七 认识方程-42

七 认识方程 1字母表示数（教材 8587 页） 教材知识全解 【知识点一】结合具体情境，用字母表示数 问题（1）导入 用字母表示数。 你能用一句话表示这首儿歌吗？n 只青蛙_张嘴。 （教材 85 页上面例题） 过程讲解 1用字母表示 (1)分析：继续读下去，你会感觉到这首儿歌永远也读不完。如果用字母 n 表示青蛙的 只数，那么 n 只青蛙就应该有 n 张嘴。 (2)解答：按儿歌的说法，就是“n 只青蛙 n 张嘴” 。 2明确用字母表示数的优点 就这么简单的一句话，却概括出了这首儿歌的主要内容。这里的“n”既表示了青蛙的 只数，又表示了 n 只青蛙嘴的张数。 问题（2）导入 如果淘气的年龄为 a 岁，那么妈妈的年龄是多少岁呢？（教材 85 页下面例题） 过程讲解 1用含有字母的式子表示数量关系 (1)分析：“妈妈的年龄比淘气大 26 岁” ，根据这个数量关系，如果已知淘气的年龄， 那么用“淘气的年龄+26”就可以求出妈妈的年龄，如下表： 淘气年龄岁 妈妈年龄岁 1 2 3 1+26 2+26 3+26 上面的 1+26，2+26 ，3+26都表示淘气和妈妈的年龄关系，但只表示某一年两人的 年龄关系。其实用一个式子就可以简明地表示出任何一年淘气和妈妈母子二人的年龄关系： 如果淘气的年龄为 a 岁，那么妈妈的年龄就是（a+26）岁。 (2)解答：妈妈的年龄是（a+26）岁， “a+26”表示无论淘气几岁，妈妈总比他大 26 岁。 这里的 a 不仅可以表示 1，2，3，还可以表示 4，5，6，7，8由于 a 表示淘气的年龄， 淘气有多少岁，它就表示多少。字母 a 不是一个具体的数， “a+26”也不是一个具体的数， 但如果知道淘气的年龄，即 a 取一个确定的值，那么妈妈的年龄也就有了一个对应的值。 思想方法解读 用字母表示数渗透了符号化思想。所谓符号化思想就是用符号化的语 言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容。 2体验用含有字母的式子表示数量关系的优点 “a+26”既简明地概括了任何一年“妈妈比淘气大 26 岁”这一数量关系，同时也 表示了妈妈的年龄。 重点提示 因为人的年龄是有限的，所以 a 不能无限大。 问题（3）导入 如右图，摆 1 个三角形需要 3 根小棒，摆 2 个这样的三角形需要多少根 小 棒？摆 10 个呢？摆口个呢？(教材 86 页例题) 过程讲解 1分析 如下表所示，摆 1 个三角形需要的小棒根数是 13=3（根） ； 摆 2 个三角形需要的小棒根数是 23=6（根）摆 10 个三角形 需要的小棒根数是 103=30（根） 灵活应用 在含有字母的式子中，字母和字母之间、字母和数 字之间的乘号可以用“ ”表示或省略不写，数字一般写在字母前面。 数字 1 与字母相乘时，1 省略不写。 三角形个数 小棒根数 1 2 3 10 a 13 23 33 103 a3 2得出结论 摆 a 个三角形需要 3a 根小棒。 归纳总结 1用字母或者含有字母的式子都可以表示数量；含有字母的式子既可以表示数量关系， 也可以表示结果。表示数量关系时它的值是待定的，只要所含字母的值确定了，这个式子 的值也就随之确定。 2在含有字母的式子中，字母可以在实际意义范围内取值。 拓展提高 在同一问题中，不同的字母一般都指不同的数量。在不同的情况下，字母表示的含义 和范围也是不同的。 【知识点二】 用字母表示有关图形的计算公式 问题导入 我们学过的有关图形的计算公式，可以用字母来表示吗？（教材 86 页“试一试” ） 过程讲解 1用字母表示长方形、正方形的周长公式 因为长方形的周长=（长十宽）2，所以如果用 C 表示长方形的周长，a 表示长方形 的长，b 表示长方形的宽，那么长方形的周长公式可以写作：C=2（a+b） 。 因为正方形的周长=边长4，所以如果用 C 表示正方形的周长，a 表示正方形的边长， 那么正方形的周长公式可以写作：C=4a 。 重点提示 在图形中，各量一般都用固定的字母表示，比如图形的周长一般都用字母 “C”表示，面积一般都用字母“S”表示。 2用字母表示长方形、正方形的面积公式 因为长方形的面积=长宽，所以如果用 S 表示长方形的面积，a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，那么长方彤的面积公式可以写作：S=ab。 因为正方形的面积=边长边长，所以如果用 S 表示正方形的面积，a 表示正方形的边 长，那么正方形的面积公式可以写作：S=aa。a a 可以写成 a ，读作“a 的平方” ，表示2 两个 a 相乘。因此正方形的面积公式一般写作：S=a 。2 归纳总结 1长方形周长的字母公式：C=2（a+b） ； 2长方形面积的字母公式：S=ab； 3正方形周长的字母公式：C=4a ； 4正方形面积的字母公式：S=a 。2 拓展提高 用字母表示有关图形的计算公式，不仅是单纯用字母表示某个数，同时公式也体现了图 形中数量关系之间的变化规律。 【知识点三】用字母表示运算律 问题导入 怎样用字母来表示我们学过的运算律呢？