高中数学 3_2_1 直线的方向向量与直线的向量方程学案 新人教b版选修2-1

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程1理解直线的方向向量，了解直线的向量方程2会用向量的方法证明线线、线面、面面平行(重点)3会用向量证明两条直线垂直，会利用向量求两条直线所成的角(重点、难点)基础初探教材整理1用向量表示直线或点在直线上的位置阅读教材P95P96“例1”，完成下列问题1.给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量ta，这时点P的位置被t的值完全确定当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使ta.向量方程通常称作直线l以t为参数的参数方程向量a称为该直线的方向向量图3212对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式ta.如果在l上取a，则式可化为(1t)t.或或都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l的方向向量的基线与l一定重合()(2)直线l的方向向量a一定是单位向量()(3)已知A，B，P三点共线，O为空间中任一点，若xy，则xy1.()(4)若点A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为t.()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2用向量证明直线、平面间的平行关系阅读教材P97P98内容，完成下列问题1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，得l1l2或l1与l2重合v1v2.2已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l或l在内存在两个实数x，y，使vxv1yv2.3已知两个不共线的向量v1，v2与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得或与重合v1且v2.1直线l的方向向量为a，平面内两共点向量，下列关系中能表示l的是()AaBakCap D以上均不能【答案】D2若a(42m，m1，m1)，b(4,22m,22m)分别为直线l1，l2的方向向量，且l1l2，则实数m_.【解析】l1l2，ab，解得m3.当m1时，也适合题意，故m1或3.【答案】1或3教材整理3利用向量证明两直线垂直及求夹角阅读教材P99P101内容，完成下列问题1设直线l1和l2所成的角为，方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2，cos |cos v1，v2|.2求两直线所成的角应注意的问题在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1，v2，所以cosv1，v2.但要注意，两直线的夹角与v1，v2并不完全相同，当v1，v2为钝角时，应取其补角作为两直线的夹角1设l1的方向向量a(1,3，2)，l2的方向向量b(4，3，m)，若l1l2，则m等于_【解析】l1l2，1(4)33(2)m0，m.【答案】2若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角是150，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于_【解析】由异面直线所成角的定义可知，l1与l2所成的角为18015030.【答案】30质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型确定直线上点的位置已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)(1)若()，求P点的坐标；(2)若P是线段AB上的一点，且APPB12，求P点的坐标【精彩点拨】(1)由条件先求出，的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标(2)先把条件APPB12转化为向量关系，再运算【自主解答】(1)(1,1,5)，(3，1,5)()(2,2,0)(1,1,0)P点的坐标为(1,1,0)(2)由P是线段AB上的一点，且APPB12，知.设点P的坐标为(x，y，z)，则(x3，y4，z)，(2x,5y,5z)，故(x3，y4，z)(2x,5y,5z)，即得因此P点的坐标为.此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点的坐标的方程或方程组求解即可再练一题1如图322，已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，以的方向为正向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：图322(1)APPB12；(2)AQQB2.求点P和点Q的坐标【解】(1)由已知，得2，即2()，.设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2,4,0)(1,3,3)，即x，y，z011.因此，P点的坐标是.(2)因为AQQB2，所以2，2()，2，设点Q的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2,4,0)2(1,3,3)(0,2,6)，即x0，y2，z6.因此，Q点的坐标是(0,2,6)利用空间向量证明垂直问题在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AEBF，求证：A1FC1E. 【导学号：15460071】【精彩点拨】分析题意建立空间直角坐标系表示出A1，F，C1，E的坐标表示出向量与0A1FC1E【自主解答】以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)设AEBFx，则E(a，x,0)，F(ax，a,0)(x，a，a)，(a，xa，a)(x，a，a)(a，xa，a)axaxa2a20，即A1FC1E.利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量再练一题2正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点，证明：图323(1)BD1AC；(2)BD1EB1.【证明】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1,1,1)(1)(1，1,1)，(1,1,0)，(1)(1)(1)1100，BD1AC.(2)(1，1,1)，(1)(1)110，BD1EB1.求异面直线所成的角如图324，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，VDC.当时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值图324【精彩点拨】确定A，C，V，D的坐标求向量与计算cos，的大小，并转化为AC与VD夹角的余弦值【自主解答】由于ACBC2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)当时，在RtVCD中，CD，V(0,0, )，(2,0,0)，(1,1，)，cos，.异面直线AC与VD所成角的余弦值为.1几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可2由于两异面直线夹角的范围是，而两向量夹角的范围是0，故应有cos |cos |，求解时要特别注意再练一题3在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4，DD13，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值【解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得(0,4，3)，(4,0，3)设与的夹角为，则cos ，故与的夹角的余弦值为，即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.探究共研型利用空间向量证明线面、面面平行探究1利用待定系数法求平面法向量的解题步骤是什么？