画法几何-课件-260页.ppt

画 法 几 何 本课程是一门既有投影理论，又 与生产实践相联系的技术基础课。 本课程研究用投影的方法绘制工 程图样和解决空间几何问题。 工程图样是工程界的技术语言。 本课程的性质、任务 1.学习正投影的基本理论； 2.培养阅读和绘制工程图样的能力； 3.培养空间想象能力； 4.培养用图形软件绘制图样的能力。 本课程的任务 1.建立平面图形和空间形体间的对应关系； 2.注重作图的实践环节； 3.循序渐进，不断努力。 平面图形 空间形体 （二维） （三维） 读图 画图 学习方法 投射中心、物体、投影面三者之间的 相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差 中心投影法投影特性 投射线 投射中心 物体 投影面 投影 物体位置改 变，投影大 小也改变 绪论 投影法 斜角投影法 平行投影法投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。 投射线互相平行 且垂直于投影面 投射线互相平行 且倾斜于投影面 直角（正）投影法 绪论 投影法 p b a p 采用多面投影。 过空间点a的投射线 与投影面p的交点即为点 a在p面上的投影。 b1 b2 b3 点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。 点在一个投影面上的投影 a 第一章 第一节 点的投影 解决办法？ h w v 一、点的三面投影 投影面 正立投影面（或称v面） 水平投影面（或称h面 ） 侧立投影面（或称w面 ） 投影轴 o x z ox轴 v面与h面的交线 oz轴 v面与w面的交线 oy轴 h面与w面的交线 y 三个投影面 互相垂直 w h v o x 空间点a在三个投影面上的投影 a 点a的正面投影 a点a的水平投影 a点a的侧面投影 空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。 a a a a z y wv h x y z o v h w a a a a x a az a y 向右翻 向下翻 不动 投影面展开 a a z a a y a y a x y y o az x x y z o v h w a a a a 点的投影规律: aa ox轴 aaz = aay = xa（a到w面的距离） aax= aaz=y （a到v面的距离） x a az a y y z az a x y ay o a ax ay a aaoz轴 aax =aa y = za （ a到h面的距离 ） a a ax 二 已知点的两个投影，求第三投影。 a a a ax az az 解法一: 通过作45线 使aaz=aax 解法二: 用圆规直接量 取aaz=aax a 例题1 已知点a的正面与侧面投影，求点a的水平投影。 a 三、特殊位置点的投影 h v ox b b c c cc c a b bb aa a a 四、两点的相对位置 两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。 判断方法： x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上 b a a a b b b点在a点之 前、之右、之 下。 x yh yw z 五 重影点的投影 c d(c) d c d a(b) a b a b 重影点： 空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。 a、c为h面的重影点 aa c c 被挡住的投 影加( ) ( ) a、c为哪个投 影面的重影点 呢？ a c 例题2 已知点a在点b之前5毫米，之上9毫米，之 右8毫米，求点a的投影。 a a a 9 8 5 x y z o v h w a a a a 点的投影规律: aa ox轴 aaz = aay = xa（a到w面的距离） aax= aaz=y （a到v面的距离） x a az a y y z az a x y ay o a ax ay a aaoz轴 aax =aa y = za （ a到h面的距离 ） a a a b b b 第二节 直 线 确定：两点确定一条直线，将 两点的同面投影用直线连接，就 得到直线的同名投影。 直线与投影面的相对位置 一、直线的投影 a b a b 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=ab 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=abcos a b a b a m b abm 返回 x z o yh yw 直线在三个投影面中的投影特性 投影面平行线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 投影面垂直线 正平线（平行于面） 侧平线（平行于面） 水平线（平行于面 ） 正垂线（垂直于面） 侧垂线（垂直于面） 铅垂线（垂直于面 ） 一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线 统称特殊位置直线 垂直于某一投影面 返回 b a ab a b b a a b b a 投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。 水平线侧平线正平线 投 影 特 性： 与h面的夹角: 与v面的角: 与w面的夹角: 实长 实长 实长 b a a a b b 返回 反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。 投影面垂直线 铅垂线正垂线侧垂线 另外两个投影， 在其垂直的投影面上 ， 投影有积聚性。 投影特性: c(d) c d dc a b a(b) a b ef e f e(f) 返回 二 、一般位置线段的实长 及其与投影面的夹角 投影特性： 三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大，且与三根 投影轴都倾斜。 