电路课件第3章（第五版邱关源高等教育出版社）

第三章 电阻电路的一般分析 熟练掌握电路方程的列写方法： 1.支路电流法 2.网孔、回路电流法 3.结点电压法 重点 1 线性电路分析方法的基础 元件的电压、电流关系 VCR 。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件的VCR列 方程、解方程。 根据列方程时所选变量： 支路电流法 回路电流法 结点电压法 电路的连接关系KCL，KVL定律。 2 3-1 电路的图 一、电路的图 R4 R1R3 R2 R5 uS + _ i 5 4 3 2 1 6 抛开元 件性质 元件的串联及电流 源和电阻的并联组 合作为一条支路 有向图：指定 图的每一条支 路的方向。 3 二、拓扑图的基本概念 (1) 图的定义(Graph) G=支路，结点 a. 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在 ， 因此允许有孤立结点存在。 b. 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同 时移去。 一个图是支路和结点的一个集合，每 条支路的两端都联到相应的结点上。 4 从图G的一个结点出发沿着一 些支路连续移动到达另一结点所经 过的支路构成路经。 (2) 路径 （3）连通图 图G的任意两结点间至少有 一条路经时称为连通图，非连通 图至少存在两个分离部分。 如果一条路径的起点和终点重合， 且经过的其他结点都相异，这条路 径就构成G的一个回路。 （4）回路： 5 即满足下列条件： （5）树 (Tree) 包含G的全部结点和部分支路，本 身是连通的且又不包含回路 树支：构成树的支路连支：属于G而不属于T的支路 不 是 树 树 (1)连通 (2)包含所有结点 (3)不含闭合路径 6 2）树支的数目是一定的： 连支数：树支之外的其它支路数 特点:1）对应一个图有很多的树 7 12 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 5 6 7 8 1 2 3 4 5 1 3 5 6 7 8 1 2 3 4 5 2 4 5 7 1 2 3 4 5 判断树? 2 5 6 7 8 1 2 3 4 5 2 5 8 1 2 3 4 5 8 （6）基本回路(单连支回路) 基本回路组（单连支回路组）：由全部单连支回路， 这组回路是独立的，独立回路数等于连支数，即： 1 2 3 45 6 1 2 3 1 2 3 6 基本回路具有独占的一条连枝 45 1 2 3 9 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 特点： 1）对应一个图有很多的回路； 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数 网孔：平面图的一个自然的“孔”，它所限定的区 域内不再有支路。 平面图的全部网孔就是一组独立回路，数目 恰好是该图的独立回路数。 10 例 8 7 6 54 32 1 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对 应的基本回路。 8 7 6 5 86 4 3 8 2 4 3 11 3-2 KCL和KVL的独立方程数 一.KCL的独立方程数 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 1 4 3 2 4123 = 结论 n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。 12 二.KVL的独立方程数 KVL的独立方程数=基本回路数=b(n1) 结 论 n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL 和KVL方程数为： 13 3-3 支路电流法 (branch current method ) 一、支路电流法 1、以支路电流作为电路变量 2、任取n-1个结点，列KCL方程。 3、把支路电压用支路电流来表示，列KVL方程。 4、联立方程求解 (n-1)结点方程 (b-1+n)独立回路方程 共计b个方程 14 R1 R2 R3 R4 R5 R6 + i2 i3i4 i1 i5 i6 uS 1 2 3 4 例 1 3 2 有6个支路电流，需列写6个方程。 KCL方程: 取网孔为基本回路，沿顺时针 方向绕行列KVL写方程: 结合元件特性消去支路电压得： 回路1 回路2 回路3 1 2 3 当us列到方程右侧，电压源 电压方向与该回路方向相反时 ，取正号；反之取负号。 15 二. 支路电流法的一般步骤： (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向； (2) 选定(n1)个结点，列写其KCL方程； (3) 选定b(n1)个独立回路，元件特性VCR代入，列 写其 KVL方程； (4) 求解上述方程，得到b个支路电流； (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。 16 三. 支路电流法的特点： 支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方 程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支 路数不多的情况下使用。 17 例 1. 结点a：I1I2+I3=0 (1) n1=1个KCL方程： 求各支路电流及电压源各自发出的功率。 解 (2) b( n1)=2个KVL方程： 11I2+7I3 -6=0 7I111I2-70+6=0 1 2 70V 6V 7 b a + + I1 I3 I2 7 11 解得： 18 例 2. 