【提示】探究2在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA2，DC3，DD14，M，N，E，F分别为棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点求证：平面AMN平面EFBD.【提示】法一建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,3,0)，M(1,0,4)，N，E，F(1,3,4)，(1,0,4)，(1,0,4)，.MNEF，AMBF.MN平面EFBD，AM平面EFBD.又MN平面AMN，AM平面AMN，且MNAMM，平面AMN平面EFBD.法二由法一可知，A(2,0,0)，M(1,0,4)，N，D(0,0,0)，E，F(1,3,4)，则(1,0,4)，(1,3,4)设平面AMN，平面EFBD的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则即令x11，得z1，y1.又即令y21，得z2，x2.n1，n2，n1n2，即n1n2，平面AMN平面EFBD.如图325，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C平面OC1D.图325【精彩点拨】证明线面平行，可用平面内的一组基底表示直线，然后证明直线不在平面内【自主解答】设a，b，c，则ac，bc，c(ab)设存在实数x，y，使得xy成立，则acx(bc)yab(xy)c.a，b，c不共线，解得2，即向量，共面向量不在，所确定的平面OC1D内，B1C平面OC1D.1利用空间向量证明线面平行一般有三种方法方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直2利用空间向量证明面面平行，求出两平面的法向量，若两法向量是共线向量，则可判定两平面平行再练一题4.在如图326所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点，求证：AB平面DEG.图326【证明】EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE.又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，(0,2,2)，(2,2,0)，(2,0，2)设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得z1，x1，则n(1,1，1)，n2020，即n.AB平面DEG，AB平面DEG.构建体系1给定下列命题：若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n20；若n是平面的法向量，且向量a，则an0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确命题的个数是()A1B2C3D4【解析】正确，中由，得n1n2.【答案】C2.如图327，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()图327A. BC. D【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，(0,1，2)，(1,0,2)，cos，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.【答案】D3在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_. 【导学号：15460072】【解析】由OPOQ，所以0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)030.cos x0或cos x.x0，x或x.【答案】或4直线l1的方向向量为v1(1,0，1)，直线l2的方向向量为v2(2,0，2)，则直线l1与l2的位置关系是_【解析】v1v2(1,0，1)(2,0，2)0，v1v2，l1l2.【答案】垂直5在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面CB1D1.图328【证明】如图，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，B1(1,0,1)，C(1,1,0)，D1(0,1,1)，(1,0，1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1,1,0)，A1BD1C，B1D1BD.又D1C平面CB1D1，A1B平面CB1D1，A1B平面CB1D1，同理BD平面CB1D1.又A1BBDB，平面A1BD平面CB1D1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量v2(，4,6)，若l1l2，则()A1B2C3D4【解析】l1l2，v1v2，则，2.【答案】B2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内【解析】，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内【答案】D3已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A. BC. D【解析】(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直线AB，CD所成角的余弦值为.【答案】A4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.【答案】B5如图329，空间正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()图329A. BC. D【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，则，cos，0.，.【答案】D二、填空题6已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直线ADBC，并且AD交坐标平面xOz于点D，则点D的坐标为_【解析】D平面xOz，设D(x,0，z)，则(x，3，z5)，(1,3,0)，(x，3，z5)(1,3,0)，即点D的坐标为(1,0,5)【答案】(1,0,5)7在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_. 【导学号：15460073】【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，cos，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.【答案】8设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)，A(1，3,2)，B(8，1,4)确定的平面上，则a_.【解析】(1，3,2)，(6，1,4)，(2a1，a1,2)，A，B，C，P四点共面设xy，则(2a1，a1,2)(x6y，3xy,2x4y)，解得a16.【答案】16三、解答题9已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图3210所示)，并且k，k，k，m，m.求证：图3210(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2)；(3)k.【证明】(1)由m，m，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面(2)mm()k()km()kkmk(m)k，.(3)由(2)知kkk()k.k.10如图3211所示，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，N是A1A的中点图3211(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值【解】如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)|，BN的长为.(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，3.又|，|，cos，.异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.能力提升1已知直线l1的方向向量a(2,4，x)，直线l2的方向向量b(2，y,2)，若|a|6，