（教材 86 页“试一试” ） 过程讲解 如果用 a，b，c 分别表示三个数，那么， 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； 乘法交换律：ab=b a; 乘法结合律：(ab)c=a(bc)； 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。 归纳总结 一般情况下，用字母表示数时可以任意选用某个字母。在同一问题中，不同的量必须 用不同的字母表示，以示区别。但在特定情况下，某些数是用固定的字母表示的，不宜变 换。在不同情况下，字母所表示的含义和取值的范围也不同。 重点提示 这些字母既可以表示整数，也可以表示小数和分数。 【误区一】判断：a+26 也可以写成 26a。 () 错解分析 此题错在没有正确掌握含有字母的式子的写法。a+26 表示 a 与 26 的和，而 26a 表示 a 与 26 的积。 正确解答 温馨提示 在含有字母的加法算式里，加号不可以省略不写。 【误区二】 判断：用字母表示加法交换律是 a+b=b+a，长方形面积公式是 S=ab，这两个 等式中字母 a，b 表示的意义是一样的。 （) 错解分析 此题错在没有正确理解用字母表示数的意义。加法交换律中的 a，b 表示两个数， 长方形面积公式中的 a，b 分别表示长方形的长和宽。这两个等式中字母 a，b 表示的意义 是不一样的。 正确解答 温馨提示 相同的字母在不同的情境中表示的意义可能是不同的。 综合能力全解 【能力点一】 运用推理法求未知数的值 例 1 下面是由 100 个数组成的数表的一部分相一相A，B，C 各代表哪些数？ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 A 6.9 (1) (2) ( 3) 分析 观察表中数的排列规律，横着看，每排右边的数比左边的数大 0.1；竖着看，相邻的 两个数，下面的数比上面的数大 1。图(1)中的数按 6. 9 左(6.8) 上(5.8) 上(4.8)(A)列； 图(2)中的数按 4. 3 上(3.3) 上(2.3) 右(2.4) 右(2.5)(B)排列；图(3)中的数按 7. 5 上（6.5） 右(6.6)(C) 排列。 解答 A 是 4.8，B 是 2.5，C 是 6.6。 提示 根据图表中数的排列规律来推理出每个字母所代表的数是解答本题的关键。 【能力点二】 运用代人法求含有字母的式子的值 例 2 已知 B 是 A 的 30 倍，C 是 B 的 10 倍，D 是 C 的 10 倍，求当 A=3.3 时， D+6C+6B+20A 的值。 B 4.3 C 7.5 分析 此题可先分别求出 B，C，D 的值，再计算式子的值。也可把 B，C，D 都换成用 A 表示的式子：B 是 A 的 30 倍，则 B=30A;C 是 B 的 10 倍，则 C=10B=300A;D 是 C 的 10 倍，则 D=10C= 3000A。然后算出 D+6C+6B+20A= 3000A+1800A+180A+20A=5000A，最 后再把 A 的值代入式子计算。 解答 解法一 由题意可得： B=30A C=10B=300A D=I0C=3000A 当 A=3.3 时， B=30A=303.3=99 C=300A=3003.3=990 D=3000A=30003.3=9900 D+6C+6B+20A =9900+6990+699+203.3 =9900+5940+594+66 =16500 解法二 D+6C+6B+20A =3000A+6300A+630A+20A =5000A 当 A=3.3 时，D+6C+6B+20A=5000A =50003.3=16500. 总结 计算用字母表示的式子的值，可直接代数求值。 有趣的未知数 妹妹和姐姐学数学，姐姐给妹妹出了两道竖式谜。每道竖式谜中不同的字母或汉字代 表不同的数，你能帮妹妹算出字母或汉字所代表的数吗？ (1) 1A3 (2) 好学生 + BA + 生学好 1 9 5 4 4 4 A=( ) 好=( ) 学=( ) B=( ) 生=( ) 正确解答 (1)A=2 B=7 (2)第一种答案：好=1 学=2 生=3 第二种答案：好=3 学=2 生=1 2方 程（教材 8890 页） 教材知识全解 【知识点一】了解方程的含义 你能根据下面的情境图列出等式吗？（教材 88 页例题） 过程讲解 1观察分析，列出等式 (1)观察右边的天平，发现它的指针 正指向中央，此时天平保持平衡，说明天 平两边所放物体的质量相等。这架天平 的左边是一颗樱桃和一个 5 克的砝码，右边是一个 10 克的砝码， 根据天平平衡，可以列出等式：樱桃的质量+5 克=10 克。如果 用 x 表示樱桃的质量，那么前面的等式可以写成 x+5=10。 (2)观察右边的盘秤，托盘中放有 4 块月饼，此时 盘秤的指针指向 380 克，说明 4 块月饼的质量一共是 380 克。因为 每块月饼大小相同，质量相等，所以可以列出等式：每块月饼的质 量4=380 克。