高中数学 第3章 数系的扩充与复数章末分层突破学案 新人教b版选修

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线章末分层突破自我校对1ac，bdabiZ(a，b)ac(bd)i(ac)(bd)i复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义复数zlog3(x23x3)ilog2(x3)，当x为何实数时，(1)zR；(2)z为虚数【精彩点拨】根据复数的分类列方程求解【规范解答】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以由得x4，经验证满足式所以当x4时，zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以由得x或x3.所以当x且x4时，z为虚数再练一题1设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3B1C1D3(2)设复数z满足i(z1)32i(i是虚数单位)，则复数z的实部是_. 【导学号：05410076】【解析】(1)因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.(2)法一：设zabi(a，bR)，则i(z1)i(abi1)b(a1)i32i.由复数相等的充要条件，得解得故复数z的实部是1.法二：由i(z1)32i，得z123i，故z13i，即复数z的实部是1.【答案】(1)D(2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i21)，除法运算注意应用共轭的性质z为实数(1)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z1i，则i()A2B2iC2D2i(2)设复数z满足(z2i)(2i)5，则z()A23iB23iC32iD32i【精彩点拨】(1)先求出及，结合复数运算法则求解(2)利用方程思想求解并化简【规范解答】(1)z1i，1i，1i，i1ii(1i)(1i)(1i)2.故选C.(2)由(z2i)(2i)5，得z2i2i2i2i23i.【答案】(1)C(2)A再练一题2已知(12i)43i，则的值为()A.iB.iCiDi【解析】因为(12i)43i，所以2i，所以z2i，所以i.【答案】A复数的几何意义1.复数的几何表示法：即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解2复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变(1)在复平面内，复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为()A(0，1)B(0,1)C. D.【精彩点拨】先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标【规范解答】(1)复数i.复数对应点的坐标是.复数在复平面内对应的点位于第一象限故选A.(2)i，其对应的点为(0，1)，故选A.【答案】(1)A(2)A再练一题3已知复数z对应的向量如图31所示，则复数z1所对应的向量正确的是()图31(2)若i为虚数单位，图32中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()图32AEBFCGDH【解析】(1)由题图知，z2i，z12i11i，故z1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z3i，所以2i，则其在复平面上对应的点为H(2，1)【答案】(1)A(2)D转化与化归思想一般设出复数z的代数形式，即zxyi(x，yR)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法设zC，满足zR，z是纯虚数，求z.【精彩点拨】本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.【规范解答】设zxyi(x，yR)，则zxyii，zR，y0，解得y0或x2y21，又zxyiyi是纯虚数x，代入x2y21中，求出y，复数zi.再练一题4满足z是实数，且z3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由【解】设虚数zxyi(x，yR，且y0)，则zxyixi，z3x3yi.由已知，得因为y0，所以解得或所以存在虚数z12i或z2i满足题设条件1(2015全国卷)设复数z满足i，则|z|()A1B.C.D2【解析】由i，得zi，所以|z|i|1，故选A.【答案】A2(2015广东高考)若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则()A23iB23iC32iD32i【解析】zi(32i)3i2i223i，23i.【答案】A3(2016全国卷)已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，)D(，3)【解析】由题意知即3m1.故实数m的取值范围为(3,1)【答案】A4(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1B.C.D2【解析】(1i)x1yi，xxi1yi.又x，yR，x1，y1.|xyi|1i|，故选B.【答案】B5若z12i，则()A1B1CiDi【解析】因为z12i，则12i，所以z(12i)(12i)5，则i.故选C.【答案】C章末综合测评(三)数系的扩充与复数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a，bC，下列命题正确的是()A3i5iBa0|a|0C若|a|b|，则abDa20【解析】A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，bR时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|，但ii或i；D选项中，当aR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i210，b24b5(b2)210.所以复数对应的点在第四象限故选D.【答案】D10如果复数z3ai满足条件|z2|2，那么实数a的取值范围是()A(2，2)B(2,2)C(1,1)D(， )【解析】因为|z2|3ai2|1ai|2，所以a214，所以a23，即a.【答案】D11若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则()Ab2，c3Bb2，c3Cb2，c1Db2，c1【解析】因为1i是实系数方程的一个复数根，所以1i也是方程的根，则1i1i2b，(1i)(1i)3c，解得b2，c3.【答案】B12设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20【解析】设zabi(a，bR)，选项A，z2(abi)2a2b22abi0，则故b0或a，b都为0，即z为实数，正确选项B，z2(abi)2a2b22abi0，则则故z一定为虚数，正确选项C，若z为虚数，则b0，z2(abi)2a2b22abi，由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误选项D，若z为纯虚数，则则z2b20，正确【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知i是虚数单位，计算_.【解析】i.【答案】i14a为正实数，i为虚数单位，2，则a_.【解析】1ai，则|1ai|2，所以a23.又a为正实数，所以a.【答案】15设a，bR，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_. 【导学号：05410078】【解析】abi53i，依据复数相等的充要条件可得a5，b3.从而ab8.【答案】816若复数z满足|zi|(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为_【解析】设zxyi(x，yR)，则由|zi|可得，即x2(y1)22，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)计算：(1)(i)2(45i)(2)2 016.【解】(1)(i)2(45i)2(1i)2(45i)4i(45i)2016i.(2)20161 008i(1i)1 0081i(i)1 0081i1i.18(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值. 【导学号：05410079】【解】由得解得将x，y代入得(54a)(6b)i98i，所以所以a1，b2.19(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.【解】(1)当k25k60，即k6或k1时，z是实数(2)当k25k60，即k6且k1时，z是虚数(3)当即k4时，z是纯虚数(4)当即k1时，z是0.20(本小题满分12分)已知复数z满足|z|，z2的虚部是2.(1)求复数z；(2)设z，z2，zz2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求ABC的面积【解】(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，由题意得a2b22且2ab2，解得ab1或ab1，所以z1i或z1i.(2)当z1i时，z22i，zz21i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，所以SABC1.当z1i时，z22i，zz213i，所以A(1，1)，B(0,2)，C(1，3)，所以SABC1.21(本小题满分12分)已知复数z1i，z2i，z32i，z4在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.(1)求证：A，B，C，D四点共圆；(2)已知2 ，求点P对应的复数【解】(1)|z1|z2|z3|z4|，即|OA|OB|OC|OD|，A，B，C，D四点都在圆x2y25上，即A，B，C，D四点共圆(2)A(0，)，B(，)，(，)设P(x，y)，则(x，y)，若2 ，那么(，)(2x,2y2)，解得点P对应的复数为i.22(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量1，2分别对应复数z1，z2，且z1(10a2)i，z2(2a5)i，aR.若1z2可以与任意实数