第四讲 分类讨论型问题

分类讨论型问题的解题策略数学思想和方法属于基础知识的范畴，分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法。近年各地中考试题都加强了数学思想方法的考查，其中分类讨论思想的应用最为广泛，成为检测学生分析问题和解决问题能力的常见题型。分类讨论是在解题过程中，将某一数学对象根据它本身的本质属性，按照一定的原则或标准分成若干类，然后逐类进行讨论解决，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案的一种思想方法；其作用是克服思维的片面性，防止漏解。常见的分类讨论题有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按字母的取值范围分类（二次根式的化简，一元二次方程概念中二次项不为0等）；按图形的位置分类（如点与直线，直线与圆的位置关系等）。考查方式有填空题，选择题，综合题，特别是在中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。【例题讲解】例1 、若是关于x的一元二次方程，求a、b的值解答：当 或或或或时，原方程为关于x的一元二次方程，因此，得或或或或解析： 结合方程特点，由于 x2a+b项的次数是2a+b ， -2x a -b项的次数是a b,因而考虑这两个次数至少有一个为2即可，共有五种情况。按题目的要求解决问题时，考虑问题要全面周到，要把所有可能的情况进行穷举，避免出现少解或漏解的情况。例2、（04年贵阳市）如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒1的速度移动，若AB长为10，点O到BC的距离为4。（1） 求弦BC的长；（2） 问经过几秒后，BPC是等腰三角形。点拔：第（2）问中P为动点，使得线段PB、PC的长是变化的，由于在“BPC是等腰三角形”的条件中，没有指明哪两条边为腰，所以要分三种不同情况进行讨论才能将问题回答完整。解答：（1）过O作ODBC于D，则BD=CD，在RtOBD中，用勾股定理求得BD=3 BC=6（2设经过x秒，BPC为等腰三角形，PA= x，PB=10 x 当PB=BC时，10 x = 6，x = 4 当PB=PC时，则P与O点重合，PB=5 ，10 x=5 x =5 当PC=BC时，过C点作CEAB于E点，连结AC，在RtABC中，求得AC=8，由AC2 AE2 = BC2 BE2，得x =2.8综上所述：经过2.8秒、4秒、5秒时BPC是等腰三角形。解析：1、本题的第（1）问过O作ODBC于D，OD是“弦心距”线段，见弦作出“弦心距”线段，使用勾股定理和垂径定理解题是圆中常用的作辅助线方法。2、本题的第（2）问是分别将PBC固定，再求解，体现了由动到静的转化思想及分类讨论思想。与等腰三角形、直角三角形、三角形全等或相似有关的分类讨论的考题是近年中考的热点题型。例3、（04年济南市）如图，已知直线的图象与、轴交于A、B两点直线经过原点，与线段AB交于点C，把AOB的面积分为21的两部分求直线的解析式解答：先求得 A( -3, 0) , B(0 , 3) . 如图（1），当直线 l 把ABO的面积分为SAOCSBOC =21时,作CFOA于F，CEOB于E，SAOB= . 则SAOC ，AOCF=3 . 即 CF=2 . 同理，解得 CE = 1 . C( -1 ,2) . 直线l的解析式为 如图（2），当直线 l 把ABO的面积分为SAOCSBOC=12时,同理求得C( - 2 ,1) . 直线l的解析式为 y= - 0 .5x . 解析：本题是由语言的模糊性导致分类情况的产生，AOB是定三角形， “直线OC把AOB的面积分为21的两部分”时，C点的位置并不确定，出现两种情况，画出符合题意的两种图形分别进行求解即可。本题要求学生通过分析题意画出符合要求的图形，培养学生的分类意识。例4、已知：在ABC中，C=90，AC=BC=8，要在ABC中剪出一个扇形，使扇形的半径都在ABC的边上，且扇形的弧与ABC的其他边相切。（1） 请画出符合题意的设计方案示意图；（2） 若用剪下的扇形作圆锥的侧面，请计算出此圆锥的底面半径。解：（1）有四种设计方案， (2)如图（a），取AB中点M，以点C为圆心，CM长为半径画弧，分别交BC、AC于D、E两点，连结CM。求得l =2 l=2r，2r=2，r=如图（b），作B的平分线交AC于点O，以O为圆心，OC长为半径画弧，交AC于点E，作OMAB于M，则CO=OM，求得l = (8 8) ，l=2r，2r = 2 (8 8) ，解得r = 4 4如图（c），以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于D，求得l=2 r=1如图(d)，取AB中点O，作ODAC于D，O为圆心，OD长为半径画弧，交AB于E、F两点求得l = 4，r= 2综上所述：r= 或r = 44或r=1或r= 2解析：这是一道考查学生动手作图能力的设计题。