高中数学 第二章 平面向量 2_2 向量的分解与向量的坐标运算学案 新人教b版必修4

22.1平面向量基本定理预习课本P9698，思考并完成以下问题(1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么？1平面向量基本定理(1)定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.(2)基底把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式点睛对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底2直线的向量参数方程式已知A，B是直线l上的任意两点，O是l外一点(如图所示)，则对于直线l上任意一点P，存在唯一实数t，使(1t) t ；反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应向量等式(1t) t 叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数当t时，()，此时P点为线段AB的中点，这是线段AB中点的向量表达式点睛直线的向量参数方程式中，其，的系数和为1.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)任意两个向量都可以作为基底()(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底()(3)零向量不可以作为基底中的向量()答案：(1)(2)(3)2如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为()Ae1e2B2e1e2C2e1e2 D2e1e2答案：B3设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()Ae1，e2 Be1e2,3e13e2Ce1,5e2 De1，e1e2答案：B4设e1，e2为两个不共线的向量，若点O是ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_.解析：3e22e1(6e24e1)()().答案： (答案不唯一)用基底表示向量典例如图，在平行四边形ABCD中，设对角线a，b，试用基底a，b表示，.解法一：由题意知，a，b.所以ab，ab，法二：设x，y，则y，又则所以xab，yab，即ab，ab.用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解活学活用如图，已知梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC3AD，a，b.试以a，b为基底表示，.解：ADBC，且ADBC，b.E为AD的中点，b.，b，babba，bbaba，()()ab.直线的向量参数方程式的应用典例已知平面内两定点A，B，对该平面内任一动点C，总有3(13) (R，点O为直线AB外的一点)，则点C的轨迹是什么图形？简单说明理由解法一：3(13)1且R，结合直线的向量参数方程式可知点C的轨迹是直线AB.法二：将已知向量等式两边同时减去，得(31) (13) (13)( )(13) ，即(13) ，R，A，B，C三点共线，即点C的轨迹是直线AB.直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A，B，C三点共线，则有xy，且xy1；(2)若xy，且xy1，则有A，B，C三点共线活学活用在ABC中，D为AB上一点，若2，则_.解析：法一：2，()在ACD中，()，.法二：2，A，B，D三点共线，又C在直线AB外，则1，.答案：平面向量基本定理的应用典例如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN.解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM41，BPPN32.一题多变1变设问在本例条件下，若a，b，试用a，b表示，解：由本例解析知BPPN32，则，b()babba.2变条件若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求APPM与BPPN.解：如图，设e1，e2，则2e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e12e2，2e1e2.故(2)e1(2)e2.而2e12e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM2，BPPN2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得层级一学业水平达标1已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且t(t1)，则t()A0B1C1 D任意实数解析：选B，共始点，且P，A，C三点共线，所以tt11，故t1，故选B.2设点O是ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()与；与；与；与.A BC D解析：选B寻找不共线的向量组即可，在ABCD中，与不共线，与不共线；而，故可作为基底3若AD是ABC的中线，已知a，b，则以a，b为基底表示()A.(ab) B.(ab)C.(ba) D.ba解析：选B如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而，即，从而()(ab)4在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若e1，e2，则()A.(e1e2) B.(e1e2)C.(2e2e1) D.(e2e1)解析：选A因为O是矩形ABCD对角线的交点，e1，e2，所以()(e1e2)，故选A.5(全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCD解析：选A由题意得.6已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：a，b是一组基底，a与b不共线，(3x4y)a(2x3y)b6a3b，解得xy3.答案：37已知e1，e2是两个不共线向量，ak2e1e2与b2e13e2共线，则实数k_.解析：由题设，知，3k25k20，解得k2或.答案：2或8如下图，在正方形ABCD中，设a，b，c，则在以a，b为基底时，可表示为_，在以a，c为基底时，可表示为_解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得答案：ab2ac9.如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来解：ab，b(ab)ab，()(ab)10证明：三角形的三条中线共点证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为ABC的三条中线，令a，b.