圆的综合带解析（2019年中考数学复习专题）

圆的综合带解析（2019年中考数学复习专题）专题七圆的综合中考备考攻略 纵观近5年中考数学试卷,圆的综合考查在每年的第26题出现,主要呈现等腰三角形模型、垂径定理模型和直角三角 形模型,其中2014年第26题属 于直角三角形模型；2015年第26题属于等腰三角形模型；2016年第26题属于直角三角形模型和等腰三角形模型；2017年第26题属于直角三角形模型和垂径定理模型；2018年第26题属于等腰三角形模型和直角三角形模型,切线的判定为必考考点,2019年第26题将继续考查. 解决圆的综合问题的几个要点：(1)已知圆周角或者圆心角的度数或等量关系,找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角；(2)已知直径,找直径所对的圆周角；(3)已知切线或证 明相切关系,连接过切点的半径；(4)已知“弦的中点”和“弧的中点”,连接中点和圆心,利用垂径定理的推论得出相关结果；(5)圆心是直径的中点,考虑中位线；(6)同圆的半径相等,连接两条半径,考虑等腰三角形的性质；圆内的等腰三角形,计算线段长,考虑垂径定理；(7)角平分线、平行、等腰中“知二得一”.中考重难点突破 垂径定理模型例1(2018郴州中考)已知BC是O的直径,点D是BC延长线上一点,ABAD,AE是O的弦,AEC30. (1)求证：直线AD是O的切线；(2)若AEBC,垂足为点M,O的半径为4,求AE的长.【解析】(1)先得出ABC30,进而求出OAB30,BAD120,结论得证；(2)先求出AOC60,用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结果.【答案】(1)证明：连接OA.AEC30,ABC30.ABAD,DABC30 .根据三角形的内角和定理得,BAD120.OAOB,OABABC30,OADBADOAB90,OAAD. 点A在O上,直线AD是O的切线；(2)解：A EC30,AOC60.BCAE于点M,AE2AM,OMA90.在RtAOM中,AMOAsin AOM4sin 6023,AE2AM43. 等腰三角形模型例2(2018 永州中考)如图,线段AB为O的直径,点C,E在O上,BCCE,CDAB,垂足为点D,连接BE,弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证：CFBF； (2)若cos ABE45,在AB的延长线上取一点M,使BM4,O的半径为6.求证：直线CM是O的切线.【解析】(1)延长CD交O于点G,如图,利用垂径定理得到BCBG,则可证明CEBG,然后根据圆周角定理得CBEGCB,从而得到CFBF；(2)连接OC交BE于点H,如图,先利用垂径定理得到OCBE,再在RtOBH中利用解直角三角形得到BH245,OH185,接着证明OHBOCM得到OCMOHB90,然后根据切线的判定定理得到结论. 【答案】证明：(1)延长CD交O于点G.CDAB,BCBG.BCCE,CEBG,CBEGCB,CFBF；(2) 连接OC交BE于点H,如图.BCCE,OCBE.在RtOBH中,cos OBHBHOB45,BH456245,OH622452185.OHOC185635,OBOM66435,OHOCOBOM.又HOBCOM,OHBOCM,OCMOHB90,OCCM,直线CM是O的切线. 1.(2018宿迁中考)如图,AB,AC分别是O的直径和弦,ODAC于点D,过点A作O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F. (1)求证：PC是O的切线；(2)若ABC60,AB10,求线段CF的长.(1)证明：连接OC.ODAC,OD经过圆心O,ADCD,PAPC.在OAP和OCP中,OAOC，PAPC，OPOP，OAPOCP(SSS),OCPOAP.PA是O的切线,OAP90.OCP90,即OCPC,PC是O的切线；(2)解：AB是直径,ACB90.ABC60,CAB30,COF60.PC是O的切线,AB10,OCPF,OCOB12AB5,CFOCtan COF53. 2.(2018白银中考)如图,在ABC中,ABC90. (1)作ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作O；(要求：不写作法,保留作图痕迹)(2)判断(1)中AC与O的位置关系,直接写出结果.解：(1)如图； (2)相切.过点O作ODAC于点D.CO平分ACB,OBOD,即圆心O到直线AC的距离dr,O与直线AC相切.3.(2018玉林中考)如图,在ABC中,以AB为直径作O交BC于点D,DACB. (1)求证：AC是O的切线；(2)点E是AB上一点,若BCEB,tan B12,O的半径是4,求EC的长.(1)证明：AB是直径,ADB90,BBAD90.DACB,DACBAD90,BAC90,ABAC.