医学统计学第11讲二项分布及其应用.ppt

二项分布及其应用 二项分布 Binomial distribution 在医学上常遇到一些事物，其结局只有两种 互相对立的结果。 如在毒理试验中，动物的生存与死亡；在动物诱 癌试验中，动物的发癌与不发癌；在临床治疗中 ，病人的治愈与未愈；理化检验结果的阴性与阳 性等等。均表现为两种互相对立的结果，每个个 体的观察结果只能取其中之一。 为了解这些随机现象的规律性，在 相同条件下进行多次试验。发现其 共同特点： （1）对立性 （2）独立性 （3）重复性 满足这些条件的n次重复独立试验为n重贝 努利试验，简称贝努利（Bernoulli）试验 或贝努利试验模型。 应用条件 二项分布的定义 XB(n,):随机变量X服从以n,为参数的 二项分布。 任意一次试验中，只有事件A发生和不发生两种 结果，发生的概率分别是: 和1 若在相同的条件下，进行n次独立重复试验，用X 表示这n次试验中事件A发生的次数，那么X服从 二项分布，记做 XB(n,)，也叫Bernoulli分布 。 二项分布的概率 例2.12：假设小白鼠接受一定剂量的毒物时, 其死亡概率是80%。对每只小白鼠来说， 其死亡事件A发生的概率是0.8，生存事件 A的发生概率是0.2。试验用3只小白鼠， 请列举可能出现的试验结果及发生的概率 。 Page21 所有可能结结 果 每种结结果的概率 死亡 数 生存数不同死亡数的概率 甲、乙、丙XnX 生 生 生0.20.20.2=0.2303 生 生 死0.20.20.8=0.80.22 生 死 生0.20.80.2=0.80.2212 死 生 生0.80.20.2=0.80.22 生 死 死0.20.80.8=0.820.2 死 生 死0.80.20.8=0.820.221 死 死 生0.80.80.2=0.820.2 死 死 死0.80.80.8=0.8330 1.0001.000 三只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算 死亡 1个 死亡 0个 死亡 2个 死亡 3个 ( 0.2 +0.8 )3 = (0.2)3+3(0.2)2(0.8)+3(0.2)(0.8)2+(0.8)3 三生 二生一死 一生二死 三死 0.008 0.096 0.384 0.512 事件A（死亡）发生的次数X（1，2， 3.n）的概率P: 如已知n=3，=0.8，则恰有例阳性的概率P(1)为： 二项分布的性质 若XB(n,)： X的总体均数为 X的方差为 X的标准差为 均数与标准差 若均数与标准差不用绝对数而用相对数即率 表示时，即对原式分别除以n： 样本率的总体标准差，又称样本率的标准 误，反映样本率的抽样误差的大小。 当未知时，常以样本率p来估计： 样本率的 总体均数 例：已知某地钩虫感染率为6.7，如 果随机抽查该地150人，记样本钩虫感 染率为p，求p的抽样误差p。 本例n150，0.067 累计概率 结果A最多有K次发生的概率： 结果A最少有K次发生的概率： 从阳性率为的总体中随机抽取n个个体，则 递推公式： 例：据以往经验，用某药治疗小儿上呼吸道感染、支 气管炎，有效率为85，今有5个患者用该药治疗， 问：至少3人有效的概率为多少？最多1人有效的 概率为多少？ 本例=0.85,1-=0.15,n=5 P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) 则P(X3)=0.1382+0.3915+0.44370.9734 二项分布的图形 在正态分布或其他连续性分布中， 常用分布曲线下的面积表示某区间 的概率；在二项分布中，则用线段 的长短表示取某变量值时的概率。 二项分布图形形状取决于n和的大小。 当0.5时，分布对称； 当 0.5时，分布呈偏态； 当0.5时，分布呈正偏态； 当 0.5时，分布呈负偏态。 特别是当n不是很大时，偏离 0.5越远，分布越偏 随着n的增大，二项分布逐渐接近正态 分布。 