不等式求解方法归纳

一、不等式基本知识 1、基本性质 性质一： （对称性） ab 性质二： （传递性）c, 性质三： 性质四： bcabacba0,;0, 2、运算性质 （加法法则） ； （乘法法dd, bdacd0, 则） （乘方法则） ； （开方法则）nbaNnba,0 nNnba, 3、常用不等式 （1） （2） 取等号条件：一正、二定、ab2 2)( |22ab 三相等 （3） （4）若|x m,0 （5） ( )nnxx21321 i 二、不等式的证明方法 常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证法、类比法、放缩法、 换元法、判别式法、导数法、几何法、构造函数、数轴穿针法等。 1、比较法 例 1、若 求证： 。,0babab 2 证明： ，ab 2222 )()()()( 0 。ba 2 2、分析法 例 2 已知 都是正实数，且 求证： 。yx, .,1yxbaybxa 解： 都是正实数， 要证 ，只要证 ，即yxba,ybxa)()(xaybx 证 ，也就是 ，即 而由 ，知 成立，原式bya,.,1 得证。 3、综合法（先用分析法分析寻找思路，再正面求证） 例 3、设 均为正数，且 ，求证：cb, 1c 。2311a 证明： 均为正数， ， ，c, cba 10,0cba ，以上三式相加得231,2,232 c 。,611cba3 例 4、设 ,且 ，求证：Nnm,nnm)()( 证明： 1)1()(1)( mn m)(1 ， ， 上述不等式中不能取等号， 成立。n1)()( 式中乘了 个 1 构成不等式. 4、数学归纳法 例 5、设 ，且 求证x,Nnnx1)( 证明：（1）当 时， ，不等式成立1x （2）假设当 时，不等式成立，即 ，那么当,k kx1)( 时， ， 由归纳假设可得kn02kxxx)1()1()1( ，即 时，不等式也成立，综合xkxkk,2 1kn 以上所述，对于任意 ，且 都成立。,Nnx)( 5、反证法 例 6、已知 都是小于 1 的正数，求证： 中至少有一cba, acba)1(,)1( 个不大于 。41 证明：假设三个式子都大于 ， 都是小于 1 的正数 ，41cba, 21)(ba ，从而 ，但是2)1(,2)1(accb 3)()(c 与上式矛盾，2)(a 故假设不成立，原命题成立。 6、类比法 例 7、已知函数 的图像与 轴有两个不同的交点，若)0()(2acbxf x ，且 时 ，当 时，求证： 。0)(cfcx)f,1t 012tcbta 证明：直接证明很困难，题中说到函数 的性质，那么就要构造成类似)(xf 的形式，即类比函数，要证 ，即证 ，)(xf 012tcbtactbta2)1tt 且 ， ，而0a)1()()(12 tfctbtactb ，命题得证。ct01,0)(cf 7、放缩法 常用放缩公式： ； ；21nn nn112 ； ； 个正数 ，)0,(maba )3(2!1na321,2 有 ，当且仅当 时等号成立；nna31321 a21 ； ；| baba )ln(,0)l( xx 二项式定理展开式 ；nnn CC3210)(031)(xx 例 8、已知正项数列 满足 ，且 ， （1）求证：na)10(1anna1 （2）ana)1( nk1 证明：（1） 1211,11 naaaannnnn ，a)(n)( （2） ，naan 1)1( )1(3211 nka 命题得证。.321n 8、换元法 常用的换元方法若 可设 。22ayx )2,0,sin,coayx 若 ，可设 。12byax )20sin,cob 对于 ，可设 ，或 。)0(sx )2,(,six 对于 ，可设 或 。21tancotx 对于 ，可设 或 。xsexs 若 ，可设22y aryr|0,i,c 例 9、已知 ，求证： 。4,2baR20|38|2b 证明：设 ，其中 ， 原式可转化为)(sincoRrrr ，|)cos(|5|sin42co|3si83| 222 rrr 原式 ， 原不等式成立。,1|)c(|005 9、判别式法 例 10、求证： 。2312x 证明：设 ，则 ，定义域为 Ry 01)(yxy （1） 时， 是定义域中的一个值， 是值域中的一个值。0x （2） 时，由 ，得 。1y0)1(42y)1(231y 综上所述 成立。32x 推论：判别式法证明对形如 具有一般性。),0,(2121 Rxabcxa 10、导数法（单调性） 例 11、已知各项均为正数的数列 的前 项和 满足 ，且nnS1 ,NnaSn),2(16 (1)求 的通项公式；（2）设数列 满足 并记 为 的前nb,)2(nbanTb 项和，求证： ， 。)