八年级数学下册课后补习班辅导等腰三角形和等边三角形的轴对称性讲学案苏科版

一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。等腰三角形和等边三角形的轴对称性【本讲教育信息】一. 教学内容：等腰三角形和等边三角形的轴对称性目标探索等腰三角形及其特殊形式等边三角形的轴对称性及其相关性质。二. 重、难点：1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件；2. 等边三角形的概念及其性质。三. 知识要点： 1. 等腰三角形（1）等腰三角形是轴对称图形。顶角平分线所在直线是它的对称轴。（2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。（简称“三线合一”）等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”）（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 等边三角形（a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。（b）等边三角形特殊的性质： 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 等边三角形各角相等，并且每一个角都等于。（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）【典型例题】例1. 已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为（ ）（A）2，2，6（B）3，3，4（C）4，4，2（D）3，3，4或4，4，2 分析：可采用排除法。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。2，2，6不满足；而3，3，4或4，4，2都满足题意。答：选D。例2. O为锐角ABC的C平分线上一点，O关于AC、BC的对称点分别为P、Q，则POQ一定是（ ）（A）等边三角形（B）等腰三角形（C）直角三角形（D）等腰直角三角形分析：设OP、OQ分别交AC、BC于E、F，由线段的对称轴是它的垂直平分线知：OEAC，且OEOP；同理OFBC，且OF OQ；由角平分线的性质知：OEOF，则OPOQ。POQ一定是等腰三角形答：选B例3. （1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm，那么斜边长等于_。（2）等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于，则这个等腰三角形的顶角等于_，底角等于_。（3）等边三角形的周长是30cm，一边上的高是8cm，则三角形的面积为_ _。解：（1）设斜边长为cm，则直角边长为，根据题意，。解得cm（2）设顶角的一个外角为，则。而顶角的一个外角等于一个底角的2倍，所以等腰三角形的底角等于，顶角等于。（3）等边三角形三边相等，则其边长为，例4. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少，求这个三角形的三个内角的度数。（考虑两种情况）解：设等腰三角形的底角为，则顶角为，则解得： 设等腰三角形的顶角为，则底角为，则解得： 综上可得：三个内角的度数分别为，或，。例5. 如图所示，点D在AC上，点E在AB上，且ABAC，BCBD，ADDEEB，求A的度数。解：设EBD，DEEB，EDBEBD，AEDEDB+EBD2（三角形外角不相邻的两个内角和）ADDE，AEDA2，CDBABD +A3（同上）BCBD，CCDB3，又ABAC，ABCC 3；在ABC中A+C+ABC，即2+3+3解得：A245例6. 如图，在RtABC中，ABAC，BD平分B，DEBC，若BC10cm，求DCE的周长。解：BD平分B， DAAB， DEBCABBE（易证RtBADRtBED）又ABAC BE， DE DADCE的周长EC+DE+DC EC+DA+DC EC+AC EC+BEBC10cm。例7. 已知：如图，在ABC中，ABAC，BDAC，求证：DBCA分析1：用折半法。找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等。证法1：作顶角平分线AE。AEBC（等腰三角形“三线合一”），EAC+C （三角形内角和定理）BDAC（已知），DBC+CDBC+CEAC+C（等量代换）DBCEACEACA（角平分线定义），DBCA（等量代换）分析2：用加倍法。找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等。证法2：作DBFDBC，BF交AC于F。由作法得FBC2DBC，即DBCFBD。在BFD与BCD中，BFDBCD（ASA）BFDC，FBC （三角形内角和定理）又CABC，ABC2CFBCA（等量代换）DBCFBC（已证），DBCA【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 下列说法正确的是（ ） （A）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合（B）顶角相等的两个等腰三角形全等（C）等腰三角形一边不可以是另一边的二倍（D）等腰三角形的两个底角相等 2. 中，有一点既在的对称轴上，又在对称轴上，则该点一定是（ ）（A）点（B）中点（C）中点（D）中点 3. 已知中，且，则的取值范围是（ ）（A）（B） （C）（D） 4. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）（A）等腰直角三角形（B）有一角为的等腰三角形（C）正方形（D）圆 5. 在等腰三角形ABC中，ABAC，BE、CD分别是底角的平分线，DEBC，图中等腰三角形的个数有（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. （1）等腰三角形中有一个角为，则它的一条腰上的高与底边的夹角为_。（2）等腰三角形的一个内角为，则其它两个内角为_。（3）一个等腰三角形有两边分别为4 cm和8cm，则周长是_cm。（4）若等腰三角形的顶角为，则腰上的高与底边的夹角为_。 7. 如图，ABC中，ABAC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BECE。 8. 等腰ABC的腰长AB10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，BCD的周长为26cm，则底边BC的长是多少？ 9. 如图，有三条交叉的公路，现要在三条公路交叉所形成的区域内建一货运站，使得货运站到三条公路交叉点的路程一样长，请问如何确定货运站的位置？简单叙述你的方法。 10. 用13种方法，将一个等边三角形分割成4个等腰三角形。【试题答案】 1. D2. D3. B4. D5.D 6. （1）或；（2）；（3）20；（4） 7. 证明：ABC中，ABAC，BDCD（已知），ADBC（等腰三角形“三线合一”），AD垂直平分线段BC，点C和点B关于直线AD对称，又点E在对称轴AD上，BECE（轴对称的性质） 8. 解：AB的垂直平分线交另一腰AC于DADBDBD+CDAD+CDAC又ACAB10cmBCBCD的周长（BD+CD） BCD的周长AC261016cm。 9. 作法：