要使扇形的半径都在ABC的边上，则有两种情况：其一为扇形的顶点在RtABC的一边上，由于直角三角形有直角边、斜边之分；有锐角顶点、直角顶点之分，所以它们又各有两种情况。求圆锥的底面半径时只需注意扇形的弧长是圆锥底面的周长。例5、如图，等腰ABC的两直角边AB=AC=6cm,O的半径为rcm，圆心O从点A出发，沿着线路ABBCCA运动，回到点A时，O随着点O所运动而移动。（1）若r=cm,求O第一次与BC边相切时，AO的长；（2）在O移动过程中，自A点出发再移动到与A点重 合，与各边共相切几次？请写出不同情况下r的取值范围及相切的次数；（3）设O在整个移动过程中，在ABC内部，O未经过的部分的面积为S（cm2），在S0时，求S关于r的函数解析式。解答：（1）设O首次与BC相切于点D，则有ODBC，且OD= r =，在R tBDO中，OBD=45 AO= AB - OB=（62）cm，（2）由等腰直角三角形的直角边AB=6cm,所以作斜边BC上的高AF，则AF=ABSin45= 6当r6 cm时，O与ABC各边不相切；当r = 6 cm时，O与ABC各边共相切2次；当6r6 cm时，O与ABC各边共相切4次；当r = 6 cm时，O与ABC各边共相切5次；当0r6 cm时，O与ABC各边共相切6次；（3）如图，已知在S0时，O在移动中，在RtABC内部未经过的部分为等腰直角三角形，这个RtABC的三边分别与原RtABC三边平行，且平行线间距离等于r。设BC与AF交于E点，则AEBC，又过点A作AGAB于点G，则AG= r AA=r ，AE=AF r r= 6（+1）r。BC=26 （+1）r S = BCAE=26 （+1）r6（+1）r =6 （+1）r2=（3+2）r2 12（+1）r+36 0r6（ 1）解析：第（2）问是动圆与直线相切的问题，想象出动圆与三角形各边相切的情况，针对每一种可能出现的情况来求解，方能保证解题的完整性，体现了分类讨论思想的重要性。第（3）问关键是能画出未经过部分的图形形状。此题综合性强，难度大，应加强这方面的训练。【巩固练习】1、如图1，在ABC 中，B 、C 均为锐角，其对边分别为b、c,求证：=；（2）在ABC 中，AB=，AC=，B =450,问满足这样的ABC 有几个?在图2中作出来(不写作法,不述理由)并利用(1)的结论求出ACB的大小。 2、（04年广东茂名市）已知：ABC的两边AB、BC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边长为10。问当为何值时，ABC是等腰三角形。3、阅读下面的例题：解方程解：（1）当x0时，原方程化为x2 x 2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）（2）当x0时，原方程化为x2 + x 2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2原方程的根是x1=2, x2= - 2 请参照例题解方程4、（04年云南）如图已知ABC内接于O，AE切O于点A，BCAE。（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）设，点P是射线AE上的点，若以A、P、C为顶点的三角形与ABC相似，问这样的点有几个？并求AP的长；5、（01咸宁市）如图已点A的坐标为（2，0），动点P在直线y=x3上，求使PAO为直角三角形的点P的坐标。BDCA6、（04浙江省衢州市）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm.P、Q两点同时从A点出发，分别以1cm/秒和2cm/秒的速度沿ABCDA运动，当Q点回到A点时，P、Q两点即停止运动，设点P、Q运动时间为t秒。（1） 当P、Q分别在AB边和BC边上运动时，设以P、B、Q为顶点的三角形面积为s，请写出s关于t的函数解析式及自变量t的取值范围。（2） 在整个运动过程中，t取何值时，PQ与BD垂直。 【参考答案】1、 2、由已知方程得： 不妨设AB=，BC=，显然ABBC。而ABC的第三边长AC为10。（1）若AB=AC，则=10，得=8，即=8时，ABC为等腰三角形； （2）若BC=AC，则=10，即=10时。ABC为等腰三角形； 3、x1= 0 ，x2= 24、（1）BCAE，BCA=CAE，又AE切O于点A，CAE=ABC，BCA=ABC ，AB=AC ABC是等