a b b a b a 返回 x yh yw z h v xo 求直线的实长及对水平投影面的 夹角角 | za-b | ab ab | za-b | ab | za-b | ab | za-b | ab 返回 a b b a b a x o b a a b a1 求直线的实长及对正面投影面的夹 角 角 ab | ya-b | ab ab | ya-b | 返回 h v xo a b b a b a a b | ya-b | b a b a x o b1 | ya-b | a b 求直线的实长及对侧面投影面的夹 角 角 返回 四个基本作图问 题 1、已知直线的两投影， 求直线与投影面的夹角和线段的实长。 2、已知直线的一投影及其与投影面的夹角， 求直线的投影。 3、已知线段的一投影及其实长， 求线段的投影。 4、已知线段的实长及其与投影面的夹角， 求直线的投影。 返回 a | za-b | ab ab ab | za-b | 返回 三、属于直线的点 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名投 影分割成与空间相同的比 例。即： 若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。 判别方法： ac/cb=ac/cb= ac / cb a b c v h b c c b a a 定比定理 返回 o x 点c不在 直线ab上 例题 判断点c是否在线段ab上。 a b c a b c c a b c a b 点c在直 线ab上 返回 x xo o 例题 判断点k是否在线段ab上。 a b k 因k不在ab上， 故点k不在ab上 。 应用定比定理 a b k a b k 另一判断法? 返回 x 四、直线的迹 点 迹点直线与投影面的交点 m（水平迹点）直线与h面的交点 m在ox轴上，m在直线 上 n （正面迹点）直线与v面的交点 n在ox轴上，n在直线上 s （侧面迹点）直线与w面的交点 s在oyh轴上， s在oz轴 上 返回 看书：p8p15 作业：1-9、11、13、16、18、22 返回 五、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉(错)、垂直 两直线平行 投影特性： 空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。 a v h c b c d a b c d b d a x a b c d c a b d 例1：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。 ab/cd x b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线 ，只有两个同名投影互 相平行，空间直线不一 定平行。 求出侧面投影后可知： ab与cd不平行。 例2：判断图中两条直线是否平行。 求出侧面投影 如何判断？ h v a b c dk a b c d k a b c k d a bc d b a c d k k 两直线相交 判别方法： 若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 交点是两直 线的共有点 x x o o c a b b a c d k k d 例3：过c点作水平线cd与ab相交。 先作正面投影 ox 思考：如果给出cd的长度，解题 过程有何变化？ d b a a b c d c 1(2 ) 3(4 ) 两直线交叉 投影特性 ： 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间一 个点的投影规律。 “交点”是两直线上的 一 对重影点的投影，用 其可帮助判断两直线的 空间位置。 、是面的重影点， 、是h面的重影点。 为什么？ 1 2 3 4 两直线相交吗？ 两直线垂直相交（或垂直交叉） 定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投 影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。 设 直角边bc/h面 因 bcab bcbb 所以 bcabba平面 直线在h面上的 投影互相垂直 即 abc为直角 因此 bcab 故 bc abba平面 bcbc a b c a b c h a c b a b c . 证明 ： x h 垂直相交的两直线的投影 投影特性: abox, bac90 a b c xo b c a c ab c a b 返回 ab垂直于ac,且ab平行于h面,则有ab ac 交叉垂直的两直线的投影 例4 过点a作ef线段的垂线ab b b 返回 xo e f a e f a 例5 以最短线km连接ab，确定m点， 并求出km实长。 ab a b k k ab a b k k ab a b k k m m m0 lkm m m x xx 返回 例6 过点e作线段ab、cd的公垂线ef。 返回 f e xo a b c d e a b c d f b 例题7 作三角形abc，abc为直角，使bc在mn 上，且bcab =23。 bc ab ab |ya-yb| bc=bc c a a 小 结 点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性、直角三角形法。 点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性 。 重点掌握： 一、点的投影规律 aaox轴 aax= aaz=y=a到v面的距离 aax= aay=z=a到h面的距离 aay= aaz=x=a到w面的距离 aaoz轴 二、各种位置直线的投影特性 一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜。 