则有ba.设G在AD上，且，则有a(ba)(ab)ba.(ab)aba.G在BE上，同理可证，即G在CF上故AD，BE，CF三线交于同一点层级二应试能力达标1在ABC中，点D在BC边上，且2，设a，b，则可用基底a，b表示为()A.(ab)B.abC.ab D.(ab)解析：选C2，.()ab.2在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A. B.C. D1解析：选AM为边BC上任意一点，可设xy.(xy1)N为AM的中点，xy.(xy).3如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()A若存在实数1，2，使得1e12e10，则120B平面内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对解析：选BA中，(12)e10，120，即12；B符合平面向量基本定理；C中，1e12e2一定在平面内；D中，1，2有且只有一对4已知非零向量，不共线，且2xy，若 (R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：选A由，得()，即(1) .又2xy，消去得xy2.5设e1，e2是平面内的一组基底，且ae12e2，be1e2，则e1e2_a_b.解析：由解得故e1e2ab.答案：6如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若 (，R)，则_.解析：因为EB，所以，所以，.答案：7设e1，e2是不共线的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若 4e13e2ab，求，的值解：(1)证明：若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.8若点M是ABC所在平面内一点，且满足：.(1)求ABM与ABC的面积之比(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设xy，求x，y的值解：(1)如图，由可知M，B，C三点共线，令 ()(1) ，所以，即面积之比为14.(2)由xyx，y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线22.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99102，思考并完成以下问题(1)两个向量垂直如何定义？(2)一个向量如何正交分解？(3)向量的直角坐标定义是什么？(4)如何由a，b的坐标求ab，ab，a的坐标？1两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底在正交基底下分解向量，叫做正交分解2向量的平面直角坐标的定义(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底e1，e2这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a(a1，a2)，其中a1叫做向量a在 x轴上的坐标分量，a2叫做a在 y轴上的坐标分量3向量的坐标表示若xe1ye2(x，y)，则的坐标(x，y)点A的坐标(x，y)4向量的直角坐标运算(1)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，a(_a1，a2)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)；线段AB中点公式点睛(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关()(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(4)点的坐标与向量的坐标相同()答案：(1)(2)(3)(4)2若a(2,1)，b(1,0)，则3a2b的坐标是()A(5,3) B(4,3)C(8,3)D(0，1)答案：C3若向量(1,2)，(3,4)，则()A(4,6) B(4，6) C(2，2) D(2,2)答案：A4若点M(3,5)，点N(2,1)，用坐标表示向量_.答案：(1，4)平面向量的坐标表示典例如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30角求点B和点D的坐标和与的坐标解由题知B，D分别是30，120角的终边与单位圆的交点设B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义，得x1cos 30，y1sin 30，B.x2cos 120，y2sin 120，D.，.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标活学活用已知O是坐标原点，点A在第一象限，|4，xOA60，(1)求向量的坐标；(2)若B(，1)，求的坐标解：(1)设点A(x，y)，则x4cos 602，y4sin 606，即A(2，6)，(2，6)(2) (2，6)(，1)(，7).平面向量的坐标运算典例(1)已知三点A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，则向量32_，2_.(2)已知向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab,3a,2a3b的坐标解析(1)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(1,5)，(4，1)，(5，4)323(1,5)2(4，1)(38,152)(11,13)2(5，4)2(1,5)(52，410)(7，14)答案(11,13)(7，14)(2)解：ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行活学活用1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b()A(7,3)B(7,7)C(1,7) D(1,3)解析：选A2b2(2,1)(4,2)，a2b(3,5)(4,2)(7,3)2已知M(3，2)，N(5，1)，则P点坐标为_解析：法一：设P(x，y)，(x3，y2)，(8,1)，(8,1)，法二：由知，P为MN的中点，由中点坐标公式得P点坐标为.答案：向量坐标运算的综合应用典例已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？解因为t(1,2)t(3,3)(13t,23t)，若点P在x轴上，则23t0，所以t.若点P在y轴上，则13t0，所以t.若点P在第二象限，则所以t.