2011届卢湾区二模数学理.doc

卢湾区2011年高考模拟考试 数学试卷（理科） 2011.4（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）一填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1.不等式1的解集是 2.函数的反函数为3.方程的解集为 4.若实数对满足，则的最大值为 5.若关于x, y的线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为 则的值为 输出n开始否nn+12nn2是结束 n1 （第7题图）6.在极坐标系中，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，则点A到直线l的距离为7.某算法的流程图如图所示，则该算法输出的n值是 8.已知N*)的展开式中含有常数项，则的最小值是 9已知,，且，则 10. 一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为 ，则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是 11某船在A处看灯塔S在北偏东方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东方向，则此时该船到灯塔S的距离约为海里（精确到0.01海里）12.已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为 13已知向量，的夹角为，若点M在直线OB上，则的最小值为 14.已知集合，当为4022时，集合的元素个数为 二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15“”是“函数是奇函数”的 （ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 16已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，则的值为 （ ）A B C D 17.已知复数满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为 （ ） A双曲线的一支 B双曲线 C一条射线 D两条射线 18.已知，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有 （）AB C D 三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）已知矩形内接于圆柱下底面的圆，是圆柱的母线，若，此圆柱的体积为，求异面直线与所成角的余弦值20（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：参加活动次数123人数235 （1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从“科服队”中任选2人，用表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望21（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分已知数列是各项均为正数的等差数列，公差为d（d 0）在之间和b,c之间共插入个实数，使得这个数构成等比数列，其公比为q（1）求证：； （2）若，求的值；（3）若插入的n个数中，有s个位于a,b之间，t个位于b,c之间，且都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用表示）.23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于定义域为的函数，若有常数M，使得对任意的，存在唯一的满足等式，则称M为函数f (x)的“均值”（1）判断1是否为函数的“均值”，请说明理由；（2）若函数为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数是单调函数，且其值域为区间I试探究函数的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分卢湾区2011年高考模拟考试数学试题（理科）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题4分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 9 1011 12. 13 14.xyz二选择题（每小题5分）15A 16D 17C 18B19解：设圆柱下底面圆的半径为，连，由矩形内接于圆，可知是圆的直径， 于是，得， 3分又圆柱的体积，可得6分分别以直线为轴，建立空间直角坐标系，可得，8分设异面直线与所成角所成的角，向量与的夹角为，则， 故异面直线与所成角的余弦值为 12分20解：（1）3人参加活动次数各不相同的概率为 故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为 5分（2）由题意知：，； 7分； 9分 10分 的分布列为 ：01211分所以的数学期望: 13分21解：（1）设点的坐标分别为，则故，可得， 2分所以，4分故，所以椭圆的方程为 6分（2）设的坐标分别为，则，又，可得，即， 8分又圆的圆心为半径为，故圆的方程为， 即，也就是， 11分令，可得或2，故圆必过定点和 13分（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）22解：（1）由题意知， 又，可得， 2分即，故，又是正数，故4分（2）由是首项为1、公差为的等差数列，故，若插入的这一个数位于之间，则， 消去可得，即，其正根为7分若插入的这一个数位于之间，则，消去可得，即，此方程无正根故所求公差 9分（3）由题意得，又，故，可得，又，故，即又，故有，即 12分设个数所构成的等比数列为，则，由，可得， 14分又，由都为奇数，则q既可为正数，也可为负数，若q为正数，则，插入n个数的乘积为；若q为负数，中共有个负数，故，所插入的数的乘积为所以当N*)时，所插入n个数的积为；当N*）时，所插入n个数的积为 18分（另法：由又，由都为奇数，可知是偶数，q既可为正数也可为负数 若q为正数，则，故插入n个数的乘积为； 15分若q为负数，由是偶数，可知的奇偶性与的奇偶性相同， 可得所以当N*)时，所插入n个数的积为；当N*）时，所插入n个数的积为 18分）23解：（1）对任意的，有， 当且仅当时，有， 故存在唯一，满足， 2分所以1是函数的“均值” 4分(另法：对任意的，有，令，则，且， 若，且，则有，可得，故存在唯一，满足， 2分所以1是函数的“均值” 4分）（2）当时，存在“均值”，且“均值”为；5分当时，由存在均值，可知对任意的，都有唯一的与之对应，从而有单调，故有或，解得或或， 9分综上，a的取值范围是或 10分（另法：分四种情形进行讨论）（3）当I 或时，函数存在唯一的“均值”这时函数的“均值”为； 12分当I为时，函数存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数的“均值”； 14分当I 或或或或或时，函数不存在“均值” 16分评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分当且仅当I形如、其中之一时，函数存在唯一的“均值”这时函数的“均值”为； 13分当且仅当I为时，函数存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数的“均值”； 16分当且仅当I形如、其中之一时，函数不存在“均值” 18分（另法：当且仅当I为