3(log32nnaTN 解：（1） ，由已知 ，又,1,161 Sa 2,1aS ，得 （舍)2()(1 nnnnn ann13 去） 是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故 通项公式为 。na nan （2）由 解得 ，,1)(nb 13log)1(log22abnn nnT321 ， ，)18956(log 23)1562(log)(log32 nTnn 令 ，则 ，)nf2 )(53)(1nf 因 ，特别的)(,079)23(5)3( ffn ， 。071fn)3(log12naT 11、构造函数法 例 12、对于函数 ，若存在 使 成立，则称 为 的不动)(xf,0Rx0)(xf0x)(f 点，如果函数 有且仅有两个不动点 0,2，且 ，f ),( 2Ncba 21f （1）试求函数 的单调区间。)(xf （2）已知各项不为零的数列 满足 ，求证：na1)(4nafS 。nna1l1 （3）设 为数列 的前 项和，求证： 。nnTb,nb 207208ln1TT 解：（1）令 ，由已知 0,2 时方程的两根，)1(,)(2 2 acxxcaxf ，,0,021b ,02,1b1bc ，,25,48,4)( bcf )(, 2xfc ，令 得 或 ，令 ，得 或)1(2)xf 0)(xf 1x0)(f ，1 增区间为 和 ，减区间为 和 。),(,()0,(2,( （2） ，)1(2nnaaf14nafS ,211nnnaSaS 两式做差得 ， 数列 是以-1 为公差，-1 为首项的等差数列， ， 要证原式，即证 ，令 ，函数n nn1l1x ， ，递减xxg)1l() 0)(xg ，)l(,)l,0ma 同理可证 。nnaan1l1,)l( （3）由（2）得 ，bbl,l11220678l08 T ， ，208ln1l 208ln2067ln8l207 T 。208T 12、数轴穿针法（注意奇次幂穿过，偶此幂不穿过，从最大值且从数轴上方开 始穿，每过一个值都要穿过，而且也要相应的变换在数轴的上下方） 例 13、求解不等式 0)7(698)4( 2x 解：原不等式等价于 ，根分别为0)7(62x 在数轴上标出这些值，考虑到 4 对应的为偶次幂，所以不穿过。其9,847,6 结果如图 -7 -6 4 8 9 在数轴上方的为大于 0 的解，下方的为小于 0 的解，因此不等式的解为 或,67|x98x 三、含绝对值不等式的解法 1、分类讨论法 例 1、求 的解集。x2|3| 解：当 时，有 或 此时原式即为0,3,x 解得 或 ，与 或 求交集得.)1(2xx1,3x, 解 或 。3 当 时，有 ，原式即为 ，解02x3x 0)(12xx 得 ，与 求交集得 。13 综上所述，原不等式解集为 或 。1|x3 2、两边平方法（承接例 1） 当 时，原不等式可化为 分解因式得0x 0914)(2422 x ，所以 或 或 ，故 或0)()3(x3x3 。当 时，原不等式恒成立。10x0x 综合可得解集为 或 。1|3x 3、图像法（承接例 1） 令 分别在坐标轴上画出两者的图像，解方程 可得,2|,|21xyxy x2|3| 从图像可得不等式的解为 或 ， y= ,2 1|x3|2 4、等价转化法（承接例 1） 原不等式等价于 或 ， 或 或 ，x23231x3x 不等式解集为 或 。| 五、运用线性规划求解 例 2、 的定义域为 ，则 的取值范围？),(2)2() Rbaxaxf ba3 解：由已知 20402ab 以 为横纵坐标轴，画出其可行域，令 ，可知直线 经过).(ba baz3zab3 时有最小值 ， 。0,2663b 六、运用绝对值的几何意义 例 3、对任意实数 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。kkx|2|1| k 解： 的几何意义是 到 的距离减去到 2 的距离 |2|1|x 由数轴可知， ， 。 x -1 2 x 3|k 四、 含参一元二次不等式例解 含有参数的不等式应用的比较多的是分类讨论思想，其思路是一般先将式子 因式分解或分解因式或分母有理化，然后再结合参数对称轴、判别式、根的正 负进行讨论当无法进行因式分解的时候多涉及对称轴或者利用导数求解，下 面结合例题解析。 一二次项不含参数 例1.解关于 x 的不等式： 0)1(2mx 解：原不等式可化为 ，这里有两个根： ，此时需要讨论两( 1,m 根的大小，当 ，即 时，解为 ；1m1,xm 当 ，即 时，解为 ；x,1 ，即 时，解为 ；1 综合知 时， 或 ； 时， ； 时，mmx|11|xm 或|x 例 2.