大学物理 上海交通大学 16章 课后习题答案

习题习题 1616 16-1如图所示，金属圆环半径为 R，位于磁感应强度为B 的均匀磁 场中，圆环平面与磁场方向垂直。当圆环以恒定速度v 在环所在平面 内运动时，求环中的感应电动势及环上位于与运动方向垂直的直径两 端 a、b 间的电势差。 解：（1）由法拉第电磁感应定律 i d dt ，考虑到圆环内的磁通量 不变，所以，环中的感应电动势 0 i ； （2）利用： () a ab b vBdl ，有： 22 ab BvRBvR 。 【注：相同电动势的两个电源并联，并联后等效电源电动势不变】 16-2如图所示，长直导线中通有电流 AI0 . 5 ，在与其相距 cm5 . 0d 处放有一矩形线圈，共 1000 匝，设线圈长 cm0 . 4l ，宽 cm0 . 2a 。 不计线圈自感，若线圈以速度 cm/s0 . 3v 沿垂直于长导线的方向向右 运动，线圈中的感生电动势多大？ 解法一：利用法拉第电磁感应定律解决。 首先用 0 l B dlI A 求出电场分布，易得： 0 2 I B r ， 则矩形线圈内的磁通量为： 00 ln 22 x a x II l xa ldr rx ， 由 i d N d t ，有： 0 11 () 2 i NI l dx xaxdt 当x d 时，有： 0 4 1.92 10 2 () i NI lav V da 。 解法二：利用动生电动势公式解决。 由 0 l B dlI A 求出电场分布，易得： 0 2 I B r ， 考虑线圈框架的两个平行长直导线部分产生动生电动势， 近端部分： 11 NB lv ， 远端部分： 22 NB lv ， 则： 12 00 4 11 ()1.92 10 22() NINIalv lvV ddad da 。 16-3如图所示，长直导线中通有电流强度为 I 的电流，长为 l 的金属棒 ab 与长直导线共 面且垂直于导线放置，其 a 端离导线为 d，并以速度v 平行于长直导线作匀速运动，求金 属棒中的感应电动势并比较 Ua、Ub的电势大小。 解法一：利用动生电动势公式解决： ()dvBdl 0 2 I vdr r ， 0 2 d l d vI dr r 0 ln 2 vI dl d ， 由右手定则判定：Ua Ub。 dr r b a y 解法二：利用法拉第电磁感应定律解决。 作辅助线，形成闭合回路 abb a，如图， S B dS 0 2 d l d I ydr r 0 ln 2 I y dl d ， d dt 00 lnln 22 IIv dl d ydl ddtd 。 由右手定则判定：Ua Ub。 16-4电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为 120， 几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v 平行于长直 导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解法一：（用等效法）连接AO、OB，圆弧形导线与AO、OB 形成闭合回路，闭合回路的电动势为 0，所以圆弧形导线电动势与 AOB直导线的电动势相等。 2 00 ()ln2 22 R AO R IvI v vBdldx x ， 5 00 2 2 5 ()ln 224 R OB R IvIv vBdldx x ， 0 5 ln 22 ABAOOB Iv 。 解法二：（直接讨论圆弧切割磁感应线）从圆心处引一条半径线，与水平负向夹角为， 那么， 000 22 (2cos)2(2cos) III B xRRR ，再由 ()vBdl 有： sindB Rdv ， 2 0 3 0 sin 2(2cos) I Rvd R 0 5 ln 22 Iv 。 16-5电阻为R的闭合线圈折成半径分别为a和 a2 的两个圆，如图 所示，将其置于与两圆平面垂直的匀强磁场内，磁感应强度按 0sin BBt 的规律变化。已知 cm10a ， T102 2 0 B ， rad/s50 ， 10R ，求线圈中感应电流的最大值。 