如果用 y 表示每块月饼的质量，那么前面的等式可 以写成 4y=380。 (3)观察下图，一个水壶盛水 2000 毫升，把里面的水倒人热水 瓶和杯子中，刚好倒满 2 个热水瓶和 1 杯，可以列出等式：两个热 水瓶的盛水量+200 毫升=2000 毫升。 因为两个热水瓶相同，所以它们的盛水量相等。如果用 x 表示每个热水瓶的盛水量， 那么前面的等式可以写成 2x+200=2000。 2明确方程的含义 观察上面的等式：x+5 =10，4y= 380，2z+200=2000 ，发现在这些等式中，都含有未知 数。像 x+5=10，4y 一 380，这样含有未知数的等式叫方程。 3方程与等式的关系 所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。等式与方程的关系如下图： 过程讲解 含有未知数的等式叫方程。方程一定是等式，但等式不一定是方程。 【知识点二】用方程表示简单情境中的等量关系 问题导入 怎样把题中出现的等量关系用方程表示出来呢？ 观察上图可知：3 盒彩色笔的价钱+1 个文具盒的价钱=21.6 元。已知每盒彩色笔 x 元，3 盒彩色笔共 3x 元，又知道 1 个文具盒的价钱是 10.8 元，因此可以列出方程 3x+10. 8=21.6。 重点提示 列方程时不要把未知数单独放在等号的一边。 归纳总结 看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后根据等量关系列出方程。在 列方程时，尽量把未知数放在等号的左边。 拓展提高 用字母表示数的式子叫代数式，如 5a+3;而方程是含有未知数的等式，如 5x+6=16，所 以代数式与方程有着本质的区别。 【误区一】判断：5+3=8 是方程。 () 错解分析 此题错在没有理解方程的含义。5+3=8 是等式，但不是方程。 正确解答 温馨提示 判断一个式子是否是方程，主要看两方面，其一是看它是不是等式，其二是看它是否 含有未知数，二者缺一不可。 【误区二】 两个加数的和是 13，其中一个加数是 4，另一个加数是 x，列方程是 x= 13 - 4。 错解分析 此题错在没有明确方程的书写要求。 正确解答 两个加数的和是 13，其中一个加数是 4，另一个加数是 x，列方程是 x+4=13 或 4+x=13 或 13-x=4。 温馨提示 列方程时不要把未知数单独放在等号的一边。 综合能力全解 【能力点一】运用图示法和优化法解决天平称物体问题 例 1 李奶奶要用一袋质量为 300 g 的盐腌制咸菜，她要把这些盐分成三等份，可是手中 的天平只配有一个 5 g 和一个 30 g 的砝码。李奶奶用这架天平最少要称量几次？写出称法。 分析 可以用图示的方法来理解，如下图： 解答 李奶奶用这架天平最少要称量 3 次。 第 1 次用一个 5g 砝码和一个 30g 砝码称出 35g 盐。 用 5 g 砝码和 30 g 砝码称出 35 g 盐； 用 35 g 盐与 30 g 砝码称出 65 g 盐； 把 35g 盐与 65 g 盐合起来是 100 g 盐； 用 100g 盐再称出 100 g 盐，还剩下 100g 盐。 第 2 次用一个 30g 砝码和已称出的 35g 盐称出 65g 盐。 将第 1 次称出的 35g 盐和第 2 次称出的 65g 盐合起来为 100g 盐。 第 3 次用两次称出的 100g 盐再称出 100g 盐，还剩下 100g 盐。 总结 用天平称量物体时，根据天平平衡的原理，可以用物体称量物体 【能力点二】 运用推理法解决含有字母的竖式问题 例 2 下面竖式中的 a，b，c，d 各代表什么数字？ a b c d + c b a b b b c b b 分析 观察竖式，一个四位数加一个四位数等于一个五位数，显然万位上的数字是由千位 数字相加后进上来的，根据一位数加一位数的和小于或等于 18，即使再加下一位进上来的 1，也不满 20，所以 b=l。当 b1 时，先看个位，d+l=l，所以 d=0;再看百位，得知它没有 向千位进 1，而十位 c+a=ll，所以百位 c=l+l+l（十位进上来的）=3；c=3，所以 a=8。 解答 a=8，b=l，c=3，d=0。 总结 先来分析 a，b，c ，d 中可以立刻看出是多少，再找与之密切相关的字母，求出是多少， 就能知道其他字母代表的数字分别是几了。 数学家笛卡儿 笛卡儿，法国数学家、哲学家、物理学家和生理学家。他是 西方近代资产阶级哲学奠基人之一。他的哲学与数学思想对历史 的影响是深远的。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“笛卡 儿，欧洲文艺复兴以来，人类争取并保证理性权利的第一人。 ”他建议用英文字母 “x，y，z”等来表示未知数后，人们开始逐渐统一起来。由于“x”是三个字母中的第一 个，所以也用得最多了。 3天平游戏（一） （教材 91 页） 教材知识全解 【知识点一】探索等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立的性质 问题导入 在等式的两边都加上（或减去）同一个数，等式会发生怎样的变化呢？