结点a：I1I2+I3=0 (1) n1=1个KCL方程： 列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源） 解1. (2) b( n1)=2个KVL方程： 11I2+7I3= U 7I111I2=70-U a 1 2 70V 6A 7 b + I1 I3 I2 7 11 增补方程：I2=6A + U _ 1 解2. 70V 6A 7 b + I1 I3 I2 7 11 a 由于I2已知，故只列写两个方程： 结点a：I1+I3=6 避开电流源支路取回路： 7I17I3=70 19 例 3. I1I2+I3=0 列写支路电流方程.(电路中含有受控源） 解 11I2+7I3= 5U 7I111I2=70-5U 增补方程：U=7I3 a 1 2 70V 7 b + I1 I3 I2 7 11 + 5U _ + U _ 有受控源的电路，方程列写分两步： (1) 先将受控源看作独立源列方程； (2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的 方程，消去中间变量。 （1） 20 3-4 回路电流法 (loop current method) 一.回路电流法 以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方 程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称 网孔法。 l基本思想 为减少未知量(方程)的个数，假想每 个回路中有一个回路电流。各支路电流 可用回路电流的线性组合表示，来求得 电路的解。 21 KCL自动满足，因此回路电流法是对独立回路列写 KVL方程，方程数为： l列写的方程数 与支路电流法相比， 方程数减少n-1个。 i1 i3 uS1uS2 R1 R2 R3 b a + + i2 il1 il2 独立回路为2,选图示的两个独 立回路，支路电流可表示为： KCL自动满足 22 二. 方程的列写 回路1：R1 il1+R2(il1- il2) +uS2-uS1=0 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 整理得： (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 uS1uS2 R1 R2 R3 b a + + il1 il2 R11il1+R12il2=uSl1 R21il1+R22il2=uSl2 令：R11=R1+R2 R22=R2+R3 R12=R21=-R2 23 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 R11il1+R12il2=uSl1 R21il1+R22il2=uSl2 回路1的自电阻。等于 回路1中所有电阻之和 回路2的自电阻。等于回 路1中所有电阻之和 回路1、回路2的互电阻。 R21= R2 回路1、回路2的互电阻。 R12= R2 当两个回路电流流过相关支路方向相同时， 互电阻取正号；否则为负号。 观察可以看出规律： uS1uS2 R1 R2 R3 + + il1 il2 24 R11il1+R12il2=uSl1 R21il1+R22il2=uSl2 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 回路1中所有电源 电压的代数和。 回路2中所有电源电 压的代数和。 当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号 ；相反时,取正号。 uS1uS2 R1 R2 R3 + + il1 il2 25 一般：对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有 : R11il1+R12il2+R13il3+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il2+R23il3+ +R2l ill=uSl2 Rl1il1+Rl2il2+Rl3il3+ +Rll ill=uSll 26 例 1. 用回路电流法求解电流 i 。 解1 独立回路有三个，选网孔为独立回路： i1 i3 i2 （1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，Rjk均为负。 表明： RS R5 R4 R3 R1R2 US + _ i 27 RS R5 R4 R3 R1R2 US + _ i 解2 只让一个回路电流经过R5支路 i1 i3 i2特点： （1）减少计算量; （2）互有电阻的识别难度 加大，易遗漏互有电阻。 28 i3 i1 i2 三.注意： l 引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程： 例2: RS R4 R3 R1R2 US + _ iS U _ + 电流源看作电 压源列方程 增补方程： 1.理想电流源支路的处理 29 l 选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路, 该回路电流即 iS 。 RS R4 R3 R1R2 US + _ iS i1 为已知电流，实际减少了一方程 i3 i2 30 l 与电阻并联的电流源，可做电源等效变换 I R IS 转换 + _ RIS I R 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源 看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回 路电流表示。 2.受控电源支路的处理 31 例3: RS R4 R3 R1R2 US + _ 5U _ + _ + U i1 i3 i2 受控电压源看作独 立电压源列方程 增补方程： 32 例4:求电路中电压U、电流I 和电压源产生的功率。 