为数学思考而教学

为数学思考而教学 数学课程标准中把“数学思考”作为四个总目标之一， 数学课程标准解读中指出： 一方面“数学思考”的实现是在学习数学知识、解决数学问题的过程中进行的（我们不需 要、也不可能开设专门的“数学思考”课） ；另一方面， “数学思考”的实现却不是以是否 知道了某个概念、定理，是否会用某些公式或法则为标志的。联合国教科文组织在学会 生存一书中指出：“教师的职责现在已经越来越少地传授知识，而越来越多地激励思考。 ”诺贝尔奖获得者、德国物理学家劳厄指出：“重要的不是获取知识，而是发展思维能力。 教育无非是一切已学过的东西都遗忘掉的时候所剩下来的东西。 ” 著名的数学教育家斯托 利亚尔在数学教育学中阐述到：数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活 动的结果-数学知识的教学。华东师范大学孔企平专家对思考的解释是：思考是学生学习 数学认知过程的本质特点，是数学知识的本质特征，所以提出了“为思考而教学” 。 从以上的阐述中发现：“数学思考”是学生数学学习的本质特点，是数学知识的本质特征， 在我们的数学课堂教学中，眼光不要仅仅局限于所要教的某一个概念、定理等知识，更应 深层次的考虑通过学习这些知识后使学生能取得什么发展，特别要关注学生“数学思考” 方面的发展，为“数学思考”而教。知识只是学生“数学思考”发展的“脚手架” ，通过学 习使学生能够“数学的思考” ，能够从数学的角度思考问题，能够发现其中所存在的数学现 象并运用数学知识与方法去解决问题。在课堂教学中，关注学生“数学思考”的发展，积 极地实践为“数学思考”而教。 一、创设问题情境，营造“数学思考”的氛围 创设问题情境是在揭示数学知识时，引起学生内心的冲突，动摇学生已有的认知结构的平 衡状态，从而唤起学生的“数学思考” ，激发学生学习的内驱力，使学生进入问题探究者的 “角色” ，真正“卷入”到学习活动中去。 1、创设具有“数学味”的问题情境。 创设的情境要源于生活，高于生活，充满“做数学”的“数学味” ，有利于学生研究数学问 题，思考数学问题。例如：教学按比例分配应用题时，开门见山地提出了问题：你分 过东西吗？你是怎么分的？分东西时要考虑哪些问题？让学生回顾以往生活中分东西的经 验，思考分东西的需要考虑的问题，为学习按比例分配打下基础。接着教师就创设了以下 情境：六 4 班有男生 22 人，女生 18 人，体育老师在上体育课时要将 20 个篮球分给男女同 学，你觉得可以怎么分？。学生在交流了各自的分配方法后，引导学生思考怎样分最合理？ 这样的情境，数学研究的味道很浓，需要学生更多地从数学的角度思考问题。 2、创设“可疑”的问题情境。 设置疑问情境，让学生经历提出问题、解决问题的学习过程，给学生的“数学思考”提供 发展空间。学起于思，思源于疑，疑是点燃学生“数学思考”的火种。古人云：“小疑则 小进，大疑则大进。 ”心理学上认为：“思维活跃在疑路的交叉点。 ”例如在教学商不变 性质时，教师：看着这个课题，你有什么想知道的吗？学生提出自己的猜想与疑问：商 不变的性质是什么？商为什么不变？商不变，被除数和除数要变吗？要变的话，它们是怎 么变的？根据提出的疑问，学生有了思考的方向，就会积极地“数学思考”来解决这 些问题。 3、创设富有“挑战性”的问题情境。 学生的数学内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，特别是学习内容越具有挑战性， 越会吸引学生积极地“数学思考” 。皮亚杰等人的研究表明：先是儿童在集体中发生了争论， 才会产生要证实自己思想的必要性，儿童与生俱来就有一种探索的欲望，他们长大把自己 当作或是希望自己是一个探索者，研究者和发现者。例如在教学“长方形和正方形的周长 和面积”后，学生创设了一个如何打算装修客厅的情境，运用周长和面积的知识来说自己 将怎样进行装修？比如地砖的铺设应考虑客厅地面的面积、每块的面积等。 问题情境的创设不仅仅在课的伊始，着眼于学习过程中所要解决的核心问题而分层次，连 续地创设出一系列的问题情境，就可以把学生的“数学思考”逐步引向深入。 二、学习过程中发展“数学思考” 学生“数学思考”的发展与数学知识教学是同步的，也就是说“数学思考”应在学习数学 知识的过程中发展。教育家裴斯洛齐认为：教育的主要任务，不是积累，而是发展思维。 那么被誉为“思维体操” 、 “思维王国”的数学理所当然地要把“数学思考”作为数学学习 的一个重要目标，并让学生在经历学习的过程中，学会思考，发展“数学思考” ，真正使学 生具有可持续发展与终身学习的潜能，为人生奠基。 1、在体验感悟中进行“数学思考” 。 数学课程标准建议教师“让学生在现实情境中体验和感悟数学” 。作为数学教师要让学 生在体验感悟中“数学思考” ，触动学生的生活积累，使学生能有所悟，能自悟自得，并能 在实践活动中深化感悟。 例如在教学三角形的认识时，通过摆（摆出一个三角形） ，感悟（感悟三角形是怎么摆 的） ，画（请你根据自己的理解画画三角形） ，感悟（从画的过程中进一步感悟三角形的特 征） ，交流（把自己感悟到的三角形特征与大家交流，共同构建三角形的意义） ，再画（在 画的过程中体会三角形的意义与特征） ，练（最后通过一些图形的判断巩固和强化三角形的 意义） 。