利用直角三角形法求投影、实长、倾角 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。 三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。 四、两直线的相对位置 平行 相交 交叉（交错） 同名投影互相平行。 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 同名投影可能相交，但“交点”不符合空间 一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重 影点的投影。 五、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。 直角定理 第三节 平 面 一、平面的表示法 a b c a b c 不在同一 直线上的 三个点 a b c a b c 直线及 线外一 点 a b c a b c d d 两平行直 线 a b c a b c 两相交 直线 a b c a b c 平面 图形 x x x x x oo o o o 平面的迹线表示法 p pv ph pv ph qv qh qh qv q 二、平面的投影特性 平行垂直 倾斜 投 影 特 性 平面平行投影面-投影反映实形 平面垂直投影面-投影积聚成线段 平面倾斜投影面-投影类似原平面 实形性 类似性 积聚性 平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类 ： 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面 特殊位置平面 垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜 正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面 a b c a c b c b a 投影面垂直面 类似性 类似性 积聚性 铅垂面 投影特性： 在平面垂直的投影面上的投影积聚成 直线段。该直线段与投影轴的夹角反映空 间平面与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。 为什么？ 是什么位置 的平面？ 铅垂面迹线表示法 ph p ph a bc abc a b c 投影面平行面 积聚性 积聚性 实形性 水平面 投影特性： 在平面所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 投影轴平行的直线段。 a b c a c b a b c 一般位置平面 三个投影都类似。 投影特性： 三、平面上的直线和点 判断直线在平面 内的方法 判断方法一： 若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。 判断方法二： 若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。 平面上取任意直线 a b c b c a a b c b c a d m n n m d 例1：已知平面由直线ab、ac所确定，试 在平面内任作一条直线。 解法一解法二 根据方法二 根据方法一 有多少解？ 有无数解。 xxoo 例2：在平面abc内作一条水平线，使其到 h面的距 离为10mm。 n m n m 10 c a b c a b 唯一解！ 有多少解？ ox 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作 为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 例3：已知k点在平面abc上，求k点的水平投影。 b a c c a k b k 面上取点的方法： 首先面上取线 a b c a b k c d k d 利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解 xx b c k a d a d b c a d a d b c k b c 例4：已知ac为正平线，补全平行四边形 abcd的水平投影。 解法一 解法二 xx 看书：p1930 作业：1-41,42,45,47,48 第二章 直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 第一节 平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行 包括 一、 直线与平面平行 若一直线平行于平面上的某一直 线，则该直线与此平面必相互平行。 正平线 例1：过m点作直线mn平行于v面和平面 abc。 c b a m a b c m n 唯一解 n x o 二、 两平面平行 若一平面上的两相 交直线对应平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。 若两投影面垂直面 相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。 f h a b c d e f h a b c d e c f b d e a a b c d e f o o x x 例2 已知定平面由平行两直线ab和cd给定。试过点k 作一平面平行于已知平面 。 e m n m n fe f s r s r k k 第二节 相交问题 直线与平面相交 平面与平面相交 一、 直线与平面相交 交点是直线与平面的共有点 交点是直线可见与不可见的分界点。 求直线与平面的交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 a b cm n c n b a m 平面为特殊位置 例3 求直线mn与平面abc的交点k并判别可见性。 