（教材 91 页上面例题） 过程讲解 1探索在等式两边加上同一个数，等式仍然成立 （1） 观察上面左图，在天平左侧放 5 克砝码，右侧也放 5 克砝码，这时天平的指针在正中央， 说明此时天平平衡，用等式表示是 5=5。在这架天的左侧加 2 克砝码，右侧也加 2 克砝码， 如上面右图所示，发现此时天平也保持平衡，用等式表示是 5+2=5+2。继续在天平两侧放 上相同重量的砝码，发现天平总保持平衡。 （2） 观察上 面左图，天平左侧放的砝码的重量用 x 克来表示，右侧放 10 克砝码，天 平平衡，用等式表示是 x=10。在上面右图中，天平左侧加 5 克砝码，右侧也加 5 克砝 码，天平仍保持平衡，用等式表示是 x+5=10+5。继续在天平两侧放上同样质量的砝码，发 现天平总保持平衡。 (3)根据 5=5 5+2=5+2;x=l0 x+5=10+5，我们可以得出 结论：天平两侧同时加上相同的质量，天平仍平衡，即在等式两边都加上同一个数，等式 仍然成立。 重点提示 在通过天平游戏探索规律的时候，一定要注意是同时在天平两侧加上同样质量 的砝码。 2探索在等式两边减去同一个数，等式仍然成立 (1)观察下图，左边天平平衡，即 12 =12；右边天平将两侧都减去 2 克，天平仍平衡，即 12 -2=12 -2。 (2)观察下图，左边天平平衡，即 x+5=15;右边天平将两侧都减去 5 克天平仍平 衡助 x+5-5 =1 5-5。 (3)根据 12=12 12-2=12-2;x+5=15 x+5 -5=15-5，我们可以得出结论：天平两侧同 减去相同的质量，天平仍平衡，即在等式两边都减去同一个数，等式仍然成立。 归纳总结 等式性质（一）：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 拓展提高 在等式的两边都加上（或减去）同一个式子，等式仍然成立。如由 2x+5-13-x 可以得出 2x+5+( x-2) =13-x+(x-2)。 【知识点二】利用等式性质（一）解简单的方程 问题导入 下图，求出 y+8=10 中的未知数 y。 （教材 91 页下面例题） 过程讲解 1分析解法 思路一 求 “y+8=10”中的未知数 y，可以 直接想(?)+810，(2)+8=10 ，从而得出答案 y=2。 思路二 也可以根据等式性质（一） ，把方程 “y+8=10”的两边都减去 8，即 y+8-8=10-8， 从而得出答案 y=2。 2正确解答 y+8=10 解：y+8-8=10-8 y=2 书写格式 解方程前要先写一个“解”字和冒号；每算一步，等号都要上下对齐； 表示未知数的字母一般都放在等号的左边。 归纳总结 求方程的解的过程叫作解方程。利用等式性质（一）解形如 xa=b 这样的方程，步骤如 下： (1) x+a=b (2) x-a -b 解：x+a -a =b-a 解：x-a+a=b+a X= b-a x=b+a 【知识点三】检验方程的锯是否正确的方法 问题导入 解方程求出未知数的值后，怎样知道计算是否正确呢？ 过程讲解 1理解方程的解的含义 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。例如：y=2 是方程 y+8=10 的解。 2明确检验方程的解是否正确的方法 同计算题一样，解方程求出未知数的值后，为了准确无误，要进行检验。检验时，把 未知数的值代入原方程，看等式是否成立，如果成立，说明计算正确，否则计算错误，要 重算。例如，把 y=2 代入方程 y+8=10 中，左边=2+8=10，右边=10，左边=右边，等式成立， 说明计算正确，即 y=2 是方程 y+8=10 的解。 归纳总结 检验方程的解的步骤：(1)把求出的未知数的值代入到方程中； (2)计算，看等式是否成 立；(3)等式成立，说明这个未知数的值是方程的解；等式不成立，说明计算错误，需要重 新计算。 【误区】 x- 7=100 解：x=100 - 78 x-=22 错解分析 此题错在运用减法各部分之间的关系解方程时，没有弄清未知数与算式中其 他量之间的关系。 正确解答 x 一 78 =100 x- 78 =100 解：x=100+78 或 解：x-78+78=100+78 X=178 x =178 温馨提示 根据数量间的关系解方程时，先判断未知数 x 在算式中所表示的量，此题中的 x 表示 被减数，所以应根据“被减数=差十减数”进行计算。 综合能力全解 【能力点】 运用消元法解决复杂的用图形表示数问题 口、 分别代表一个数，它们满足下面三个等式，试求出它们各代表什么数。 口十口+=46 口+=47 口+=48 分析 把等式和等式 的左、右两边分别相加，得出 3 个口与 3 个的和等于 46+47 的和，再用 46+47 的和除以 3 就求出 1 个口与 1 个的和。最后分别从三个等式中 减去这个和，就能求出这三个图形各代表什么数。 解答 口+=(46+47) 3=31 -31=口，口=46-31=15; -31=，=47-31=16; -31=，=48-31=17。 