一题多变1变条件本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值解：由典例知P(13t,23t)，则解得t2.2变设问本例条件不变，试问四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由解：(1,2)，(33t,33t)若四边形OABP为平行四边形，则，所以该方程组无解故四边形OABP不能成为平行四边形向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的 层级一学业水平达标1如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为()A2i3jB4i2jC2ij D2ij解析：选C记O为坐标原点，则2i3j，4i2j，所以2ij.2已知a，且A，B，又，则a等于()A. B.C. D.解析：选Aa，aa.3已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b()A(1，2) B(1,2)C(5,6) D(2,0)解析：选Ab(3,2)2a(3,2)(2,4)(1，2)4在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则()A(2,4) B(3,5)C(1,1) D(1，1)解析：选C()(1,1)5已知M(2,7)，N(10，2)，点P是线段MN上的点，且2，则P点的坐标为()A(14,16) B(22，11)C(6,1) D(2,4)解析：选D设P(x，y)，则(10x，2y)，(2x,7y)，由2得所以6(江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.答案：37若A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，则2_.解析：A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，(2,3)，(3,3)2(2,3)2(3,3)(2,3)(6,6)(4,9)答案：(4,9)8已知O是坐标原点，点A在第二象限，|6，xOA150，向量的坐标为_解析：设点A(x，y)，则x|cos 1506cos 1503，y|sin 1506sin 1503，即A(3，3)，所以(3，3)答案：(3，3)9已知a，B点坐标为(1,0)，b(3,4)，c(1,1)，且a3b2c，求点A的坐标解：b(3,4)，c(1,1)，3b2c3(3,4)2(1,1)(9,12)(2,2)(7,10)，即a(7,10).又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，则(1x,0y)(7,10)，即A点坐标为(8，10)10已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标(2)若点P(2，y)满足 (R)，求与y的值解：(1)设B(x1，y1)，因为(4,3)，A(1，2)，所以(x11，y12)(4,3)，所以所以所以B(3,1)同理可得D(4，3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2，y21，所以M.(2)由(3,1)(2，y)(1,1y)，(4，3)(3,1)(7，4)，又 (R)，所以(1,1y)(7，4)(7，4)，所以所以层级二应试能力达标1已知向量(2,4)，(0,2)，则()A(2，2)B(2,2)C(1,1) D(1，1)解析：选D()(2，2)(1，1)，故选D.2已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1 B1，2C2，1 D1,2解析：选Dc1a2b，(3,4)1(1,2)2(2,3)(122,2132)，解得11，22.3已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3,2) D(1,3)解析：选A设点D(m，n)，则由题意得(4,3)2(m，n2)(2m,2n4)，故解得即点D，故选A.4对于任意的两个向量m(a，b)，n(c，d)，规定运算“”为mn(acbd，bcad)，运算“”为mn(ac，bd)设f(p，q)，若(1,2)f(5,0)，则(1,2)f等于()A(4,0) B(2,0)C(0,2) D(0，4)解析：选B由(1,2)f(5,0)，得解得所以f(1，2)，所以(1,2)f(1,2)(1，2)(2,0)5已知向量i(1,0)，j(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：存在唯一的一对实数x，y，使得a(x，y)；若x1，x2，y1，y2R，a(x1，y1)(x2，y2)，则x1x2，且y1y2；若x，yR，a(x，y)，且a0，则a的起点是原点O；若x，yR，a0，且a的终点坐标是(x，y)，则a(x，y)其中，正确结论有_个解析：由平面向量基本定理，可知正确；例如，a(1,0)(1,3)，但11，故错误；因为向量可以平移，所以a(x，y)与a的起点是不是原点无关，故错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故错误答案：16已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，|OC|2，且AOC.设 (R)，则 _.解析：过C作CEx轴于点E，由AOC知，|OE|CE|2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.答案：7在ABC中，已知A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标解：A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，(37,58)(4，3)，(47,38)(3，5)D是BC的中点，()(43，35)(7，8).M，N分别为AB，AC的中点，F为AD的中点.8在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，(1)若0，求的坐标(2)若mn (m，nR)，且点P在函数yx1的图象上，求mn.解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)所以解得所以点P的坐标为(2,2)，故(2,2)(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，所以(2,3)(1,1)(1,2)，(3,2)(1,1)(2,1)，因为mn，所以(x0，y0)m(1,2)n(2,1)(m2n,2mn)，所以两式相减得mny0x0，又因为点P在函数yx1的图象上，所以y0x01，所以mn1.22.3用平面向量坐标表示向量共线条件预习课本P103104，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？两向量平行的条件点睛两向量的对应坐标成比例这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知a(a1，a2)，b(b1，b2)，若ab，则必有a1b2a2b1.