解关于 的不等式： 0)1(2ax 解：此时显然无法因式分解，因此通过判别式来解， 64)1(22aa 当 ，即 或 时，不等式有两个根032 ， ，解为 ，或 ；216)1(1aax 16)1(2aax 1x2 当 ，即 ，此时不等式恒成立；033 当 ，即 或 时，解为 ，或a2a12x)12(x 综上所述，解为 或 时 ，或326)(| 2aa ； 时 ； 时，16)1(aax 23a|Rx3 ； 时， 。2|23)1(|x 例 3.解关于 的不等式：x01a 解： 时，不等式成立，此时 ；0R 时，原不等式可化为 ， 当 时成立，)(x,211x ， 。21xa 综合得 | 二、二次项含参数 例 4.解关于 的不等式：x012xa 解： 时，解为 ；0a21|x 时， ； 即 时，解为 或a40aax1| ； ，即 时，不等式恒成立； ，即 时1ax10 ；综上所述 时，解为 ； 时，解为|0a2|x1a 或 ； 时 。x1| 1x| 例 5.解关于 的不等式： 0)(2xa 解： 时， ；0a1x 时， 时，原不等式可化为 ，此时有两根 ；0)1(x1,a 时，解为 或 时，解为 或,1,|axa,|x 时，解为ax,1| 时，原不等式可化为 ，解为 ；0 0)(x1|x 综上所述： 时 ； 时 ； 时 或1|ax1|a,|a ； 时 ； 时 或 。1xa|,|x 例 6.解关于 的不等式： x012x 解： 时，不等式恒成立；0 时， ； ，即 时， 或 ；aa42aax21ax21 ，即 时，01x ，即 时，不等式恒成立；a 时，不等式化为 ， ，此时解为a 012)(ax042a ；x2211 综上所述： 时， ； 时， 或0a|Rx|x21 ； ， 。ax210|xaxa2211 五、不等式恒成立问题 恒成立问题的基本类型： 类型 1：设 ，(1) 上恒成立)0()(2acbxxf Rxf在0)( ；（2） 上恒成立 。0且aRf在 0且a 类型 2：设 ,（1）当 时， 上)()(cxxf ,)(xf在 恒成立 ， 上恒成 0)(20)( fabfab或或 ,)(xf在 立 0)(f （2）当 时， 上恒成立a,)(xf在 0)(f 上恒成立,0)(xf在 )(20)(2fabfab或或 类型 3： min)()( xfIxxf恒 成 立对 一 切 。a恒 成 立对 一 切 类型 4： 的 图 象 的 上 方 或的 图 象 在恒 成 立对 一 切 )()()( xgxfIxgxf 。)(mainf 恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转 化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。 一、利用判别式解 例 1.已知在 。的 取 值 范 围求恒 有 axRx,01,2 解：原式等价于 。24a 例 2. 的 取 值 范 围求恒 有 xx,2 解：原不等式等价于 。41,01,0aa 或解： ； ，令时 ， 不 等 式 成 立x 21xax时 ， 不 等 式 化 为 。4)2(,2)(,1)(32 hxh ，所 以 易 知 其 最 大 值 为 例 3. 的 取 值 范 围求恒 有 aaRx,01, 解： 成 立 ；时 ， 不 等 式 化 为0 ；10,4,2a且时 ， 只 需 综上所述： 。的 取 值 范 围 为 )1,0 2、利用分离常数解 例 4.已知 。的 取 值 范 围上 恒 成 立 ， 求在 aax),(.2 解： ，x210),0( 不 等 式 可 化 为 ，在 ，122x 0),(2xx上 ， 。),(12xa 3、利用变换参数来解(该法适用于题中已给出参数的界限) 例 5.若 对满足 。)1(2x 等 式不 等 式 都 成 立 ， 求 解 不,3a 解：原不等式可化为 ，将 ，那012xa 视 为 参 数视 为 变 量 ， 12x 么 ，那么只需为 变 量 的 直 线就 可 以 看 做 是 以xafy)()2 ，解得03,(ff 373|xx 4、利用最值 此时有两种情况： ； 。afaf)(,)(min那 么 axff)(,)(ma那 么 例 6.不等式 恒成立，求 。,0cos3sinxxa 的 取 值 范 围 解：原不等式等价于 ，32,)i(2 x ，1,)3sin(xa 例 7.函数 ，若对任意 ， 恒成立，),12)(xaxf ),1x0(xf 求实数 的取值范围。