高中数学 第三单元 导数及其应用章末复习课教学案 新人教b版选修1-1

第三单元 导数及其应用学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题知识点一在xx0处的导数1定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是li _，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数2几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线_知识点二导函数当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的_(简称_)，f(x)y_.知识点三基本初等函数的导数公式原函数导函数yC(C为常数)y_yxu(uQ*)y_ysin xy_ycos xy_yaxy_(a0，a1)yexy_ylogaxy_(a0且a1，x0)yln xy_知识点四导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)_积的导数f(x)g(x)_商的导数_(g(x)0)知识点五函数的单调性、极值与导数1函数的单调性与导数如果在(a，b)内，_，则f(x)在此区间内单调递增；_，则f(x)在此区间内单调递减2函数的极值与导数已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取_，记作y极大值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有_，则称函数f(x)在点x0处取_，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点知识点六求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤1求f(x)在开区间(a，b)内所有_2计算函数f(x)在极值点和_，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值类型一导数几何意义的应用例1已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型跟踪训练1已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，直线m：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由类型二函数的单调性与导数例2已知函数f(x).(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若对任意t，2，f(t)t恒成立，求实数a的取值范围反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法跟踪训练2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由类型三函数的极值、最值与导数例3已知函数f(x)x3ax2bxc，过曲线yf(x)上的点P(1，f(1)的切线方程为y3x1，yf(x)在x2时有极值(1)求f(x)的表达式；(2)求yf(x)在3,1上的单调区间和最大值反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者跟踪训练3已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值类型四分类讨论思想例4已知函数f(x)1.(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)设m0，求f(x)在m,2m上的最大值；(3)试证明：对nN，不等式ln()e3，试判断f(x)在(0,1上的单调性，并证明你的结论；(3)是否存在a，使得当x(0,1时，f(x)有最大值1?1曲线y在点M处的切线的斜率为( )A B. C D.2如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数yf(x)的图象可能是()3体积为16的圆柱，它的半径为_时，圆柱的表面积最小4已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为_5设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题答案精析知识梳理知识点一1 2斜率知识点二导函数导数li 知识点三0uxu1cos xsin xaxln aex知识点四f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)知识点五1f(x)0f(x)02f(x)f(x0)极小值知识点六1极值点2端点的函数值题型探究例1解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0), f(1)1，f(1)1, yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1), 即xy20.(2)由f(x)1，x0.当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)0，解得xa.当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值跟踪训练1解(1)因为f(x)3ax26x6a，且f(1)0，所以3a66a0，得a2.(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线yg(x)相切的直线方程设切点坐标为(x0,3x6x012)，又因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)将点(0,9)代入，得93x6x0126x6x0，所以3x30，得x01.当x01时，g(1)12，g(1)21，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y12x9；当x01时，g(1)0，g(1)9，切点坐标为(1,9)，所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)2x33x212x11，所以f(x)6x26x12.由f(x)12，得6x26x1212，解得x0或x1.当x0时，f(0)11，此时切线方程为y12x11；当x1时，f(1)2，此时切线方程为y12x10.所以y12x9不是公切线由f(x)0，得6x26x120，解得x1或x2.当x1时，f(1)18，此时切线方程为y18；当x2时，f(2)9，此时切线方程为y9，所以y9是公切线综上所述，当k0时，y9是两曲线的公切线例2解(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2，由f(x)2.故f(x)的单调递增区间为(，2)，单调递减区间为(2，)(2)若对任意t，2，f(t)t恒成立，则当x，2时，x恒成立，即当x，2时，aex恒成立设g(x)ex，x，2，则g(x)ex，x，2设h(x)ex，h(x)ex0在x，2上恒成立，h(x)在，2上单调递增，即g(x)ex在，2上单调递增g()e40，g(x)ex在，2上有零点m，g(x)ex在，m上单调递减，在m,2上单调递增，即ae2.即实数a的取值范围为(e2，)跟踪训练2解(1)求导得f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立，即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为3，2)和(，1，单调递减区间为(2，)又f(2)13，f()，f(3)8，f(1)4，所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.跟踪训练3解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.例4(1)解函数f(x)的定义域是(0，)由已知f(x)，令f(x)0，得1ln x0，所以xe.因为当0x0，当xe时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减(2)解由(1)知函数f(x)在(0，e上单调递增，在(e，)上单调递减，当02me，即0m时，f(x)在m,2m上单调递增，所以f(x)maxf(2m)1；当me时，f(x)在m,2m上单调递减所以f(x)maxf(m)1；当me2m，即me时，当mx0，当ex2m时，f(x)0，e，所以lnln()e，即对nN，不等式ln()e3，a3x20，即f(x)0.f(x)在(0,1上单调递增(3)当a3时，f(x)在(0,1上单调递增，f(x)maxf(1)a11.a2与a3矛盾当0a3时，令f(x)a3x20，得x或x(舍去)当x时，f(x)0，f(x)在上单调