提示 此类题中有多个未知数，可以利用几个等式之间的关系来求解。 4天平游戏（二） （教材 9293 页） 教材知识全解 【知识点一】等式两边都乘一个数（或除以一个不为 0 的数） ，等式仍然成立 问题导入 根据等式性质（一） ，我们试着猜想一下：等式两边都乘一个数（或除以一个 不为 0 的数） ，等式还成立吗？（教材 92 页上面例题） 过程讲解 1验证猜想等式两边都乘一个数，等式仍然成立 游戏验证（一）：如上面左图，天平左侧放一个质量为 x 克的砝码，右侧放一个 5 克 的砝码，天平平衡，用等式表示为 x=5。如上面右图，在天平左侧再放两个质量为 z 克的 砝码，右侧再放两个 5 克的砝码，天平仍然保持平衡，用等式表示为 3x=35。 由此证明：等式两边都乘一个数，等式仍然成立。 2验证猜想等式两边都除以一个不为 0 的数，等式仍然成立 游戏验证（二）：如上面左图，在天平左侧放两个质量为 x 克的砝码，右侧放两个 10 克的砝码，天平平衡，用等式表示为 2x=20;如上面右图，从天平左侧取下一个重量为 x 克 的砝码，从天平右侧取下一个 10 克的砝码，天平仍然保持平衡，用等式表示为 2x2=202。 由此证明：等式两边都除以一个不为 0 的数，等式仍然成等。 重点提示 0 作除数无意义，所以等式两边同时除以的数不能为 0。 归纳总结 等式性质（二）：等式两边都乘一个数（或除以一个不为 0 的数） ，等式仍然成立。 【知识点二】利用等式性质(二) 解简单的方程 问题导入 4 块月饼的质量一共是 380 克，每块月饼的质量是多少克？（用方程解） （教 材 92 页下面例题） 1看图列方程 设每块月饼的质量是 z 克，根据上面盘秤图呈现的“4 块月饼 380 克” ，可以列出方程 4x 一 380。 2分析解法 思路一 可以想“4(?)一 380”，从而得出答案。 思路二 也可以用等式的性质解方程，即方程的两边都除以 4，从而得出答案。 3正确解答 解法一 根据乘法各部分之间的关系解方程。 4x= 380 解：x= 3804 X=95 解法二 利用等式性质（二）来解方程。 4x-=380 解：4x4-=804 x-=95 检验：把 x=95 代入原方程，左边=495=380 ，右边=380 ，左边=右边计算正确说 明 x=95 是方程 4x =380 的。 归纳总结 利用等式性质（二）解形如“ax=b”或“xa（a 0）=b”这样的方程，步骤如下： ax=b xa =b 解：axa=ba 解： xa a=ba X=ba x=-ba 拓展提高 方程是一种等式，方程两边无论是数还是量都是相等的，因此两边的单位名称可同时约 去。求方程的解的过程就是数的恒等变形的过程，最后的结果是没有单位名称的，只需要 在答案中把单位名称写清楚。 【误区一】等式两边都乘（或除以）一个数，等式仍然成立。 错解分析 此题错在除以一个数时，没有把 0 排除在外。 正确解答 等式两边都乘一个数（或除以一个不为 0 的数） ，等式仍然成立。 温馨提示 因为 0 作除数无意义，所以一定要把 0 排除在外。 【误区二】 5x- 20 解：=205 =4 错解分析 此题错在解方程时等号左边没有写“x” 。 正确解答 5x=20 解：x=205 x=4 温馨提示 解方程时，不能用混合运算的脱式写法进行计算，最后一步应该写成“x=” ，且 等号要上下对齐。 综合能力全解 【能力点一】运用代人法解决稍复杂的方程问题 例 1 方程 3x=6 与 bx=1.4 有相同的解，求 b 的值。 分析 因为两个方程的解相同，也就是 x 的值相同，所以可以先求出 3x=6 的解，然后 把它代入到 bx=1.4 中，会得到一个含有未知数 b 的新方程，再求出这个新方程的解，也就 是 b 的值。 解答 3x=6 解：x=63 x=.2 把 x=2 代人 bx=1.4 中得到： 2b=1.4 解：b=1.42 b=0.7 答：b 的值是 0.7。 提示 题中虽然有两个未知数，但其中一个未知数的值隐含在已知条件中，通过计算可以求 出来。把数据代入到另一个方程中，就可求出另一个未知数的值。 【能力点二】 运用消元法解决和差问题 例 2 已知 a+b=35.2，a-b=25.8，求 a，b 的值各是多少。 分析 已知两个数的和 35.2 与这两个数的差 25.8，根据等式的基本性质，把这两个式子的 左右两边分别相加，即(a+b)+（a-b ）=35.2+25.8 ，将此式子整理后为 2a=61，可以求出口的 值；再把 a 的值代入到其中的一个式子中，就可以求出 b 的值。 解答 将 a+b=35.2 和 a-b=25.8 的左右两边分别相加得： (a+b)+(a-b) =35. 2+25.8 解：a+b+a-b =61 2a =61 2a2=612 a=30.5 把 a=30.5 代人 a+b=35.2 中得到： 30. 5+b =35.2 解：30. 5+b-30.5=35.2 -30.5 b =4.7 提示 题中如栗有两个未知数，要想办法消去其中一个未知数，再求另一个未知数。 