解：由于是一条导线折成的两个圆，所以，两圆的绕向相反。 222 0 (4)3cos i ddB aaa Bt dtdt ， 2 0 3cos i a Bt I RR A R Ba I 3 22 0 2 max 1042 . 9 10 501021 . 035 。 16-6直导线中通以交流电，如图所示， 置于磁导率为 的介质中， 已知： 0sin IIt ，其中 、 0 I 是大于零的常量，求：与其共面的 A O B A O B N 匝矩形回路中的感应电动势。 解：首先用 0 l B dlI A 求出电场分布，易得： 0 2 I B x ， 则矩形线圈内的磁通量为： 0000 lnsinln 222 da d II lI l dada ldrt rdd ， 00 cosln 2 NI l dda Nt dtd 。 16-7如图所示，半径为a的长直螺线管中，有 0 d d t B 的磁场，一直导线弯成等腰梯形的 闭合回路ABCDA，总电阻为R，上底为a，下底为 a2 ，求：（1）AD段、BC段和闭 合回路中的感应电动势；（2）B、C两点间的电势差 CB UU 。 解：（1）首先考虑 OAD ， 2 133 224 OAD Saaa ， 2 3 4 OAD ddBdB Sa d td td t 感1 ， 而 DA lAOODADDA Ed lEd lEd lEd lEd l A 涡涡涡涡涡感1 2 3 4 AD dB a d t ； 再考虑 OBC ，有效面积为 2 1 2 3 OAD Sa 扇 ， 2 6 dB a d t 感2 ， 同理可得： 2 6 BC dB a d t ； 那么，梯形闭合回路的感应电动势为： 2 3 () 64 BCAD dB a d t ，逆时针方向。 （2）由图可知，AB CDa ，所以，梯形各边每段a上有电阻5 R r ， 回路中的电流： 2 3 () 64 adB I RRd t ，逆时针方向； 那么， 2 23 2() 510 BCBCBC dB UUIrIRa dt 。 16-8圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h， 电阻率为，如图所示。若匀强磁场以 dB k dt （ 0kk ， 为恒量） 的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率。 解：在圆柱体内任取一个半径为r，厚度为dr，高为h的小圆柱通壁， 涡流 有： 2 l dB Edlr dt A 涡 ，即： 22 dB rkr dt 涡 ， 由电阻公式 l R S ，考虑涡流通过一个d r环带，如图， 有电阻： 2 r R hdr ， 而热功率： 222 23 () 2 2 krkh dPi Rr dr r hdr ， 224 3 0 28 R khkhR Prdr 。 16-9一螺绕环，每厘米绕40匝，铁心截面积 2 cm0 . 3 ，磁导率 0 200 ，绕组中通有 电流 mA0 . 5 ，环上绕有二匝次级线圈，求：（1）两绕组间的互感系数；（2）若初级绕组 中的电流在 s10 . 0 内由 A0 . 5 降低到 0，次级绕组中的互感电动势。 解：已知 40 4000 0.01 n 初 匝， 2N 次 ， 5 0 200810 ， 42 3 10Sm 。 （1）由题意知螺绕环内：B nI ，则通过次级线圈的磁链： N BSNnI S 次次次 ， 544 2 8104000 3 106.03 10MNnSH I 次 初 ； （2） 42 50 6.03 103.02 10 0.1 I MV t 初 次 。 16-10磁感应强度为 B 的均匀磁场充满一半径为 R 的圆形空间 B，一金属杆放在如图 14- 47 所示中位置，杆长为 2R，其中一半位于磁场内，另一半位于磁场 外。当 0 dB dt 时，求：杆两端感应电动势的大小和方向。 解： acabbc ，而： Oab ab d dt 扇形 ， ab 2 2 33 44 dR dB R B dtdt ， Obc bc d dt 22 1212 dRR dB B dtdt ， ac 22 3 412 RRdB dt ； 0 dB dt ， 0 ac ，即 ac 从a c 。 