a 解： ， ，02),0 2 axxx等 价 于 )2(x ，3),12当 a 5、数形结合 例 8.已知 求 解 不 等 式 。,02x 解：不等式可化为 ， 则，原不等式表示x1,2,1xy令 ，易求的解为图 像 上 侧 的 部 分在 21y 0| 以上方法也适用于含参不等式恒成立问题。 练习题 1.若实数 满足 ，则 的最大值是_。,xy21xyy 2.设函数 ， ， （）求 的单调区间；（）求所有实数aafln)( 0)(xf ，使 对 恒成立注： 为自然对数的底数2)(1exfe,e 3.若变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值是_3296xy2zxy 4.设函数 ，其中 ()|fa0a （I）当 a=1 时，求不等式 的解集()32fx （II）若不等式 的解集为x| ，求 a 的值()0f1 5.已知 ，则 的最小值为_。22logl1ab39ab 6.函数 的最大值为 。sincyx 7.不等式 的解为 。1 8.若不等式 对任意 恒成立，则 a 的取值范围是_。ax|2| Rx 9.设 。 （）求 的单调区间和最小值；（）讨论()ln.()()fxgf()gx 与 的大小关系；（）求 的取值范围，使得 对任意1 ()gx1a 0 成立。 10.函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解)(xfR2)1(f Rx2)(xf 42)(xf 集为 A （ ，1） B （ ，+ ） C （ ， ）11 D （ ，+ ）11.已知函数 =|x-2| x-5| （I）证明： 3；（II ）求不等)(f| 3)(f 式 x2 x+15 的解集)(f8 12.对于 ，不等式 的解集为 。 xR1028x 13.设 1,m在约束条件 1 ymx 下，目标函数 5zxy的最大值为 4，则 m的值为 14.设集合 ,)2(|),( 2RyxxyA, ,12|),( ymxB , 若 BA 则实数 m 的取值范围是 _ 15.设函数 。 （）画出函数 的图像：|4|)(xf )(xf （）若不等式 的解集非空，求 的取值范围aa 16.设函数 f(x)=x- ,对任意 x 恒成立，则实数 m 的取值范围11,） ， f(mx)+f0 是_ 17.已知函数 ， （1）当 时，求不等式 的解集；()2fa3a()3fx （2）若 的解集包含 ，求 的取值范围。4x, 18.已知函数 f(x)= x-a. （）若不等式 f(x) 3 的解集为 ，求实数 a 的值；15x （）在（）的条件下，若 f(x)+f(x+5)m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围。 19.已知 均为正数，证明： ，并确定 为何cba, 36)1(222 cbacba cba, 值时，等号成立。 20.已知 ，不等式 的解集为 。()|1|()fxaR()3fx2|x1 （）求 a 的值；（）若 恒成立，求 k 的取值范围。|2|fk 答案：1. 3. 5. 18 6. 7. 8. 265),1(0,(3,( 10. B 12. 13. 3 14. 15.（）0x 2,1,2, 16. ),( 2,（）解：因为 , ,由于22()ln.0fxaxax其 中 xaf )2()( ，所以 的增区间为 ，减区间为0a(0,)a （）证明：由题意得， ,由（）知 内单调递1)1,fc即 ()1,fe在 增， 要使 恒成立，只要 解得21(),efxe对 22()1,fae.a 4. （）当 时， 可化为 。由此可得 或 。a()32fx|x3x1 故不等式 的解集为 或 。()fx|1 () 由 得 此不等式化为不等式组 或0f30xa30xa 即 或 因为 ，所以不等式组的解集为30xa4x 2xa0 ，由题设可得 = ，故|2x2a1 9.（）由题设知 ， 令 0 得 =1，()ln,()lfxgx21(),xg()gx 当 （0，1）时， 0，故（0，1）是 的单调减区间。x 当 （1，+）时， 0，故（1，+）是 的单调递增区间，因此， =1()x()xx 是 的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为()gx (1).g （II） ，设 ，则 ，lnx()()2lnhgxx2)xh 当 时， 即 ，当 时 ，因此，1x()0h1()gx(0,1),)x(10h 在 内单调递减，当 时， 即 当()h,h).gx ，()x时 ()x即 （III）由（ I）知 的最小值为 1，所以， ，对