空间及投影分析 平面abc是一铅垂面 ，其水平投影积聚成一条 直线，该直线与mn的交点 即为k点的水平投影。 求交点 判别可见性 由水平投影可知，kn 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。 还可通过重影点判别可见性。 k 1(2) 作 图 k 2 1 x k m(n) b m n c b a a c 直线为特殊位置 空间及投影分析 直线mn为铅垂线，其 水平投影积聚成一个点， 故交点k的水平投影也积聚 在该点上。 求交点 判别可见性 点位于平面上，在 前；点位于mn上，在 后。故k 2为不可见。 1(2) k 2 1 作图 用面上取点法 x 二、 两平面相交（利用积聚性求交线） 两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。 要解决的问题： 求两平面的交线 方法： 确定两平面的两个共有点。 确定一个共有点及交线的方向。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。 m 平面与平面相交 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有 f k n l 可通过正面投影 直观地进行判别 。 a b c d e f c f d be a m(n) 空间及投影分析 平面abc与def都 为正垂面，它们的正面投 影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线，只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。 求交线 判别可见性 作 图 从正面投影上可看出 ，在交线左侧，平面 abc在上，其水平投影 可见。 n m 能否不用重 影点判别？ 能! 如何判别？ 例4：求两平面的交线 mn并判别可见性。 b c f h a e a b c e f h 1(2) 空间及投影分析 平面efh是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef 的交点m 、 b c与f h的交点 n即为两个共有点的正面投影 ，故mn即mn的正面投影。 求交线 判别可见性 点在fh上，点在bc上 ，点在上，点在下，故 fh可见，n2不可见。 作 图 m n 2 n m 1 例5 求两平面的交线mn并判别可见性。 1 2 三. 直线与平面相交（利用辅助平面法求交点） pv 2 1 k k 步骤： 1过ef作正 垂平面p。 2求p平面与 abc的交线 。 3求交线 与ef的交 点k。 示意图 1 2 以铅垂面为辅助平面求线面交点。 ph 1 步骤： 1过ef作铅 垂平面p。 2求p平面与 abc的交线 。 3求交线 与ef的交 点k。 k k 2 两一般 位置平面相 交，求交线 步骤： 1用求直线 与平面交点 的方法，作 出两平面的 两个共有点k 、e。 四、求两平面的交 线 l l n m m n pv qv 1 2 2 1 k k e e 2连接两个 共有点，画 出交线ke。 示意图 利 用 重 影 点 判 别 可 见 性 两平面相交，判别可见性 3 4 ( ) 3 4 2 1 ( ) 1 2 例6 试过k点作一直线平行于已知平面abc，并与直线ef相 交 分析 过已知点k作平面p平行于 abc；直线ef与平面p交于h； 连接kh，kh即为所求。 f p e k h 作图 m n h h n m pv 1 1 2 2 1过点k作平面 kmn/ abc平面。 2求直线ef与平面 kmn的交点h 。 3连接kh，kh即 为所求。 第三章 换面法 一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？ 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。 解决方法：更换投影面。 v h a b a b a b 二、新投影面的选择原则 1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 平行于新的投影面 垂直于新的投影面 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。 p a1 b1 v h a a a ax x 更换一次投影面 旧投影体系 x v h 新投影体系 p1 h x1 a点的两个投影：a， aa点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立 三、点的投影变换规律 x1 p1 a1 ax1 v h x p1 h x1 a a a1 ax ax1 . ax1 v h x p1 h x1 a a a1 v h a a ax x x1 p1 a1 ax1 新旧投影之间的关系 aa1 x1 a1ax1 = aax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。 ax a 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 . xv h a a ax 更换h面 求新投影的作图方法 v h x p1 h x1 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。 a a x1p1 v a1 ax ax1 ax1 更换v面 a1 作图规律： . . 更换两次投影面 先把v面换成平面p1， p1h，得到中间新投影体系: p1 h x1 再把h面换成平面p2， p2 p1，得到新投影体系: x2 p1 p2 新投影体系的建立 按次序更换 a a v h a ax x x1 p1 a1 ax1 p2 x2 ax2 a2 ax2 a a x v h 求新投影的作图方法 a2 x1 h p1x2 p1 p2 作图规律 a2a1 x2 轴 a2ax2 = aax1 a1 ax ax1 . . v h a b a b a b 四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线 用p1面代替v面，在p1/h投影体系中，ab/p1。 