16-11一截面为长方形的螺绕环，其尺寸如图所示，共有 N 匝，求此螺绕环的自感。 解：如果给螺绕环通电流，有环内磁感应强度： 0 12 () 2 NI BRrR r 则 S B dS ，有： 2 1 02 0 1 ln 22 R R NIhR NI h dr rR 利用自感定义式： L I ，有：L 2 02 1 ln 2 N hR R 。 16-12一圆形线圈 A 由 50 匝细导线绕成，其面积为 4cm2，放在另一个匝数等于 100 匝、 半径为 20cm 的圆形线圈 B 的中心，两线圈同轴。设线圈 B 中的电流在线圈 A 所在处激发 的磁场可看作匀强磁场。求： （1）两线圈的互感； （2）当线圈 B 中的电流以 50A/s 的变化率减小时，线圈 A 中的感生电动势的大小。 解：设 B 中通有电流I，则在 A 处产生的磁感应强度为： 00 2 2 42 BB B BB N IN I BR RR （1）A 中的磁通链为： 0 2 AB AAAA B N N I N BSS R 。则： 0 2 ABA A BB N N S M IR ， 74 76 41050 100 4 10 20106.28 10 2 0.2 MH 。 （2） 0 64 6.28 10503.14 10 2 ABA A B N N S ddI V d tRdt , 4 3.14 10 A V 。 16-13如图，半径分别为b和a的两圆形线圈（ba） ，在 0t 时共面放置，大圆形线 圈通有稳恒电流 I，小圆形线圈以角速度绕竖直轴转动，若小圆形线圈的电阻为R，求： （1）当小线圈转过 90时，小线圈所受的磁力矩的大小； （2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。 解：利用毕萨定律，知大线圈在圆心O处产生的磁感应强度为： 0 2 I B b ，由于ba，可将小圆形线圈所在处看成是匀强磁场， 磁感应强度即为 0 2 I B b ，所以，任一时间穿过小线圈的磁通量： 0 2 cos 2 I B Sat b ， 小线圈的感应电流： 2 0 1 sin 2 I da it R dtbR ， 小线圈的磁矩： 2 0 2 (sin) 2 ma I a piSta bR ， （1）由 m MpB ，有： 2224 2 0 2 sinsin 4 m Ia MpBtt bR 当2 t 时： 2224 0 2 4 Ia M b R ； （2） AM d A B 222422242234 2 000 22 222 00 1 cos2 sin 44216 IaIaIat tdtdt b Rb RRb 。 16-14一同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体圆筒组成，两者半径分别为1 R 和2 R ，导体 圆柱的磁导率为 1 ，筒与圆柱之间充以磁导率为 2 的磁介质。电流I可由中心圆柱流出， 由圆筒流回。求每单位长度电缆的自感系数。 解：考虑到 2 1 2 m WLI 和 2 2 m B w ，可利用磁能的形式求自感。 由环路定理，易知磁场分布： 11 212 1 2 1 2 () () 2 2 BrR BRrR Ir R I r 则： 22 12 12 22 mm BB Ww dVdVdV 单位长度的磁能为： 12 1 12 22 2 0 112 11 ()2()2 2222 RR m R IrI W rdrrdr lRr 22 122 1 ln 164 IIR R ， 利用 2 /2 m WLI ，有单位长度自感： 12 2 1 ln 82 R L R 。 16-15一电感为 H0 . 2 ，电阻为 10 的线圈突然接到电动势 V100 ，内阻不计的电源 上，在接通0.1s时，求：（1）磁场总储存能量的增加率；（2）线圈中产生焦耳热的速率； （3）电池组放出能量的速率。 