复习测试题

4-5 不等式选讲不等式选讲复习检测题复习检测题 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） （考查命题绝对值不等式的解法）1. 不等式的解集是（ ）321xx （A） (B)2, 1|xxx或21| xx (C) (D)3, 0|xxx或30| xx （考查基本不等式的应用）2.当时，的最小值为（ 1 91 , 0, 0 yx yxyx ） （A）10 （B）12 （C）14 （D） 16 （考查二次函数在闭区间上的最值，不等式恒成立）3. 若存在，使不等式 2,3x 成立，则实数的取值范围是（ ） 2 2xxaa （A） （B） （C） （D）( 1、(, 8 1,) 8,) （考查基本不等式，恒成立）4已知且，若不等式0,0ab21ab 恒成立，则的最大值等于（ ） 21 m ab m （A）10 （B）9 （C）8 （D）7 （考查绝对值不等式性质）5.对任意实数, 若不等式恒成立, xkxx|1|2| 则实数的取值范围是 k （A）k1 （B） k 1 （C）k1 （D） k 1 （考查基本不等式求最值及转化思想）6.设正实数满足xyz、 ，则当取得最小值时，的最大值为（ ）043 22 zyxyx z xy 2xyz （A）0 （B）2 （C） （D） 9 8 9 4 （考查基本不等式求最值及转化思想）7若，且，, ,0a b c ()16a abcbc 则的最小值为（ ）2abc （A）2 （B）4 （C） 6 （D） 8 （考查绝对值不等式恒成立的问题及处理方法）8不等式对 2 313xxaa 任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）xa （A） （B） （C） （D） ,12, , 14, 1,2 ,25, （考查柯西不等式求最值）9. 设为正数，则, , ,a b c d1abcd 的最小值为（ ） 2222 abcd （A） （B） （C） 1 （D） 1 2 1 4 3 4 （考查柯西不等式求最值，转化思想）10.已知 x, y, R，且，则z522zyx 的最小值是 222 )3() 1()5(zyx (A) 20 (B)25 (C)36 (D)47 （考查柯西不等式的灵活运用，考查变形方法）11. 设是正数，且zyxcba, 则 （ ）,10 222 cba,40 222 zyx,20czbyax zyx cba （A） （B） （C） （D） （考查绝对值函数的最值，分类讨论思想应用）12.若函数 的最小值 3，则实数的值为（ ）( )12f xxxaa (A) 5 或 8 (B) 或 5 (C) 或 (D).或11448 二、填空题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） （考查含绝对值不等式的解法）13. 不等式解集为.512xx_ （考查基本不等式求最值）14. 已知且，则的最小值为0,0xy22xy 22 14 xy _. （考查柯西不等式求最值）15.若，则的最小值为 11432zyx 222 zyx （绝对值不等式的解法，方程思想，求参数）16.已知函数 ，若不等式的解集为,则的值为)0(1)(aaxxxf6)(xf(, 24,) a _ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）分） （考查利用基本不等式证明不等式）17.（10 分）已知 321212, 20,bababa求证：且 （考查绝对值不等式的解法，带绝对值的函数）18 （12 分）已知函数 f（x） |xa|x2|. （1）当 a3 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围 （不等式的恒成立及柯西不等式的运用）19 （12 分） ()若关于的不等式x 的解集是空集，求实数的取值范围；123xxaa ()对任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围, x y2386xykxyk （考查绝对值不等式，分析证明不等式 ）20.（12 分） （1）已知实数满足ba, ，证明：；2, 2baabba42 （2）已知，求证：20a 2 2 1 a a 2a 1 a （考查绝对值不等式和柯西不等式等有关知识及运用 ）21.（12 分） （1）设函数 ，若关于的不等式在上恒成立，求实数的 5 , 2 f xxxa xRx f xaRa 最大值； （2）已知正数满足，求的最小值, ,x y z231xyz 321 xyz （考查数学归纳法证明不等式，猜想，归纳推理）22.（12 分）设数列an满足 n=1,2,3。 2 1 1, nnn aana （1）当 a1=2 时，求 a2、a3、a4，并由此猜想 an的一个通项公式； （2）当 a13 时，证明对所有的 n1，有： ann+2 123 11111 11112 n aaaa （云南（云南 郭兴甫供题郭兴甫供题/ /参考答案见下期）参考答案见下期） 4-5 不等式选讲复习检测题不等式选讲复习检测题复习检测题参考答案复习检测题参考答案 一、选择题一、选择题 1. C 【提示】当时，不等式等价于得，此时；当时，不1x323 x0x0x21 x 等式等价于，此时；当时，不等式等价于得；故选 C.31x2x332x3x 2 D 【提示】：因为所以1 91 , 0, 0 yx yx 19 ()()xyxy xy 9 10 yx xy 16.102 9 3. A 【提示】：设，因为存在，使不等式 22 (1)1( )21f xxxx 3 , 2x 成立，可知，所以，故选 A 2 2xxa max )(xfa 1a 4. B 【提示】：,当且仅当 21212222 ()(2)5529 baba ab abababab ，即时等号成立，所以的最小值为，又因为恒成立， 22ba ab 1 3 ab 21 ab 9 21 m ab 所以，即的最大值为，故选 B.9m m9 5. C 【提示】所以最小值为 1,所以实数, 1) 1()2(12xxxx12xx 的取值范围是k1k 6. B 【提示】：由已知得，时13 4 23 443 22 x y y x x y y x xy yxyx xy z yx2 等号成立，代入已知得，则。 