x1 h p1 p1 a1 b1 空间分析： 换h面行吗？不行！ 作图： 例：求直线ab的实长及与h面的夹角。 a b a b x v h 新投影轴的位置？ a1 b1 与ab平行。 . a1 b1 v h a a x b b b a 2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析： a b a b xv h x1 h1 p1 p1p2 x2 作图： x1 p1 a1 b1 x2 p2 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。 x2轴的位置？ a2b2 ax2 a2b2 . 与a1 b1 垂直 一次换面把直线变成投影面平行线； 小 结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法。 一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。 换面法的四个基本问题： 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 1. 把一般位置直线变成投影面平行线 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换一次投影面 变换一次投影面 变换两次投影面 变换两次投影面 需先在面内作一条投影面平行线 四、解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。 三、换面法的四个基本作图 四、应用及举例 一、投影变换及换面法的基本概念 二、点的换面作图规则 返回 第三章 投影变换换面 法 a a b b 两点之间距离 a ab b c c 三角形实形 a a b b c c d d 直线 与平面的交点 求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析 a b c d a b c d 两平面夹角 返回 一. 换面法的基本概念 a1 c1 b1 v1 c1 b1 a1 x1 x1 换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。 v/h 体系变为v1/h 体系 旧面 新面 不变面 旧轴 新轴 返回 1. 点的一次 变换 x1 v1 a1 返回 二、点的换面及规律 a2 2. 点的两次 变换 h2 a2 返回 新 不变 旧 旧 新 不变 x2 v1 h2 新与旧是相对的 水平书写好 x2 a 1. 把一般位置直线变为投影面平行线 2. 把一般位置直线变为投影面垂直线 3. 把一般位置平面变为投影面垂直面 4. 把一般位置平面变为投影面平行面 三、换面法的四个基本作图 返回 v h a b a b a b 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线 用p1面代替v面，在p1/h投影体系中，ab/p1。 x1 h p1 p1 a1 b1 空间分析： 换h面行吗？不行！ 作图： 例：求直线ab的实长及与h面的夹角。 a b a b x v h 新投影轴的位置？ a1 b1 与ab平行。 . a1 b1 v h a a x b b b a 2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析： a b a b xv h x1 h1 p1 p1p2 x2 作图： x1 p1 a1 b1 x2 p2 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。 x2轴的位置？ a2b2 ax2 a2b2 . 与a1 b1 垂直 一次换面把直线变成投影面平行线； 一般位置直线变换 成投影面垂直线，需经 几次变换？ a b c a b c d v h a b c d x d 3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 p1 x1 c1 b1 a1 d1 空间分析： 在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。 作图方法： 两平面垂直需满足什么条件？ 能否只进行一次变换？ 思考： 若变换h面，需在面 内取什么位置直线？ 正平线！ a b c a c b x v h 例：把三角形abc变换成投影面垂直面。 h p1 x1 作 图 过 程： 在平面内取一条水平 线ad。 d d 将ad变换成新投影 面的垂直线。 b1 a1 d1 c1 反映平面对哪 个投影面的夹角？ . a1 b1 需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 x2 p1 p2 4. 把一般位置平面变换成投影面平行面 a b a c b x v h c 作 图： ab是水平 线 空间分析： a2 c2 b2 c1 x2轴的位置？ 平面的实形 . x1 h p1 . 与其平行 b1 距离 d d1 x1 h v1 x2 v1h2 c2 d 例1：求点c到直线ab的距离，并求垂足d。 c c b a a b x v h 四、换面法的应用 如下图：当直线ab 垂直于投影面时，cd平 行于投影面，其投影反映 实长。 a p b d c c abd 作图: 求c点到直线ab的距离， 就是求垂线cd的实长。 空间及投影分析： c1 a1 a2b2d2 过c1作线平行于x2轴。 . . . 如何确定d1 点的位置？ x1 h1 v1 a2b2 d2 c2 b1 a1 d1 c1 11 21 2 1 b 2 1 12 22 例2. 求两直线ab与cd的公垂线 。 