5猜数游戏（教材 9495 页） 教材知识全解 【知识点一】利用等式性质解“ax+b=c(a0) ”这样的方程 问题导入 笑笑和淘气正在做猜数游戏。 你知道笑笑是怎么猜到的吗？（教材 94 页例题） 过程讲解 1分析数量关系 根据笑笑和淘气的叙述，可以找出等量关系式，即淘气心里想的数2+20=80。如果 设淘气心里想的数为 x，那么可以列出方程 2x+20 =80。 2探究笑笑的思考过程 根据等式性质（一） ，方程 2x+20 =80 的两边同时减去 20，可以得到 2x+20-20=80- 20，即 2x=60;再根据等式性质（二） ，方程 2x= 60 的两边同时除以 2，得到 2x2=602， 即 x=30，所以淘气心里想的数是 30。原来笑笑是通过列方程、解方程而猜到的。 3正确解答 解：设这个数为 x。 2x+20=80 2x=60 x=30 口头检验：左边=230+20 -80，右边=80，左边= 右边，计算正确，说明 x=30 是方程 2x+20=80 的解。 难点点拨 在计算方程 2x+20 =80 时，可以先把 2x 看成是一个加数。 归纳总结 解形如“ax+b=c(a0)”这样的方程，要根据等式性质解答，具体步骤如下： a x +b=c 解：ax= c-b x=（c -b）a 【知识点二】利用等式性质解“ax-b-c(a0)”这样的方程 问题导入 解方程 4. 2x-15=6。 方法讲解 根据等式性质（一） ，方程 4. 2x-15=6 的两边都加上 15，可以得到 4. 2x-15+15=6+15， 即 4.2x=21；再根据等式性质（二） ，方程 4.2x=21 的两边都除以 4.2，得到 4. 2x4. 2=214.2，即 x=5。具体的计算过程可以这样写： 4. 2x -15=6 解：4. 2x= 21 x-=5 方法提示 4. 2rx- 15=6 还可以根据减法各部分之间的关系将原方程变形为 4. 2x=6+15， 再计算。 归纳总结 解形如“ax-b=c(a 0) ”这样的方程，也要根据等式性质解答，具 体步骤如下： ax-b=c 解：ax= c+b x=(c+b)a 【知识点三】列方程解决简单的实际问题 问题导入 看图列方程并解答。 （教材 95 页“试一试” ） 过程讲解 1理解图意，找出题中的等量关系 根据图中的信息，可以列出等量关系式，即 4 听饮料的价钱+3. 60 元=11. 40 元。可以 设 1 听饮料 x 元，先根据等量关系式列出方程，再求解。 2解答过程 解：设 1 听饮料 x 元。 4x+3.60=11.40设前写“解”字，计算过程中就不写 “解”字了。 4x=7.80 x=1.95不加单位名称。 答：1 听饮料 1. 95 元。 归纳总结 列方程解决实际问题时，首先要用字母表示未知数，然后根据题目：中数量之间的相 互关系，列出一个含有未知数的等式（也就是方程） ，再解出来，最后检验，写出答语。 【误区一】 列方程解应用题，最后一步求出未知数的值时一定要写上单位名称。 错解分析 此题错在没有掌握列方程解应用题时有关未知数的单位名称问题。 正确解答 列方程解应用题，最后一步求出未知数的值时不加单位名称。 温馨提示 列方程解应用题时，题中的未知数本身只是一个数值，因此求出的：未知数的值不加 单位名称。 【误区二】 0.8x+3=4.6 解：x=4. 6-3 0.8 x=4.6 -3. 75 x=0. 85 错解分析 此题错在计算过程中弄错了计算顺序。 正确解答 0.8x+3=4.6 解：0. 8x=4. 6-3 0. 8x=l.6 x=1.60.8 x=2 温馨提示 在解方程时，首先要明确方程中各部分之向的关系，然后根据要求：一步一步地计算。 综合能力全解 【能力点一】 运用代入法解稍复杂的方程问题 例 1 如果 ax+8=42 的解是 x=4，求 a+l 的值。 分析 把 x=4 代入原方程，就得到一个含有未知数 a 的新方程。求出这个方程的解，进而 求出 a+l 的值。 解答 把 x=4 代人原方程，得： 4a+8=42 解：4a=34 a=8.5 当 a=8.5 时，a+1=8. 5+1=9.5。 总结 解答此题可以分两步进行：(l)先把方程的解代入原方程，求出题中未知数 a 的值；(2) 把以的值代入新的代数式中，从而求出这个代数式的值。 【能力点二】 根据差不变解决求连续自然数的问题 例 2 三个连续自然数的和是 54，用列方程的方法求出这三个数分别是多少。 分析 三个连续自然数按从小到大的顺序排列，应该是后一个数比前一个数大 1。我们可 以设其中一个数为 x，另外两个数都可以用含有 x 的式子表示，这样就可以根据三个数的 和是 54 这一等量关系列方程。 解答 方法一 解：设这三个连续自然数中最小的数为 x，则中间的数为(x+1)，最大的数为(x+2) 。 x+(x+1)+(x+2)=54 3x+3=54 3x= 51 x=17 x+1=17+1=18 x+2=17+2=19 方法二 解：设这三个连续自然数中间的数为 x，则最小的数为(x-l)，最大的数为(x+1) 。 （x 一 1）+x+(x+1)=54 3x-=54 x=18 x-1=18-1=17 x+1=18+1=19 方法三 解：设这三个连续自然数中最大的数为 x，则中间的数为(x-l)，最小的数为(x-2)。 (x -2)+(x -1)+.x= 54 3x -3=54 3x= 57 x=19 x-2=19-2=17 x-1=19-1=18 答：这三个数分别是 17，18，19。 总结 解答此类题时，要结合连续自然数的特点列方程，再解答。 一艘轮船发生漏水事故，船长一边报警一边安排用两台抽水机同时向外抽水。当时已漏 水 450 桶，一台抽水机每分抽水 18 桶，另一台抽水机每分抽水 12 桶，经过 25 分后把水抽 完。每分漏进多少桶水？ 正确解答 解：设每分漏进 x 桶水。 25x+450= (18+12)25 25x+450= 750 25x=300 x=12 答：每分漏进 12 桶水。 6邮票的张数（教材 9697 页） 教材知识全解 【知识点】 “ax 士 x=b”型方程的解法 问题导入 姐、弟俩平时都非常喜欢集邮，他们集邮的相关信息如下图。 （教材 96 页例 题） 过程讲解 1理解题意 要想求出姐、弟各有多少张邮票，可以根据妈妈、姐姐和弟弟的对话找出不同的等量关系， 然后列方程解答。 2探究解法 方法一 分析 可以选用“姐姐邮票的张数已经是弟弟的 3 倍了”和“我和姐姐一共有 180 张邮 票”这两个信息隶求姐弟各有多少张邮票。可以借助线段图（如下图）来理解。 从图中可以看出：姐姐的邮票张数十弟弟的邮票张数=180，根据这一等量关系列方程解 答。 画法提示 如果设弟弟 x 张邮票，那么姐姐就有 3x 张邮票。用一条线段表示弟弟的 邮票数，用 3 条这样的线段表示姐姐的邮票数。 解答 解：设弟弟有 x 张邮票，则姐姐有 3x 张邮票。 x+3x=180 4x=180 x=45 3x=345=135把 x=45 代入 3x 中，求出姐姐的邮票数。 方法提示 根据乘法分配律： x+3x =x(1+3) =4x 方法二 分析 可以选用“姐姐邮票的张数已经是弟弟的 3 倍了”和“我比弟弟多 90 张邮票”这 两个信息来求姐、弟各有多少张邮票。可以借助线段图（如下图）来理解。 从图中可以看出：姐姐的邮票张数一弟弟的邮票张数=90，根据这一等量关系列方程解 答。 解答解：设弟弟有 z 张邮票，则姐姐有 3z 张邮票。 3x -x=90 2x=90 x=45 3x=345=135把 x=45 代人 3x 中，求出姐姐的邮票数。 方法三 分析 可以选用“我和姐姐一共有 180 张邮票”和“我比弟弟多 90 张邮票”这两个信 息来求姐、弟各有多少张邮票，线段图如下： 解答 解：设弟弟有 x 张邮票，则姐姐有(x+90) 张邮票。 x+(x+90) =180 2x+ 90=180 2x=90 x= 45 x+90=45-1-90=135把 x=45 代入 x+90 中，求出姐姐的邮票数。 方法四 分析 还可以选用“我和姐姐一共有 180 张邮票”和“我比弟弟多 90 张邮票”这两个 信息的另一种思路求姐、弟各有多少张邮票，线段图如下： 解答 解：设姐姐有 x 张邮票，则弟弟有(180-x)张邮票。 x- (180 -x)=90 x- 180+x=90 2x - 180=90 2x=90+180 2x=270 x= 135 180 -x=180-135=45把 x=135 代入 180-x 中，求出弟弟的邮票数。 答：姐姐有 135 张，弟弟有 45 张 重点提示 括号前面是“一” ，去掉括号时，括号里面的减号要变成加号。 归纳总结 形如“axx=b”这样的方程，要用乘法分配律，并根据等式性质来解，具体步骤如下： ax 土 x=b 解：(a 1)x=b x=b（a1） 【误区】方程 7x- 36=3x，可以整理成 7x+3x=36。 错解分析 此题错在没有掌握等式中各部分数量之间的关系。 正确解答 方程 7x-36=3x，可以整理成 7x-3x=36。 温馨提示 在整理方程时，要先明确等式中各部分之间的关系，再整理。 综合能力全解 【能力点一】运用抓不变量法列方程解决差倍问题 例 1 小东今年 8 岁，妈妈今年 34 岁，小东几岁时，妈妈的年龄是小东的 3 倍？ 分析 妈妈的年龄和小东的年龄不断变化，但两人的年龄差始终不变，即“妈妈年龄-小 东年龄=(34-8)岁 ”，依据这个等量关系可列方程解答。 解答 解：设小东 x 岁时，妈妈的年龄是小东的 3 倍。 3x-x=34 -8 2x=26 2x2=262 x=13 答：小东 13 岁时，妈妈的年龄是小东的 3 倍。 提示 明确两个人的年龄差不变是解决此题的关键。 【能力点二】运用综合法解决问题 例 2 有两袋球，甲袋有 50 个，乙袋有 40 个，每次从甲袋里取出 4 个，从乙袋里取出 3 个。取多少次后，两袋里剩下的球的个数相等？ 分析 甲袋原有的个数一从甲袋取出的个数=乙袋原有的个数一从乙袋取出的个数。 解答 解：设取 x 次后，两袋里剩下的球的个数相等。 50-4x= 40 - 3x 50 - 4x+4x= 40 - 3x+4x等式两边都加 4x。 