4V 3A 2 + I U 3 1 2A 2A i1 i4 i2 i3 解: i1 33 例5： 列回路电流方程 解1: 选网孔为独立回路 1 4 3 2 _ + _ + U2 U 3 增补方程： R1 R4 R5 gU1 R3 R2 U1 _ + + _ U1 iS 34 解2 回路2选大回路 增补方程： R1 R4 R5 gU1 R3 R2 U1 _ + + _ U1 iS 1 4 3 2 35 3-5 结点电压法 (node voltage method) 一.结点电压法 以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。 适用于结点较少的电路。 任意选择参考点，其它结点与参考点的电压即是 结 点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。 选结点电压为未知量，任一支路的电压可以通 过结点电压表示，KVL自动满足。 各支路电流、电压可视为结点电压的线性组 合。求出结点电压后，便可方便地得到各支路电 压、电流。 l基本思想： 36 KVL自动满足 l列写的方程个数 结点电压法列写的是结点上 的KCL方程，独立方程数为： 与支路电流法相比， 方程数减少b-(n-1)个。 u uA uB u+uB-uA=0 37 二.方程的列写 (1) 选定参考结点， 标明其余n-1个独立 结点的电压: (2) 列KCL方程： i1+i2=iS1+iS2 -i2+i3+i4=0 把支路电流用 结点电压表示： - i3+i5= - iS2 iS1 uS iS2 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 + _ 1 3 2 ？ 38 整理，得：令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5，则： 等效电流源 G11=G1+G2 结点1的自导 G33=G3+G5 结点3的自导 G12= G21 = -G2 结点1与结点2 之间的互电导 G23= G32 = -G3 结点2与结点3之 间的互电导， G22=G2+G3+G4 结点2的自导 iSn1=iS1+iS2 注入结点1 的电源电流的代数和 iSn2=-iS2uS/R5 注入结点2的电源 电流的代数和。 39 iS1 uS iS2 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 + _ 1 3 2 40 G11 +G12 G13 = iSn1 G21 +G22 G23 = iSn2 G31 +G32 G33 = iSn3 标准形式的结点 电压方程 un1 un2 un3 un1 un2 un3 un1 un2 un3 41 一 般 情 况 G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iSn1 G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1 其中： Gii 自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之 和(包括电压源与电阻串联支路)，总为正。 当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。 iSni 注入结点i 的所有电源电流的代数和。流入结 点取正号，流出取负号。 Gij = Gji 互电导，等于接在结点i 与结点 j 之间支路 的电导之和，总为负。 42 结点法的一般步骤： (1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点； (2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量 ，列方程； (3) 求解上述方程，得到n-1个结点电压； (5) 其它分析。 (4) 求各支路电流(用结点电压表示)； 43 试列写电路的结点电压方程。 Un1 Un2 Un3 Un1 Un2 Un3 Un1 Un2 Un3 例1: Us G3 G1 G4G5 G2 + _ GS 3 1 2 (G1+G2+GS) -G1 Gs =USGS -G1 + (G1 +G3 + G4) -G4 =0 GS -G4 +(G4+G5+GS) =USGS 44 三.注意： （1）以电压源电流为变量，增 补结点电压与电压源间的关系： . 无伴电压源支路的处理 Us G3 G1 G4G5 G2 + _ 3 1 2 (G1+G2)Un1-G1Un2 =I -G1Un1+(G1 +G3 + G4)Un2-G4Un3 =0 -G4Un2+(G4+G5)Un3 =I Un1-Un3 = US 看 成 电 流 源 增补方程： I 45 （2） 选择合适的参考点： Un1= US 3 1 2 Us G3 G1 G4G5 G2 + _ 2. 受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源 看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用 结点电压表示。 Un1 Un2 Un3-G1 + (G1 +G3 + G4) -G3 =0 Un1 Un2 Un3 -G2 -G3 +（G2+G3+G5） =0 46 (1)先把受控源当作独立 源列方程； (2) 用结点电压表示控制量： 列写电路的结点电压方程。 例 iS1 R1 R3 R2 gmuR2 + uR2 _ 2 1 47 (1)设参考点，把受控源 当作独立源列方程： (2) 用结点电压表示控制量： 列写电路的结点电压方程。 例 2 13 iS1 R1 R4 R3 gu3 + u3 _ R2 + r i i R5 + uS _ 解 48 例：