一般地说，如果 常可用正态近似原理处理二项分布问题， 以简化计算。 二项分布的应用条件 各观察单位只能有互相对立的两种 结果之一。 如阳性或阴性，生存或死亡等， 不允许考虑“可疑”等模糊结果，属于 二分类资料。 观察单位数n必须事先确定。 已知发生某一结果的概率不变，其 对立结果的概率则为（1- ）。 实际工作中要求是从大量观察中获 得的比较稳定的数值。 n次试验在相同条件下进行，且各观 察单位的结果互相独立。即每个观察单 位的观察结果不会影响到其他观察单位 的结果。 如要求疾病无传染性、无家族聚集 性等。 二项分布的应用 统计推断：统计推断： 总体率的区间估计 样本率和总体率的比较 两样本率的比较 总体率的区间估计 1.1.查表法查表法 当n50，p很接近0或1时，查附表6。 例：某医生用某药物治疗31例脑血管梗塞患者，其中 25例患者治疗有效，试求该药物治疗脑血管梗塞有效 概率的95可信区间。 n=31,X=25n/2,n-X=6 查表得可信区间： (1-37.5%, 1-7.5%)=(62.5%,92.5%) Page39 2.2.正态近似法正态近似法 例：从某地人群中随机抽取144人，检查乙型肝炎表面抗原携 带状况，阳性率为9.03，求该地人群的乙型肝炎表面抗原阳性 率的95可信区间。 n=144,p=9.03% 95%可信区间为 即（4.35，13.71） 单个总体率的假设检验 目的：目的：推断样本所代表的总体率与一个已 知总体率0是否相等。 1.1.直接计算概率法直接计算概率法 根据二项分布的概率分布计算概率或累计概率累计概率 ，依据小概率事件原理，作出统计推断。 例：新生儿染色体异常率为0.01，随机抽取 某地400名新生儿，发现1名染色体异常，请 问当地新生儿染色体异常是否低于一般？ H0 ： = 0.01 H1 ： 0.05 Poisson分布 Poisson分布也是一种离散型 分布，用以描述罕见事件发 生次数的概率分布。 Page22 每升水中大肠菌群数的分布/单位空间中某些野生动物 或昆虫数的分布 单位体积内粉尘的计数/单位面积内细菌计数 放射性物质单位时间内的放射次数 每天交通事故发生数的分布 血细胞或微生物在显微镜下的计数 人群中患病率很低的非传染性疾病的患病数 例如：例如： Poisson分布可以看作是发生的概率（或未 发生的概率1-）很小，而观察例数n很大时 的二项分布。除二项分布的三个基本条件以 外，Poisson分布还要求或（1-）接近于0 或1。 有些情况和n都难以确定，只能以观察单位（时 间、空间、面积等）内某种稀有事件的发生数X 来表示，如每毫升水中的大肠杆菌数，只要细菌 在观察单位内的分布满足以上条件，就可以近似 视为Poisson分布。 Poisson分布的定义 如果某事件的发生是完全随机的，则单位 时间或单位空间内，随机事件X发生0次、 1次、2次的概率为： 则称该事件的发生服从参数为的 Poisson分布，记为XP()。 P22 ：Poisson分布的总体均数 X：观察单位内某稀有事件的发生次数 e：自然对数的底，2.71828 Poisson分布的图形 Poisson分布的形状取决于的大小。 Poisson分布为正偏态分布，且愈小分 布愈偏；随着的增大， =20时分布逐 渐趋于对称；当50时，Poisson分布 近似正态分布，可按正态分布原理处理 。 Poisson分布的性质 1.Poisson分布的总体均数与总体方差相等 ，均为，即 ：即为均数，表示单位空间或单位时间内事 件平均发生的次数，又称强度参数。 当未知时，常用样本均数X/n作为 的估计值，则 n表示单位空间或单位时间数 2.Poisson分布具有可加性 观察某一现象的发生数时，如果它呈Piosson分布 ，那么把若干个小单位合并为一个大单位后，其总 计数亦呈Piosson分布。 如果X1P（1）, X2P（2）, XKP（K），那 么X=X1+ X2+ +XK ， 1 2 k ,则XP（）。 