高二数学下学期期中试题 理_25

福建省福州市福建省福州市 2016-20172016-2017 学年高二数学下学期期中试题学年高二数学下学期期中试题 理理 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 2017.4.27 第第卷卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分. .每题有且只有一个选项是正确每题有且只有一个选项是正确 的，请把答案填在答卷相应位置上）的，请把答案填在答卷相应位置上） 1复数 3 21 i i （i为虚数单位）的共轭复数是 A 21 55 i B 21 55 i C 21 33 i D 21 33 i 2. 下列推理过程属于演绎推理的为 A老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后 再用于人体试验 B由 2 11 ， 2 132 ， 2 1353 ，得出 2 135(21)nn C由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重 心的连线）交于一点 D通项公式形如(0) n n acqcq 的数列 n a为等比数列，则数列 2 n 为等比数列 3. 在“近似替代”中，函数)(xf在区间, 1ii xx上的近似值 A.只能是左端点的函数值)( i xf B.只能是右端点的函数值)( 1i xf C.可以是该区间内的任一函数值 ii f(, 1ii xx） D.以上答案均正确 4.设)(xf是可导函数，且3 )2()( lim 00 0 x xxfxxf x ，则)( 0 xf A0 B 1 2 C 1 D 2 5.某个自然数有关的命题，如果当 1nk (*)nN 时，该命题不成立，那么可推得 nk 时，该命题不成立现已知当 2016n 时，该命题成立，那么，可推得 A 2015n 时，该命题成立B 2017n 时，该命题成立 C 2015n 时，该命题不成立D 2017n 时，该命题不成立 6.若45paa ，36qaa，0a ，则、的大小关系pq 是 A.pq B.pq C.pq D.由a的取值确定 7. 函数 3 ( )3f xxx 在区间 2 (12, )aa 上有最小值，则实数a的取值范围是 A( 1, 11) B( 1,2) C( 1,2 D(1,4) 8设,(0,)a b ，则 1 a b ， 1 b a A都不大于 2 B都不小于 2 C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2 9下面给出了四个类比推理 , a b为实数，若 22 0ab 则 0ab ；类比推出： 1 z 、 2 z 为复数，若 22 12 0zz ，则 12 0zz 若数列 n a 是等差数列， 12n n aaa b n ，则数列 n b 也是等差数列；类比 推出：若数列 n c 是各项都为正数的等比数列， 123 n nn dc c cc A A A ，则数列 n n d n d 也是等比数列 若 , ,a b cR ,则( )()ab ca bc ；类比推出：若a 、b 、c 为三个向量则 ()()a b ca b c A AA A . 若圆的半径为a，则圆的面积为 2 a ；类比推出：若椭圆的长半轴长为a，短半轴 长为b，则椭圆的面积为 ab 上述四个推理中，结论正确的是 ABCD 10.记 ( )( )n fx 为函数 ( )f x 的n (*)nN 阶导函数，即 ( )(1) ( )( ) nn fxfx (2,*)nnN 若 ( )cosf xx ，且集合 () |( )sin ,*,2017 m Mm fxx mNm ， 则集合M中元素的个数为 A1006B1007C503D504 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 11. 若纯虚数z满足(1)1i zai ，则实数a等于 12计算定积分 1 2 1( sin )xx dx = 13. 用数学归纳法证明 1+n（nN*，n1）时，由 (1)nk k 时，第一步应验证的不等式是 14. 二维空间中，圆的维测度（周长）2lr；二维测度（面积） 2 Sr；一 维空间中球的二维测度（表面积） 2 4Sr，三维测度（体积） 3 4 3 Vr，应用合情推 理，若四维空间中， “超球”的三维测度 3 8Vr，则其四维测度W 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 3 3 个小题，共个小题，共 4040 分分. .解答应写出文字说明、演算步骤或证明解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程过程. .） 15 （本小题满分 14 分）复数 2 (1)(3 10 )(49 )zi mi mi ， （其中 i为虚数单 位，mR ） ， （1）0m 当时，求复数z的模； （2）当实数m为何值时复数z为纯虚数； （3）当实数m为何值时复数z在复平面内对应的点在第二象限？ 