x2 v1 h2 返回 空间及投影分析：ab与cd都平行于投影面时，其投影 的夹角才反映实大（60），因此需将ab与c点所确定的平 面变换成投影面平行面。 例3: 过c点作直线cd与ab相交成60角。 d x1 h v1 x2 v1 h2 a b a c b x v h c 作 图： c2 c1 a1b1 a2 d2 d b2 几个解？ 两个解！ 已知点c是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线ab上， 求等边三角形的投影。（用基本法和换面法分别求解） 思考： 如何解？ 解法相同！ 60 d点的投影 如何返回？ . . 例4 已知e点在平面abc上，距离a、b为15，求点e的投影。 d d b1 a1 c1 d1 x1 h1 v a2 c2 b2 d2 x2 v2 h1 15 15 e e e1 e2 小 结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法。 一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。 换面法的四个基本问题： 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 1. 把一般位置直线变成投影面平行线 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换一次投影面 变换一次投影面 变换两次投影面 变换两次投影面 需先在面内作一条投影面平行线 四、解题时一般要注意下面几个问题： 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。 4. 涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可 以自学。 看书：p41p47 作业：34、8、9、10、11、12 v w h 第五章 立 体 体的投影，实质上是构成该体的所 有表面的投影总和。 基本体的形成及其投影 常见的基本几何体 平面基本体曲面基本体 点的可见性规定： 若点所在的平面的投影 可见，点的投影也可见；若 平面的投影积聚成直线，点 的投影也可见。 由于棱柱的表面都是平 面，所以在棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相 同。 第一节 平面立体 一、平面立体 1.棱柱 棱柱的三面投影图 棱柱面上取点 a a a (b) b 棱柱的组成 b 由两个底面和几个侧棱面组成 。侧棱面与侧棱面的交线叫棱线， 棱线相互平行。 在图示位置时，六棱柱的两 底面为水平面，其水平投影反映 实形。前后两侧棱面是正平面， 其余四个侧棱面是铅垂面，它们 的水平投影都积聚成直线，与六 边形的边重合。 ( ) s s 2.棱锥 棱锥的三面投影图 在棱锥面上取点 k k k b a c a b c a(c)b s n n 棱锥的组成 n 由一个底面和几个 侧棱面组成。侧棱线交 于有限远的一点锥 顶。 同样采用平面上取点法。 棱锥处于图示位置时 ，其底面abc是水平面， 其水平投影反映实形。侧 棱面sac为侧垂面，另两 个侧棱面为一般位置平。 返回 m 第二节 回面立体 一、圆柱体 圆柱面上与轴线平 行的任一直线称为圆柱 面的素线。 圆柱由圆柱面和上 、下两底面组成。 圆柱面可看成是由 直线aa1绕与它平行的 轴线旋转而成。 直线aa1称为母线。 圆柱体 返回例题 圆柱轮廓 素线(转向 轮廓线） 圆柱 轮廓 素线 a b a b c d c“ d“ d c a“ b“ 1. 圆柱的投影特点 例题 分析圆柱轮廓素线的投影 返回 ( ) ( ) a (d) c b 2. 圆柱表面上取点 返回 特殊点 在图示位置，水平投影为一圆。另两个投影为等腰三角 形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不 同方向的两条轮廓素线的投影。 二、圆锥 s 注意：转向轮廓素线的投影与可见性的判断 s s 1 圆锥的投影 2.圆锥体表面上取 点 1. 纬圆法 2. 素线法 前半锥 可见 (b) a b a b“ (a“) y y b a 返回 1. 圆球的投影 返回 三、圆球 返回 aa“ (b“ ) (b) a (b) 2. 圆球表面 取点 四、圆 环 圆环投影可见性的判别 由前向后看，此部分可见 由上向下看，此部分可见 m 1 2 圆环表面上取点 m （n） 1 2 看书：p54p62 作业：5-1、2、3、4、5、6 （其中5-1、2投影关系不正 确） 圆柱截交线例题 返回 第六章 平面与立体相交 截切： 用平面与立体相交，截去立体的一部分。 截平面 用以截切物体的平面。 截交线 截平面与物体表面的交线。 截断面 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。 讨论的问题：截交线的分析和作图 。 第一节 平面与平面立体相交 平面截切的基本形式 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 求截交线的实质是求两平面的交线 截交线的性质： 例1：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 3 2 1 (4) 1 24 3 1 2 4 空间分析 交线的形状？ 3 投影分析 求截交线 分析棱线的投影 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性 截平面与体的 几个棱面相交 ？截交线在h、v 面上的形状？ 例1：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 我们采用的是 哪种解题方法 ？ 棱线法！ 例2：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 1 2 1(2) 、两点分别 同时位于三个面 上。 三面共点： 2 1 注意： 要逐个截平面分析和绘制 截交线。