因此Poisson分布资料可利用可加性原 理使50，然后用正态近似法处理。 3.Poisson分布与二项分 布及正态分布的关系 Poisson分布是二项分布的特例，某现 象的发生率很小，而样本例数n很大时 ，则二项分布接近于Piosson分布。此 时可用 Piosson替代二项分布来简化计 算。 Possion分布的累积概率计算 n 常用的有左侧或右侧累计概率。单位空间或时 间内事件发生的次数 最多为k次的概率： 最少为k次的概率： 计算时可借助下列递推公式。 ,P(X+1)= P(X) /(X+1 ) Poisson分布的应用条件 由于Piosson分布是二项分布的特例，所以，二 项分布的三个条件也就是Poisson分布的适用条件 。 “大量、有或无” “小概率、重复” “独立性” 另外，单位时间、面积或容积、人群中观察事件 的分布应该均匀，才符合Poisson分布。 如细菌在牛奶中成集落存在，钉螺在繁殖 期成窝状散步时，不服从Poisson分布。 Poisson分布的应用 统计推断：统计推断： 总体均数的区间估计(p41) 样本均数和总体均数的比较 (p83) 两样本均数的比较 P41,p83 总体均数的区间估计 1.1.正态近似法正态近似法X50 2.2.查表法（附表查表法（附表7 7）X50 例4.6 用计数器两次测得某放射性物质5分钟内发 出的脉冲数分别为42和48个。假设单位时间内发射 的脉冲数符合Poisson分布，试估计该放射性物质每 5分钟平均发射脉冲数的95%可信区间。 (901.96，901.96)=(71.4，108.6) 则每单位时间(5分钟)该放射性物质平均发出脉冲数 为45.0个/5分钟，其95%CI 为：35.754.3个/5 分钟。用公式(4.15)计算，结果一样。 解：由X=42+48=90 ，得 例4.7 从一份混合均匀的自来水中取1升 水样，检出3个大肠菌群。试估计自来水 中平均每升水中大肠杆菌数的95可信 区间。 查附表7，得平均每升自来水中大肠杆菌群的95 可信区间为：0.628.77（个/升） 单个总体均数的假设检验 1.1.直接计算概率法直接计算概率法 2.2.正态近似法正态近似法50 例：某溶液原来平均每毫升有细菌80个， 现想了解某低剂量辐射能的杀菌效果。研 究者以此剂量照射该溶液后取1毫升，培 养得细菌40个。请问该剂量的辐射能是否 有效？ 解：一、建立检验假设，确定检验水准 H0 ： = 80 H1 ： 1.645, P0.05,按 0.050.05 拒绝 H0，接受H1。可以认为该剂量的辐射能有效 。 两个总体均数的假设检验 两个样本观察单位相同时，计算统计量 两个样本观察单位不同时，计算统计量 例7.12 分别用甲、乙两种培养基对同一 水样作细菌培养，每份水样均取1ml，各 培养8次，得细菌个数如下：甲培养基分 别为8，6，7，8，5，6，4，7；乙培 养基分别为10，8，11，11，9，8，9， 9。试比较两种培养基的效果有无差别？ 解：一、建立检验假设，确定检验水准 H0：两培养基效果相同，12； H1：两培养基效果不同，12。 = 0.05。 （二）计算检验统计量 据题意，本例为观察单位相同(均为1ml水样)的有重复试 验，且重复次数亦相同(n1 = n2 =8)。故 =2.1381 解：三、确定P值，下结论。 2.1381u0.05=1.96，P0.05， 按 = 0.05水准拒绝H0，接受H1，差 异有统计学意义。故可认为两种培养基 效果不同，结合资料可认为乙培养基培 养效果较好。 例7.13 某车间在改革生产工艺前，测取 三次粉尘浓度，每升空气中分别有38、 39、36颗粉尘；改革生产工艺后，测取 两次，分别有25、28颗粉尘。问工艺改 革前后粉尘颗粒有无差别？ 解：一、建立检验假设，确定检验水准 H0：工艺改革前后粉尘颗粒无差别，12； H1：工艺改革前后粉尘颗粒有差别，12。 = 0.05。 （二）计算检验统计量 据题意