16（本小题满分 12 分）设点P在曲线 2 1 2 yx 上，从原点向 (2,2)A 移动，如果直 线OP，曲线 2 1 2 yx 及直线 2x 所围成的阴影部 分面积分别记为 1 S 、 2 S （）当 1 S = 2 S 时，求点P的坐标； （）当 1 S + 2 S 有最小值时，求点P的坐标和 最小值 17 （本小题满分 14 分）已知函数( )2ln(2 ),(0, f xaxx xe ， ln ( ),(0, x g xxe x ，其中e是自然对数的底数，aR . （）当1a 时，求函数( )f x的单调区间和极值； （）求证：在（）的条件下 1 ( )( ) 2 f xg x ； （）是否存在实数a，使( )f x的最小值是 3，若存在，求出a的值；若不存在，请 说明理由. 第第卷卷 四、选择题（本大题共四、选择题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 1616 分分. .每题有且只有一个选项是正确每题有且只有一个选项是正确 的，请把答案填在答卷相应位置上）的，请把答案填在答卷相应位置上） 18.若 22 12 14 ,32zmmmmi mR zi，则1m 是 12 zz的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D即不充分又不必要条件 19. 某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢 4 个红包，每人最多抢一个，且 红包被全部抢光，4 个红包中有两个 2 元，两个 3 元（红包中金额相同视为相同的红包） ， 则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ） A35 种 B24 种 C18 种 D9 种 20. 在下面的四个图象中，其中一个图象是函数 322 1 ( )(1)1() 3 f xxaxaxaR 的导 函数( )yfx 的图象，则(1)f等于 x y Ox y Ox y ZO x y O A. 1 3 B 7 3 C. 1 3 D 1 3 或 5 3 21. 已知定义在 R 上的可导函数)(xf满足：)()(xfxf0，则 1 2 2 )( mm e mmf 与 ) 1 (f（e 是自然对数的底数）的大小关系 A. 1 2 2 )( mm e mmf ) 1 (f B. 1 2 2 )( mm e mmf ) 1 (f C. 1 2 2 )( mm e mmf ) 1 (f D.不确定 五、填空题（本大题共五、填空题（本大题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1010 分）分） 22. 5 1 (2)(1)x x 展开式中 2 x 项的系数是_. 23. 观察下列等式： 12 1 33 781011 12 3333 161719202223 39 333333 则当m n 且 ,m nN 时， 313234353231 333333 mmmmnn =_.（最 后结果用 ,m n 表示） 六、解答题（本大题共有六、解答题（本大题共有 2 2 个小题，共个小题，共 2424 分分. .解答应写出文字说明、演算步骤或证明解答应写出文字说明、演算步骤或证明 过程过程. .） 24. （本小题满分 12 分）某学校记者团由理科组和文科组构成，具体数据如下表所示： 组别理科文科 性别男生女生男生女生 人数 3331 学校准备从中选 4 人到社区举行的大型公益活动中进行采访，每选出一名男生，给其所在 小组记 1 分，每选出一名女生，给其所在小组记 2 分，若要求被选出的 4 人中理科组、文 科组的学生都有. （）求理科组恰好记 4 分的概率； （）设文科组男生被选出的人数为，求随机变量的分布列和数学期望( )E . 25.（本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( )2ln (0)f xxxax a （）当1a 时，试求函数图像过点(1,(1)f的切线方程； （）当2a 时，若关于x的方程( )3f xxb 有唯一实数解，试求实数b的取值 范围； （）若函数( )f x有两个极值点 1 x、 2 x 12 ()xx ，且不等式 12 ()f xm x A恒成立， 试求实数m 的取值范围. 高二数学（理） 试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每题有且只有一个选项是正确的， 请把答案填在答卷相应位置上） 1-10 BDCCB ACCDD 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11. 1 12 2 3 13. 14. 