()(2)向量(2,3)与向量(4，6)反向()答案：(1)(2)2若向量a(1,2)，b(2,3)，则与ab共线的向量可以是()A(2,1) B(1,2)C(6,10)D(6,10)答案：C3已知a(1,2)，b(x,4)，若ab，则x等于()A B. C2 D2答案：D4已知向量a(2,3)，ba，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为_答案：向量共线的判定典例(1)已知向量a(1,2)，b(，1)，若(a2b)(2a2b)，则的值等于()A.B.C1 D2(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解析(1)法一：a2b(1,2)2(，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2(，1)(22，2)，由(a2b)(2a2b)可得2(12)4(22)0，解得.法二：假设a，b不共线，则由(a2b)(2a2b)可得a2b(2a2b)，从而方程组显然无解，即a2b与2a2b不共线，这与(a2b)(2a2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以，即.答案A(2)解：(0,4)(2,1)(2,3)，(5，3)(1,3)(4，6)，(2)(6)340，共线又2，方向相反综上，与共线且方向相反向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由ab(b0)推出ab.(2)利用向量共线的坐标表达式a1b2a2b10直接求解活学活用已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，若kab与a3b平行，则4(k3)10(2k2)0，解得k，此时kabab(a3b)，故kab与a3b反向k时，kab与a3b平行且方向相反三点共线问题典例(1)已知(3,4)，(7,12)，(9,16)，求证：A，B，C三点共线；(2)设向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？解(1)证明：(4,8)，(6,12)，即与共线又与有公共点A，A，B，C三点共线(2)若A，B，C三点共线，则，共线，(4k，7)，(10k，k12)，(4k)(k12)7(10k)0.解得k2或k11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用，或，或都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式活学活用设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：(2x,2)(x,1)(x,1)，(1,2x)(2x,2)(12x,2x2)，(5,3x)(1,2x)(4，x)由与共线，所以x214，所以x2.又与方向相同，所以x2.此时，(2,1)，(3,2)，而2231，所以与不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上所以A，B，C，D不在同一条直线上向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于E，用向量的方法证明：DEBC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|1，则| |1，|2.CEAB，而ADDC，四边形AECD为正方形，可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，即DEBC.题点二：几何形状的判断2已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形证明：由已知得，(4,3)(1,0)(3,3)，(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，与共线(1,2)，(2,4)(4,3)(2,1)，(1)12(2)0，与不共线四边形ABCD是梯形(2,1)，(1,2)，|，即BCAD.故四边形ABCD是等腰梯形题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标解：法一：设tt(4,4)(4t,4t)，则(4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，(2,6)(4,0)(2,6)由，共线的条件知(4t4)64t(2)0，解得t.(3,3)P点坐标为(3,3)法二：设P(x，y)，则(x，y)，(4,4)，共线，4x4y0.又(x2，y6)，(2，6)，且向量，共线，6(x2)2(6y)0.解组成的方程组，得x3，y3，点P的坐标为(3,3)应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2解析：选BA中向量e1为零向量，e1e2；C中e1e2，e1e2；D中e14e2，e1e2，故选B.2已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a(2，)，若a，则实数的值为()AB.C. D解析：选C根据A，B两点的坐标，可得(3,1)，a，2130，解得，故选C.3已知A(2，1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是()A(2,1) B(6，3)C(1,2) D(4，8)解析：选D(1,2)，向量(2,1)、(6，3)、(1,2)与(1,2)不平行；(4，8)与(1,2)平行且方向相反4已知向量a(x,2)，b(3，1)，若(ab)(a2b)，则实数x的值为()A3 B2C4 D6解析：选D因为(ab)(a2b)，ab(x3,1)，a2b(x6,4)，所以4(x3)(x6)0，解得x6.5设a，b，且ab，则锐角为()A30 B60C45 D75解析：选Aab，tan cos 0，即sin ，30.6已知向量a(3x1,4)与b(1,2)共线，则实数x的值为_解析：向量a(3x1,4)与b(1,2)共线，2(3x1)410，解得x1.答案：17已知A(1,4)，B(x，2)，若C(3,3)在直线AB上，则x_.解析：(x1，6)，(4，1)，(x1)240，x23.答案：238已知向量a(1,2)，b(2,3)，若ab与ab共线，则与的关系是_解析：a(1,2)，b(2,3)，ab(1,2)(2,3)(1,5)，ab(1,2)(2,3)(2，23)，又(ab)(ab)，1(23)5(2)0，.答案：9已知A，B，C三点的坐标为(1,0)，(3，1)，(1,2)，并且，求证：.证明：设E，F的坐标分别为(x1，y1), (x2，y2)，依题意有(2,2)，(2,3)，(4，1)，(x11，y1)(2,2)点E的坐标为.同理点F的坐标为，.又(1)40，.10已知向量a(2,1)，b(1,1)，c(5,2)，mbc(