2 yz 22 2=422(1)22xyzyyy 7. D 【提示】由可得,因为()16a abcbc16)(caba ，所以的最小值为.2()()abcabac2 ()()8ab ac2abc8 8. B 【提示】：因的最大值为，故，解之得或|1|3|)(xxxg443 2 aa1a ，所以应选 B.4a 9. B 【提示】：由柯西不等式，因为 2 22222222 1111abcdabcd ，于是由上式得，于是，1abcd 2222 41abcd 2222 1 4 abcd 当且仅当时取等号，故选 1 4 abcdB 10. C 【提示】：由于 324)3(21)2(5)221(315 2222222 zyxzyx 则（当且仅当，即时取等 222 315zyx36 9 324 2 3 2 1 1 5 zyx 1 3 3 z y x 号）.故选 C 11. C 【提示】： 由柯西不等式得：（a2+b2+c2） （ x2+ y2+ z2）（ ax+ by+ cz）2， 当且仅当时等号成立，因为 a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，所以等 号成立，所以= ，故选 C 12. D 【提示】：由题意，当时，即，则1 2 a 2a 3(1), 2 ( )1,1 2 3(1),1 a xa x a f xxax xax 当时，解得或（舍） 2 a x min( ) () |1| 3 22 aa fxfaa 8a 4a ；当时，即，则当时，1 2 a 2a 3(1),1 ( )1, 1 2 3(1), 2 xa x a f xxax a xax 2 a x ，解得（舍）或；当 min( ) () |1| 3 22 aa fxfaa 8a 4a 时，即，此时，不满足题意，所以1 2 a 2a ( )3|1|f xx min( ) 0fx 或，故选 D.8a 4a 二、填空题： 13. 3 , 2 【提示】：当时，原不等式等价于，解得；当时，2x512xx32 x1x 原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于512xx12x21x 恒成立，综上，的解集.512xx512xx3 , 2 14. 8 【提示】： 22 2 222222 141421164 ()()8()4() 24 xyyxyx xyxyxyxy ，当且仅当时，等号成立. 1441 824 2(88 16)8 44 yxyx xyxy “2“xy 15. 121 29 【提示】：由则由柯西不等式可得,11432zyx ，故当且仅当 2 222 49 16234xyzxyz 222 121 29 xyz 时取等号 234 xyz 16. 3 【提示】：函数 f（x）=|x+1|+|x-|表示数轴上的对应点到 -1 和对应点的距axa 离之和，由于 不等式的解集为,所以数轴上的 -2、4 对应6)(xf(, 24,) 点到 -1 和对应点的距离之和正好等于6，故有，即a 6414 6212 a a ，故答案为：3 14 52 a a a 三、解答题： 17. 因为20,baba且 所以32 2 2)(2 2 2 )12()12( 21212 22 baba ba ，不等式取等号即当且仅当baba, 1212 18.（1）当 a3 时，f（x） 25,2 1,23 25,3 xx x xx 当 x2 时，由 f（x）3 得2x53，解得 x1； 当 2x3 时，f（x）3 无解； 当 x3 时，由 f（x）3 得 2x53，解得 x4. 所以 f（x）3 的解集为x|x1 或 x4 （2）f（x）|x4|x4|x2|xa|. 当 x1，2时，|x4|x2|xa| （4x）（2x）|xa| 2ax2a， 由条件得2a1 且 2a2，解得3a0， 故满足条件的实数 a 的取值范围为3，0 19.()所以，, 3)2() 1(21xxxx3213xx 又原不等式的解集是空集，3360aaa或 所以实数的取值范围是a ,06, ()由柯西不等式 2 23113 8623 42286 xy xyxy xy 当且仅当时取最大值 68 83 1 1 2 2 yx xy即 23 86 xy xy 3 2 又不等式对正实数恒成立，等价于恒成立，2386xykxy, x y 23 86 xy k xy 所以 。 所以实数的取值范围是 2 3 kk 3 , 2 20. （1）证明：证法一：因，所以，2, 2ba4 2 a4 2 b 所以， 所以，即， 04 2 a04 2 b044 22 ba04416 2222 baba 所以，所以， 2222 1644baba 2222 816484baabbaba 即，所以 22 422abbaabba42 证法二：要证，abba42 只需证 ,816844 2222 abbaabba 只需证,1644 2222 baba 只需证 即 , 04416 2222 baba044 22 ba 因为，所以，所以成立2, 2ba4 2 a4 2 b044 22 ba 故要证明的不等式成立 （2）证明：要证， 2 2 1 a a -22 1 a a 只需证， 2 2 2 1 a a a 1 a 2 只需证， 2 2 4 1 4a a 2 2 2 1 aa a 2 1 22 a 1 22a a 即证， 2 2 1 2 a a 1 2 a a 只需证，即证成立，此式显然成立 2 2 42 1 a a 2 2 1 2a a 2 2 2 1 a a 所以原不等式成立 21.（1）由绝对值的性质得， 555 22 f xxxaxxaa a 所以的最小值为，从而，解得， f x 5 2 a 5 2 aa 5 4 a 因此的最大值为a 5 4 （2）由于，所以, ,0x y z 321321 23xyz xyzxyz 2 2 321 23323168 3xyz xyz 当且仅当，即时，等号成立 23 321 xyz xyz :3:3:1x y z 所以的最小值为 321 xyz 168 3 22 （）由，得； 1 2a 2 211 13aaa 由，得； 2 3a 2 322 14aaa 由，得； 3 4a 2 433 15aaa 由此猜想 an的一个通项公式为：11 n ann （） （）用数学归纳法证明： 当，不等式