50 - 40= 40+x-40等式两边都减 40。 x=10等号两边交换位置。 答：取 10 次后，两袋里剩下的球的个数相等。 提示 解答此类题的关键是先找到题中的等量关系，再根据题意列出方程。 第六、七单元整理与复习（教材 8599 页） 单元基础知识整理 知识模块 具体内容 要点提示 谁先走 1判断游戏规则是否公平，要看 代表双方的事件发生的可能性是 否相等。如果相等，则游戏规则 公平；否则，游戏规则不公平。 2用转盘设计对双方公平的游戏 规则的步骤： (1)把转盘平均分成双数份，把其 中的一半份数涂一种颜色，另一 半份数涂另一种颜色。 (2)确定甲、乙双方各用哪种颜色 表示。 (3)转动转盘，转到哪种颜色的区 域，则那种颜色所代表的一方就 先开始游戏。 游戏双方获胜的可能性相等，游戏才 是公平的。 字母表示 1理解用字母表示数的意义，会 用字母表示数、运算律和有关图 形的计算公式。 2数字与字母相乘、字母与字母 相乘时，乘号可以记作“ ”或省 略不写，数字通常写在字母的前 面。 在含有字母的式子里，字母中间只有 乘号能省略，其他运算符号都不能省 略。 方程 1定义：像 x+5=10，4y=380 ，这样含有 未知数的等式叫方程。 2列方程：用方程表示简单情境 中的等量关系。 方程必须具备两个条件：必须是等 式；必须合有未知数。 天平游戏（一） 知识模块 1等式性质（一）：等式两边都 加上（或减去同一个数，等式仍 然成立。 2.应用：利用等式性质（一）解 简单的方程。 具体内容 解方程时要注意写清步骤，等号上下 对齐。 要点提示 天平游戏（二） 1等式性质（二）：等式两边都 乘一个数（或除以一个不为 0 的 数） ，等式仍然成立。 2应用：利用等式性质（二）解 简单的方程。 检验代入数值时，省略的乘号要还原。 猜数游戏 1列方程解决简单的实际问题， 体会方程的意义。 2利用等式性质解形如 “axb=c”的方程。形如 “ax+b=c(a0)” 这样的方程， 要根据等式性质解答，具体步骤 如下： ax +b=c 解：x=c-b x= (c-b)a 形如“ax-b=b-c(a 0) ”这样的方 程，也要根据等式性质解答，具 体步骤如下： ax - b=c 解：ax= c+b x=(c+b)a 列方程解决问题，可以直接设未知数 或间接设未知数。 邮票的张数 形如“ax 土 x=b”这样的方程， 要用乘法分配律，并根据等式性 质解答，具体步骤如下： axx=b 解：(al)x=b x=b（a1） 画线段图可以更好、更快地找到等量 关系，并列出方程。 单元基本方法复习 【基本方法一】画树状图法 画树状图法就是借助树状结构的分层特征，对某一事件可能发生的所有情况逐一枚举， 从而直观求解的一种解题方法。 典型例题 1 小明晚上睡觉时将两双不同的袜子放在了床头，第二天早上起床时随便穿了 两只。小明正好穿的是同一双袜子的可能性大，还是没有穿同一双袜子的可能性大？ 方法指导 假设这两双袜子分别为 A 双和 B 双，则这四只袜子分别为 A 、A 、B 、B 。小明穿袜子的情况可以用下面的树状图表示：1212 两次组合的结果只有分别是(A ，A )或(B ，B) 时才能是同一双袜子。由上面的树1212 状图可知，两双袜子在一起的组合共有 12 种，其中有 4 种情况是同一双袜子，8 中情况不 是同一双袜子。 正确解答 小明没有穿同一双袜子的可能性大。 【基本方法二】比较法 比较法就是通过观察、分析，找出研究对象的相同点和不同点，从而找到解题策略的一 种方法。 典型例题 2 选择合适的方法解决问题。 (1)学校体育室里足球有 12 个，篮球的个数比足球的 3 倍少 6 个，篮球有多少个？ (2)学校体育室里篮球有 30 个，篮球的个数比足球的 3 倍少 6 个，足球有多少个？ 方法指导 这两道题都属于倍比关系问题，基本数量关系相同，但已知数量与所求数量有 所不同，如下表所示： 相同点 不同点 (1)题 已知数量 所求数量 足球有 12 个 篮球有多少个 (2)题 数量关系： 篮球个数=足球个数 3-6 篮球有 30 个 足球有多少个 由上表可知,(1)题已知足球数量，求篮球数量，直接用算数法解决比较方便； (2)题已知篮 球数量，求足球数量，用方程法不必逆向思考，可直接列出方程。 正确解答 (1)123-6 =30（个） 答：篮球有 30 个。 (2)解：设足球有 x 个。 3x -6 =30 3x-6+6 =30+6 3x=36 3x3=363 x=12 答：足球有 12 个。 【基本方法三】画图法 画图法是指用实物图、示意图、线条图、线段图等直观图形表示题中的数量关系，使 题意形象具体，一目了然，以便较快找到解题途径的解题策略。 典型例题 3 甲地与乙地相距 315 千米，一辆轿车和一辆货车同时从两地相对开出。轿 车每时行驶 60 千米，3 时后两车相距 15 千米。货车每时行驶多少千米？ 方法指导 解决此题，可以根据题意画出线段图，借助线段图分析题中的数量关系，找 出等量关系式，列方程进行解答。根据“3 时后两车相距 15 千米” ，