & “!$是奇数% ! &!$是偶数 , % ! 或# &!3$.!% $! 或# &“ . / , :! “ $ :&!“!#! 3%! 提升总结! $!% 根据数列的前几项写通项公式! 体现了由 特殊到一般认识事物的规律!解决这类问题一定要注意观察 项与序号的关系和相邻项之间的关系! $“% 体会规律的分析“ 归纳过程! 并从中总结出一些规律 特点! 勇于探索! 提高分析“ 归纳的能力! $#% 对于比较复杂的数列的通项公式! 其项与项的序号之 间的关系不容易发现! 要连续几次地进行类比! 有时还需要将它 们统一成相同的形式! 通过化归的方法才能写出其通项公式! $% 有些数列的通项公式可能不唯一! 通过前面几项写 出的通项公式! 还要用后面的几项去验证! 例!根据下面数列的前几项! 写出数列的一个通项 公式! $!%! 槡“!槡#! “!槡)! 3& $“%“!.$ ) ! ! “ !.$ ! ! “ !.$ ! ! 3! 分 析 %!&+ 槡 !e ! 槡 “e $!-原数列为槡!槡“!槡#!槡$! 槡)! *! 观察项与项的序号的关系! 可得通项公式#&槡 ! %“&+“e$ “ ! ! “& $ ( ! “ & $ ! $! -原数列为 $ “ !.$ ) ! $ ( !.$ ! ! $ ! $! . $ ! ! *! 再把 分 母 分 别 加!得 $ # !. $ 4 !$ % !. $ ! “! $ ! )! . $ ! (! *! 数列的符号规律是%.!& $! 观察项与项的序号的关 系! 可得通项公式! 跟踪练习! !若数列,#4 的前$项分别为“!&!“!&! 则这 个数列的通项公式不可能是$!% 56#&!3$.!% $! 76#&!20 1 .! 86#&“ . / , “! “ 96#&.!3$.!% .!$ .!% $.“% 跟踪练习!“!已知数 列 ,# 4 的 一 个 通 项 公 式 是#& #$!$是奇数% ! “.“!$是偶数 , % ! 则#“#等于$!% 56 &!76 “ (!86 “ &!96 ( 跟踪练习! #!根据下面各数列前几项的值写出各数列的 一个通项公式! $!% ! “ ! $ ) ! % ! &! ! 4 ! ! 3! #&!& $“%! % %!% % %!% % %! 3!#&!& $#%&! ! &! & !&! & & !&! & & &! 3!#&!& $%#! )!%! ! 3!#&!& $)%)! &!.)!&!)! 3!#&! * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ! 数!列第二章 ! )! 学!习 札记! 探究二!数列的表示方法 议一议! 类比函数的表示方法! 探讨数列这一特殊函数 有哪些表示方法( 函数的表示方法有# 解析式法“ 列表法“ 图象法“ 递推法! 因为数列是特殊的函数! 数列的通项公式也就是特殊函数的 解析式!因此通项公式法是数列的一种表示方法! 类比函数 的表示方法! 数列也可用列表法和图象法表示! !图象法 由于数列可以看成是一个定义域为正整数集$ 或它的有 限子集% 的函数! 因此数列的图象是以$ !#% 为坐标的无限 或有限的孤立的点!其优点# 能直观形象地表示出随着项数 的变化相应项变化的趋势! 直观明了! “!列表法 就是通过列出表格来表示项的序号与项的关系!其优点 是# 不需要计算就可以直接看出与项的序号相对应的项! 图“!“! #!递推法 议一议! 观察钢管堆放示意 图$ 如图“!“!% ! 寻找规律! 思路!# 自上而下 第一层钢管数为$! 即!9$ e!3#& 第二层钢管数为)! 即“9)e“3#& 第三层钢管数为4! 即#94e#3#& 第四层钢管数为! 即$9e$3#& 3& 第七层钢管数为! &! 即9! &e3#! 若用# 表示钢管数!表示层数! 则可得出每一层的钢 管数构成一个数列! 且# &$#$!33% ! 利用每一层的 钢管数与其层数之间的对应规律建立数学模型! 运用这一关 系可以很快捷地求出每一层的钢管数! 这会给我们统计与计 算带来方便! 这种对应规律就是数列的通项公式! 思路“# 上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多!$ 从 第二层开始% ! 即#!&$! #“&)!#&4e)3!e#“$! 依次类推! 可以得到# #&#.!$!$“33%! 如果知道了数列的第一项及# &#.!$!$“33% 这 一关系式! 就可以求出该数列的其他项! 这也是给出数列的 一种方法0 0 0递推法! 提升总结! 递推公式# 如果已知数列+ #, 的第一项% 或前 几项& ! 且任一项# 与它的前一项% 或前几项& 间的关系可用 一个公式 来 表 示! 那么这个公式 就 叫 做 这 个 数 列 的 递 推 公式! 探究三!数列递推公式及通项公式 不同点相同点 通项公式 可由的值! 直接代入求出 通项# 递推公式 可根据第一项$ 或前几项% 的值! 通过一次或多次赋值 求出数列的项! 直至求出# 都可确定一个数列& 都 可 求 出 数 列 的 任 意 一项 !提升总结! $!% 在数列的各种表示方法中! 运用列表法给 出数列! 优点是内容具体“ 方法简单! 但要确切地表示一个无 穷数列或项数比较多的有穷数列比较困难! 这与集合的列举 法表示效果类似! $“% 运用递推法给出数列! 可以揭示一些数列的性质! 但不 容易了解数列的全貌! 计算也不方便! 所以我们常常用它得出数 列的通项公式或者得到一个特殊的数列! 比如周期数列! $#% 运用通项公式给出数列! 具有明显的优点! 如数列 , #4 的通项公式已知! 可以求出数列,#4 中的任意指定项! 也有利于对数列的研究! 例“ !$!% 数列, #4 中!#!& !#“& #!# “ $ !.#$ “&$. !% ! 求数列的前)项! $“% 已知数列, #4 中!#!&!#$!&#$“.!% ! 写出数 列的前)项! 并归纳出一个通项公式! 分 析 %!& 已知#! #$!#$“相邻#项之间的关系! 需由 前“项求第#项! 逐一求下去! 即可求出数列中的