高中数学（北师大版）选修1-1教案：第1章 知识详解：细说“命题及其关系”

细说“命题及其关系“有关命题及其关系，已经在近年许多省市的试卷中出现，往往和其他知识结合起来进行综合考查，多以选择题和填空题形式出现，偶而也有解答题。学习命题及其关系，应注意理解一个命题和其他三个命题之间的关系，注意正确区分否命题与命题的否定，理解互为逆否命题之间的等价性及其在证明中的应用。一、知识点精讲1命题一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；（2）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：、等。2命题的结构在数学中，具有“若则”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的叫做命题的条件，叫做命题的结论。数学中有一些命题虽然表面上不是“若则”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若则”的形式。3四种命题交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便。4四种命题的形式用和分别表示原命题的条件和结论，用、分别表示和的否定，四种形式就是：原命题：若，则，即；逆命题：若，则，即；否命题：若则，即；逆否命题：若则，即。5四种命题之间的关系 6四种命题间真假命题的判断 一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假说明：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题互为逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。7否命题与命题的否定 否命题与命题的否定是两个不同的概念，若表示命题，“非”叫做命题的否定。如果原命题是“若则”的形式，那么这个命题的否定是“若则非”，即只否定结论。原命题的否定命题是“若非，则非”，即既否定条件，又否定结论。二、范例剖析例1 将下列命题改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题。 （1）正数的平方根不等于0； （2）当时，；分析：首先分清条件和结论，然后写成“若则”的形式。解析：（1）原命题：若是正数，则的平方根不等于零；逆命题：若的平方根不等于零，则是正数；否命题：若不是正数，则的平方根等于零；逆否命题：若的平方根等于零，则不是正数。（2）原命题：若，则；逆命题：若，则；否命题：若，则；逆否命题：若，则。评注：根据四种命题的定义来写，注意否命题与命题的否定的区别。例2 判断命题“已知、为实数，若关于的不等式的解集非空，则”的逆否命题的真假。分析：可以先写出原命题的逆否命题，直接判断其真假；也可以利用原命题与其逆否命题的等价关系，去判断原命题的真假；又问题涉及到不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解。解析：方法1：逆否命题：已知、为实数，如果，关于的不等式的解集为空集。判断如下：抛物线开口向上，判别式。，即抛物线与轴无交点，关于的不等式的解集为空集。故逆否命题为真。方法2：先判断原命题的真假。、为实数，且关于的不等式的解集非空，。，原命题为真，又原命题与其逆否命题等价，逆否命题为真。方法3：利用集合的包含关系求解。命题：关于的不等式有非空解集，命题：。：关于的不等式有实数集，：。，“若，则”为真，其逆