又AB 是直径,AC是O的切线；(2)解：BCEB,ECEB.设ECEBx.在RtABC中,tan BACAB12,AB8,AC4.在RtAEC中,EC2AE2AC2,x2(8x)242,解得x5,EC5. 直角三角形模型例3(2018聊城中考)如图,在RtABC中,C90,BE平分ABC交AC于点E,作EDEB交AB于点D,O是BED的外接圆. (1)求证：AC是O的切线；(2)已知O的半径为2.5,BE4,求BC,AD的长.【解析】(1)连接OE,由OBOE知OBEOEB,又由BE平分ABC知OBECBE,据此得OEBCBE,从而得出OEBC,进一步即可得证；(2)证BDEBEC得BDBEBEBC,据此可求得BC的长度,再证AOEABC得AOABOEBC,据此可得AD的长.【答案】(1)证明：连接OE. OBOE,OBEOEB.BE平分ABC,OBECBE.OEBCBE,OEBC.又C90,AEO90,即OEAC.AC是O的切线；(2)解：EDBE,BEDC90.又DBEEBC,BDEBEC,BDBEBEBC,即544BC,BC 165.AEOC90,AA,AOEABC,AOABOEBC,即AD2.5AD52.5165,AD457. 4.(2018柳州中考)如图,ABC为O的内接三角形,AB为O的直径,过点A作O的切线交BC的延长线于点D.(1)求证：DACDBA；(2)过点C作O的切线CE交AD于点E,求证：CE12AD；(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD6,AB3,求CG的长. (1)证明：AB是O直径,ACDACB90.AD是O的切线,BAD90,ACDBAD90.DD,DA CDBA；(2)证明：EA,EC是O的切线,AECE(切线长定理).DACECA.ACD90,ACEDCE90,DACD90.DDCE.DECE.ADAEDECECE2CE.CE12AD；(3)解：在RtABD中, AD6,AB3,tan ABDADAB2.过点G作GHBD于点H,则tan ABDGHBH2,GH2BH.点F是直径AB下方半圆的中点,BCF45.CGHCHGBCF45,CHGH2BH,BCBHCH3BH.在RtABC中,tan ABCACBC2,AC2BC.根据勾股定理,得AC2BC2AB2,4BC2BC29,BC355.BH55,GH2B H255.在RtCHG中,BCF45,CG2GH2105.中考专题过关1.(2018昆明中考)如图,AB是O的直径,ED切O于点C,AD交O于点F,AC平分BAD,连接BF. (1)求证：ADED；(2)若CD4,AF2,求O的半径.(1)证明：连接OC,如图.AC平分BAD,OACCAD.OAOC,OACOCA,CADOCA,OCAD.ED切O于点C,OCED,ADED；(2)解：设OC交BF于点H,如图.AB为直径,AFB90,易得四边形CDFH为矩形,FHCD4,CHF90,OHBF,BHFH4, BF8.在RtABF中,ABAF2BF22282217,O的半径为17.2.(2018北部湾中考)如图,ABC内接于O,CBGA,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EFBC,垂足为点F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.(1)求证：PG与O相切；(2)若EFAC58,求BEOC的值；(3)在(2)的条件下,若O的半径为8,PDOD,求OE的长. (1)证明：连接OB,则OBOD,BDCDBO.BDCBACCBG,CBGDBO.CD是O的直径,DBOOBC90,CBGOBC90,OBG90,PG与O相切；(2)解：过点O作OMAC于点M,连接OA,则AOMCOM12AOC.又BFEOMA90,EBF12AOCAOM,BEFOAM,EFAMBEOA.AM12AC,OAOC,EF12ACBEOC.又EFAC58,BEOC2EFAC25854；(3)解：PDOD,PBO90,BDOD8.在RtDBC中,BCDC2BD283 ,cos BDOBDCD81612,BDO60,OCB30,EFEC12,FCEF3.设EFx,则EC2x,FC3x,BF833x.在RtBEF中,BE2EF2BF2,BE54OC10.100x2(833x)2,解得x613.6138(舍去),x613,EC12213.OE8(12213)2134.3. (2018襄阳中考)如图,AB是O的直径,AM和BN是O的两条切线, E为O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CBCE. (1)求证：DADE；(2)若AB6,CD43,求图中阴影部分的面积.(1)证明：连接OE,OC,BE.OBOE,OBEOEB.CBCE,CBECEB,OBCOEC.BC为O的切线,OECOBC90.OE为半