当平面体只有局 部被截切时，先假想为整 体被截切，求出截交线后 再取局部。 例2：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 8 7 11 1“2“ 10 “ 5“ 6“ 9“ 4“ 3“ 9 6 1（3） 2（4） 10 5 7“11“ 8“ 1 11 2 9 10 4 3 1（2） 8（7） 3（4） 10（5） 9（6） 11 题3 求立体截切后的投影 返回 第二节 平面与曲面立体相交 矩形椭圆圆 一、平面与圆柱体相交 求圆柱截交线上点的方法 圆柱截交线示例 返回 例题3 求圆柱截交线 1 11“ 5“ 4“ 8 8“ 8 3 2 5 4 45 23 2“ 3“ 解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截 交线的侧面投影为圆，水平投 影为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 、 ； 3求出若干个一般点、 、； 4光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 7 6 67 6“ 7“ 例题4 求圆柱截交线 解题步骤 1分析侧面投影为圆的一部分，截 交线的水平投影为椭圆的一部分； 2求出截交线上的特殊点、 ； 3求出若干个一般点、 ； 4光滑且顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。 3 4 5 33“ 45 5“ 4“ 12 2“ 1“ 1 2 2“1“ 4“3“ 例题5 求圆柱截交线 解题步骤 1分析 截交线的水平投 影为直线和部分圆，侧面 投影为矩形； 2求出截交线上的特殊点 、； 3顺次地连接各点，作出 截交线并判别可见性； 4整理轮廓线。 12 13 34 24 1“2“ 3“4“ 例题6 求圆柱截交线 解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为 直线和部分圆，侧面投影为矩 形； 2 求出截交线上的特殊点、 、； 3 顺次地连接各点，作出截交 线并判别可见性； 4 整理轮廓线。 12 34 13 24 例题7 求圆柱截交线 解题步骤 1分析 截交线为矩形、椭圆 及圆和直线的组合；截交线的 水平投影为已知，侧面投影为 矩形、椭圆和直线的组合； 2求出截交线上的特殊点、 、 、； 3求一般点； 4 顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 3 3 1 1 2 2 4 4 5 5 3“ 2“ 5“ 1“4“ 例题8 想象出物体及其侧面投影的形状 作业：6-1、2、4、5、6、 7 圆柱截交线之一 返回 圆柱截交线之二 返回 通孔 直线 椭圆曲线 圆曲线 通孔 上一级上一级上一级上一级上一级上一级上一级上一级上一级上一级 第二节 平面与曲面立体相交 一、平面与 圆柱体相交 三、平面与 圆球相交 二、平面与 圆锥体相交 二 平面与 圆锥相交截交线形状 圆 椭圆 三角形 双曲线加直线段抛物线加直线段 例题1 求圆锥截交线 解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截 交线为椭圆；截交线的水平投 影和侧面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3求出一般点； 4光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 3 3 3 例题2 求圆锥截交线 解题步骤 1分析 截平面为正平面，截交线 为双曲线；截交线的水平投影和侧 面投影已知，正面投影为双曲线并 反映实形； 2求出截交线上的特殊点a、c； 3求出一般点b ； 4光滑且顺次地连接各点，作出截 交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 a“ a a cb b“ b c“ c 例题3 求圆锥截交线 解题步骤 1分析 截平面为正垂 面侧平面，截交线为部 分椭圆和梯形的组合； 其水平投影为部分椭圆 和直线的组合，侧面投 影为部分椭圆和梯形的 组合； 2求出截交线上的特殊 点、 、 ； 3出一般点、 ； 4光滑且顺次地连接各 点，作出截交线，并且 判别可见性； 5整理轮廓线。 a 2 3 1 4“5“ 1“ 1 a2“ 3“ 2 3 5 4 45 例题4 分析并想象出圆锥穿孔后的投影 三平面与 圆球相交 （一）平面与 圆球相交所得截交线形状 圆 （二）求圆球截交线上点的方法纬圆 法 例题5 求圆球截交线 解题步骤 1分析 截平面为正垂面，截交 线为圆；截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆； 2求出截交线上的特殊点、 、 ； 3求出若干个一般点a、b、c、 d； 4光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性； 5整理轮廓线。 1“ 2“ 1 2 3“ 4“ 3 4 5 6 5“6“ 7 8 7“ 8“ a“b“ c“ d“ b a c d 2 1 34 56 7 8 ab cd 2 2“ 1 例题6 求圆球截交线 解题步骤 1分析 截平面为两个 侧平面和一个水平面， 截交线为圆弧和直线的 组合；截交线的水平投 影和侧面投影均为圆弧 和直线的组合； 2求出截交线上的特殊 点、 ； 3求出各段圆弧； 4判别可见性，整理轮 廓线。 3 33“ 1 2 例题7 分析并想象出圆球穿孔后的投 影 返回 三、平面与 组合回转体相 交 返回 例8 求组合回转体被截切后的投影 例9 已知立体的水平投影和侧面投影，完成其正面投影 作业：6-7、8、10、11、13 、14 看书：p65p71 第四节 多体相贯 第二节 平面立体与回转体相交 第三节 曲面立体与曲面立体相交 第一节 立体相贯线的概念和性质 返回 作业：7-2、3