在这样不断地体验中感悟，在不断地感悟中深入体验，使学生的“数学思考”更趋 深刻。 2、在动手操作中进行“数学思考” 。 新课程特别注重学生创新意识和实践能力的培养，在动手操作中找到灵感、激活思维、解 决问题，在具体的实践操作过程中进行“数学思考” 。在边动手边思考的学习过程中，使学 生的形象思维向抽象思维过渡。 在教学分数的意义时，第一步，教师为学生提供了一些学习材料：一个圆、一块橡皮、 一根一米长的绳子、一盒水彩笔（12 支） 、一幅 4 支铅笔图、一幅 6 只小兔图。布置学习 任务：利用自己手中的学习材料，可以动手折一折、切一切、分一分，用材料来表示一个 分数。第二步，学生动手操作、数学的思考操作结果。第三步，学生用材料汇报所表示的 分数的意义。 “数学思考”渗透在以上的动手操作、比较、分析、概括的学习过程中，学生 在不断地思考过程中构建分数的意义。 3、在解决问题中进行“数学思考” 。 数学学习的过程就是学生不断交替地经历提出问题、解决问题的过程，在经历的这个过程 中“数学思考”起主导作用的，没有“数学思考”学生就不能发现数学信息、提出数学问 题，更不要说思考解决问题的策略。 在教学解决问题时，教师为学生出示的主题情景图很多都是“生活气息”比较重的， 这就需要通过观察提炼出具有“数学气息”的数学信息，并能提出数学问题，这个过程需 要学生用数学的眼光来思考。再让学生独立思考、自主解决问题，交流解决问题的策略， 建立解决问题的模型，在此过程中学生用自己的“数学思考”寻求解决问题的策略，并能 够把策略整合到自己的认知结构中，为解决类似问题的“数学思考”提供思考模型。 三、课堂教学中进行“数学思考” 的有效性思考 1、耐心等待“数学思考” 。 学习数学离不开“数学思考” ，但是“数学思考”需要时间保证，需要一个过程。因此，学 生在思考时，需要老师在课堂中耐心等待，给予学生充足的思考时间，这样才能保证学生 思考的实际效果。知识是由学生自己思考获得的，别人不能代替的，也是无法代替的。学 生只有通过独立思考，才能实现现有问题与原有经验相连接，新知识才能与原有认知结构、 知识体系进行整合，完成自主构建知识，从而发展“数学思考” 。 2、 “数学思考”的启发。 当数学问题情境作用于学生后就可能展开“数学思考”活动，而教师启发性的提问会更加 引发学生更深层次的思考。 “还有没有其他的解法吗？”可以启发学生的“数学思考”更全 面；“你是怎样想的？”可以启发学生把自己的“数学思考”有条理地阐述，与他人分享； “如果，会怎么样？”可以启发学生批判性的“数学思考” ；“他的想法对吗？你有什 么建议？”可以启发学生把他人的“数学思考”与自己的“数学思考”相比较，进行整合。 3、 “数学交流”提升“数学思考” 。 从思维的角度分析：语言是思考的载体， “数学思考”是借助于数学语言在头脑中默默地进 行的，可以说“数学思考”就是数学语言的“内在表达” 。内部语言活动不像外部语言活动 那样具有较强逻辑性和条理性。它们常常是简化的、压缩的、跳跃的。 “数学思考”是在一 种简缩了的结构中进行的，这个结构内部的一系列中间环节被“略去” 。正是“数学思考” 的这种简缩、跳跃，在创造性思维活动中发挥着重要的作用，它可以使主体突然领悟到数 学对象的某方面本质，从而迅速做出判断。然而，此时主体的“数学思考”可能仍处在一 种混沌状态，其思考过程和结果都具有模糊性。如何使“数学思考”的这种模糊性得以澄 清呢?“数学交流”提供了一条使学生把内部思考转变为外部语言的途径，这是因为语言是 “数学思考”的再现，语言是通过交流再现“数学思考”的。利用外部语言对“数学思考” 进行加工、整理，可以理清思考过程，巩固思考结果。当学生将自己的思考过程或思考结 果用数学语言通过口头或书面表达出来时，处于混沌状态的“数学思考”才能逐渐明晰起 来，从而促进了学生“数学思考”的提高，创造性思维能力的发展。 在教学第十一册中分数（百分数）应用题时，让学生用一句话来说明自己班中男女生 人数的关系：男生的人数是女生的 4/5，师：“男生的人数是女生的 4/5”这句话你还可以 怎样理解？请学习小组相互先交流说一说。生 1：我们把女生的人数看作单位“1” ，男生 的人数是女生人数的 4/5，也就是把女生平均分成 5 份，男生相当于女生的 5 份中的 4 份。 生 2：我认为男生和女生一共有 9 份，男生是 9 份中的 4 份，也就是 4/9，女生是 9 份中的 5 份，也就是 5/9。生 3：我认为既然男生是全班人数的 4/9，女生是全班人数的 5/9，全班 人数的分率就是 4/9+5/9=“1”。我认为男生比女生多的分率就是 5/9-4/9=1/9。 生 4：女生 是单位“1” ，男生是女生的 4/5，那么全班人数的分率可以表示成 1+4/5=9/5 ，生 5：把男 生的人数看作“1” ，女生就是男生的 5/4，全班人数的分率还可以表示成 1+5/4=9/4。生 6：为什么我们一会儿说男生是 4/9，一会儿说它是 4/5，又说它是 “1”？生 7：因为“1” 不