基于MATLAB的离散非周期信号频域分析.doc

基于matlab的离散信号频域分析、快速傅里叶变换与采样定理一、 离散信号频域分析（一） 周期离散方波信号频域分析与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展开成傅里叶级数形式，并得到离散傅里叶级数（dfs）xk=1nn=-n2n2xne-jkn k=0,1,2,n-1 上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅里叶级数展开。xn=k=0n-1xkejkn上式是dfs的反变换，记作idfs并且称x(k)与x(n)构成一对离散傅里叶级数变换对。（以上两式中=2/n）在mtalab中，dfs通过建立周期延拓函数语句实现：function xk=dfs(n,x,n)if nlength(x) n=0:n-1; x=x zeros(1,n-length(x);endk=0:n-1;wn=exp(-j*2*pi/n);nk=n*k;wnnk=wn.nk;xk=x*wnnk;end建立一个离散非周期方波信号xn=rnn=1, &0nn-10, &其他r4n通过周期延拓后所得的周期序列利用dfs计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);x=fft(x,1024);xk1=dfs(n,x,4);xk2=dfs(n,x,8);figure(1);plot(-1023:2048)/2048*8,abs(x) abs(x) abs(x),-);hold on;stem(-4:7,abs(xk1) abs(xk1) abs(xk1),linewidth,2);grid;figure(2);plot(-1023:2048)/2048*16,abs(x) abs(x) abs(x),-);hold on;stem(-8:15,abs(xk2) abs(xk2) abs(xk2),linewidth,2);grid;set(gcf,color,w);运行后得到的是分别以4和8为周期延拓后的r4n频谱：即第一幅图表示的是周期序列 xn=1 -n+ 的频谱，第二幅图表示的是周期序列xn=1, &4kn4+4k0, &4k-4n4k的频谱。两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（fft）所得到的频谱线。（二）非周期离散方波信号频域分析对于非周期离散方波信号，可采用离散时间傅里叶变换dtft进行分析。x=n=-+x(n)e-jn上式为离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换（dtft）。xn=1202xejnd上式为x的离散时间傅里叶反变换（idtft）。由于：i=-+x(i)length(x) n=0:n-1; x=x zeros(1,n-length(x);endk=0:n-1;wn=exp(-j*2*pi/n);nk=n*k;wnnk=wn.nk;xk=x*wnnk;end建立一个离散非周期方波信号xn=rnn=1, &0nn-10, &其他r8n的离散傅里叶变换xej利用dft计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:7;x=ones(1,8);x=fft(x,1024);xk2=dft(n,x,16);figure(1);plot(-1023:2048)/2048*32,abs(x) abs(x) abs(x),-);hold on;stem(-16:31,abs(xk2) abs(xk2) abs(xk2),linewidth,2);grid;figure(2);plot(-1023:2048)/2048*32,angle(x) angle(x) angle(x),-);hold on;stem(-16:31,angle(xk2) angle(xk2) angle(xk2),linewidth,2);grid;set(gcf,color,w);运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：幅频特性相频特性两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（fft）所得到的频谱线。离散傅里叶变换是傅里叶变换在时域、频域均离散化的形式，因而与其他傅里叶变换有着相似的性质。但是它又是从傅里叶级数派生而来的，所以又具有一些与其他傅里叶变换不同的特性，最主要的是圆周位移性质和圆周卷积性质。二、 快速傅里叶变换（fft）快速傅里叶变换，简称fft，是计算dft的快速算法，习惯上是指以库利和图基算法为基础的一类高效算法。根据快速傅里叶变换基本思路以及基2fft算法，在mtalab中，fft通过建立函数实现：function y=fft(x)m=nextpow2(x); n=2m;if length(x)nx=x,zeros(1,n-length(x); endnxd=bin2dec(fliplr(dec2bin(1:n-1,m)+1;y=x(nxd); for mm=1:m nmr=2mm; u=1;wn=exp(-i*2*pi/nmr); for j=1:nmr/2 for k=j:nmr:n kp=k+nmr/2; t=y(kp)*u; y(kp)=y(k)-t; y(k)=y(k)+t; end u=u*wn; end end建立一个离散非周期方波信号xn=rnn=1, &0nn-10, &其他r8n的快速傅里叶变换利用fft计算实现代码如下：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);fx=fft(x,512);z=abs(fx);k=0:length(z)-1;plot(k,z);运行后得到该离散非周期方波信号的幅频特性：分别利用fft和dft进行相同运算：clear all;close all;clc;k=input(k=);n=2k;n=0:n-1;x=randn(1,2k);tic,x=fft(x,n),toctic,x=dft(n,x,n),toc运行结果如下： columns 1 through 4069elapsed time is 0.218536 seconds. columns 1 through 4069elapsed time is 16.726921 seconds.由此可见，采用dft计算时间为16.726921秒，而采用fft计算只需要0.218536秒；说明，fft在计算速度上，明显优于其他算法。三、采样定理（一）时域采样定理为了验证时域采样定理，可以把原始采样序列每隔d-1点取一个值，形成一个新的序列。在matlab中，通过以下程序实现：clear all;close all;clc;x=ones(1,8);d=2;xd=x(1:d:length(x);fx=fft(x,512);fxd=fft(xd,512);z=abs(fx);s=abs(fxd);k=0:length(z)-1;plot(k,s,k,z);d=2时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。d=3时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。 d=4时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。d=0.5时得到的原始序列与采样序列的幅频特性（蓝色为原始序列，绿色为采样序列）。由此可见，采样周期在d大于2的范围内，出现明显的混叠现象，有失真产生，而在小于1的范围内，采样过于密集，增加运算系统负担。因此，可验证时域采样定理。（二）频域采样定理为了验证频域采样定理，可以把原始采样序列每隔d-1点取一个值，形成一个新的序列。在matlab中，通过以下程序实现：clear all;close all;clc;x=-10:0.001:10;y=(sin(x)/x;x=fft(y,20);d=7;xd=x(1:d:le