解：（1）利用磁能公式 2 1 2 m WLI 及LC电路通电暂态过程 ( )(1) Rt L I te R ， 有磁场总储能： 2 22 2 1 ( )(1)(1) 22 RR tt LL m L WtLee RR ， 对上式求导得储能增加率： 2 ( ) (1) RR tt LL dW t ee dtR ， 将 2.0LH ， 10R ，100V ， 0.1ts 代入，有： 0.1 ( ) 238 ts dW t J s dt ； （2）由 2 dQ PI R dt ，有线圈中产生焦耳热的速率： 2 222 ( ) (1)(1) RR tt LL dQ t I ReRe dtRR ；代入数据有： 0.1 ( ) 152 ts dQ t J s dt ； （3）那么，电池组放出能量的速率： 2 (1) Rt L dE Ie dtR ， 代入数据有： 0.1 390 ts dE J s dt 。 16-16. 在一对巨大的圆形极板（电容 12 1.0 10CF ）上，加上频率为50Hz，峰值为 5 1.74 10 V 的交变电压，计算极板间位移电流的最大值。 解：设交变电压为： cos m uUt ，利用位移电流表达式： D dq I d t ， 有： sin Dm du ICCUt d t ，而 2f ， 1255 2250 101.74 105.46 10 Dmm If CUA 。 16-17圆形电容器极板的面积为 S，两极板的间距为 d。一根长为 d 的极细的导线在极板 间沿轴线与极板相连，已知细导线的电阻为 R，两极板间的电压为 0sin UUt ，求： （1）细导线中的电流； （2）通过电容器的位移电流； （3）通过极板外接线中的电流； （4）极板间离轴线为 r 处的磁场强度，设 r 小于极板半径。 解：（1）细导线中的电流： 0 sin R UU it RR ； （2）通过电容器的位移电流： 0 00 coscos d SdqdU iCCUtUt dtdtd ； （3）通过极板外接线中的电流： 00 0 sincos Rd US iiitUt Rd ； （4）由 l H d lI A 有： 2 00 0 2sincos USr r HtUt RSd ， 00 0 sincos 22 Ur HtUt r Rd 。 思考题思考题 1616 16-1图为用冲击电流计测量磁极间磁场的装置。小线圈与冲击电流计相接，线圈面积为 A，匝数为N，电阻为R，其法向n 与该处磁场方向相同，将小线圈迅速取出磁场时， 冲击电流计测得感应电量为q，试求小线圈所在位置的磁感应强度。 解： 11dNBA qIdtdtdt RRdtRR ， Rq B NA 。 16-2如图所示，圆形截面区域内存在着与截面相垂直的磁场，磁感应强度随时间变化。 （a）磁场区域外有一与圆形截面共面的矩形导体回路 abcd，以 ab 表示在导体 ab 段上产 生的感生电动势，I 表示回路中的感应电流，则 A 00I ab ； B 00I ab ； C 00I ab ； D 00I ab 。 （b）位于圆形区域直径上的导体棒 ab 通过导线 与阻值为 R 的电阻连接形成回路，以 ab 表示在 导体 ab 段上产生的感生电动势，I 表示回路中的 感应电流，则： A 00I ab ； B 00I ab ； C 00I ab ； D 00I ab 。 答：（a）选 C；（b）选 D。 16-3在磁感应强度为B 的均匀磁场内，有一面积为S的矩形线框，线框回路的电阻为 R（忽略自感） ，线框绕其对称轴以匀角速度旋转（如图所示） 。 （1）求在如图位置时线框所受的磁力矩为多大？ （2）为维持线框匀角速度转动，外力矩对线框每转一周需作的功为多少？ 答：（1）由 coscosBSBSt ， 而： 1 sinIBSt RR ， 2 1 sin m pISBSt R ； （2） 222 1 sinsin m MBptB St R ， 22 2 222 0 1 sin B S WMdB Sd RR 。 16-4一平板电容器充电以后断开电源，然后缓慢拉开电容器两极板的间距，则拉开过程 中两极板间的位移电流为多大?若电容器两端始终维持恒定电压，则在缓慢拉开电容器两极 板间距的过程中两极板间有无位移电流?若