4 2 r 三、解答题（本大题共有 3 个小题，共 40 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. ） 15解：由已知整理得： 22 (34)(109)zmmmmi 2 分 （1）当049mzi 时， ， 22 =-+9 = 97z（4） 6 分 （2）当 2 2 340 1090 mm mm ， 41 91 mm mm 或 即 且 ，4m 即时，复数z为纯虚数 10 分 （3）当 2 2 340 1090 mm mm ， 41 19 m mm 即 或 ， 41m即时，复数z在复平面内对 应的点在第二象限 14 分 16解：（）设点P的横坐标为t (02)t ，则P点的坐标为 2 1 ( ,) 2 tt ， 直线OP的方程为 1 2 ytx 23 1 0 111 () 2212 t Stxxdxt ， 2 23 2 1114 () 22123 t Sxtx dxtt ， 因为 1 S = 2 S ， ，所以 4 3 t ，点P的坐标为 4 8 ( , ) 3 9 . 6 分 （）S= 1 S + 2 S = 3 1 12 t + 3 14 123 tt = 3 14 63 tt 2 1 1 2 St ，令 0S 得 2 1 10 2 t ， 2t 因为0 2t 时， 0S ； 22t 时， 0S y A O P x 所以，当 2t 时， min 42 2 3 S ，P点的坐标为 ( 2,1)12 分 17解：（）当1a 时， 121 ( )2,(0, x fxxe xx 1 分 当 1 0 2 x 时，( )0fx ，此时( )f x单调递减； 当 1 2 xe 时，( )0fx ，此时( )f x单调递增. 所以( )f x的极小值为 1 ( )1 2 f 故：( )f x的单调递减区间为 1 (0, ) 2 ，单调递增区间为 1 ( , 2 e，极小值为 1 ( )1 2 f ，无极 大值. 4 分 （）令 1ln1 ( )( ) 22 x h xg x x ， 2 1ln ( ),(0, x h xxe x 5 分 当0xe 时，( )0h x ，此时( )h x单调递增， 所以 max 1111 ( )( )1 222 h xh e e ， 7 分 由（）知 min ( )1f x ，所以在（）的条件下 1 ( )( ) 2 f xg x . 9 分 （）假设存在实数a，使( )2ln(2 ),(0, f xaxx xe 有最小值 3， 121 ( )2,(0, ax fxaxe xx . 10 分 当0a 时，因为(0, xe ，所以( )0fx ，( )f x在(0, e上单调递减，所以 min ( )( )2ln(2 )3f xf eaee ，解得 4ln2 2 a e （舍去） 11 分 当 1 0 2 e a ，即 1 2 a e 时，( )f x在 1 (0,) 2a 上单调递减，在 1 (, 2 e a 上单调递增， 所以 min 11 ( )()1ln3 2 f xf aa ，解得 2 ae ，满足条件. 12 分 当 1 2 e a ，即 1 0 2 a e 时，( )0fx ，( )f x在(0, e上单调递减，所以 min ( )( )2ln(2 )3f xf eaee ，解得 4ln2 2 a e （舍去）13 分 综上，存在实数 2 ae ，使得当(0, xe 时( )f x的最小值为 3. 14 分 第第卷卷 一、选择题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.每题有且只有一个选项是正确的， 请把答案填在答卷相应位置上） 18-21 ACAA 二、填空题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 22.-10 23. 22 nm 三、解答题（本大题共有 2 个小题，共 24 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. ） 24. 解:( )要求被选出的 4 人中理科组、文科组学生都有,共有 132231 646464 194C CC CC C 种结果， 2 分 其中“理科组恰好记 4 分“的选法有两种情况: 从理科组选 2 男 1 女,文科组任选 1 人，有 211 334 36C C C AA种方法, 从理科组中选 2 女,再从文科组任选 2 人，有 22 34 18C C A种方法 所以 361827 19497 P . 6 分 ()由题意可得=0，1，2，3. 13 16 2010 (0) 19419497 C C P A 13 37 105 (1) 194194 C C P A 22 37 63 (2) 194194 C C P A 31 36 63 (3) 19419497 C C P A 10 分 其分布列为 0123 P 10 97 105 194 63 194 3 97 11 分 数学期望 10105633249 ( )0123 9719419497194 E . 12 分 25.解：（）当1a 时，有 2 ( )2lnf xxxx 2 1221 ( )22 xx fxx xx (1)1 f 过点(1,(1)f的切线方程为：( 1)1yx 即20xy . 3 分 （）当2a 时，有 2 ( )22lnf xxxx ，其定义域为(0,) 从而方程( )3f xxb 可化为： 2 52lnbxxx 令 2 ( )52lng xxxx ，