用dft对连续信号谱分析的误差问题

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 用 DFT 对连续信号谱分析的误差问 题 Xa （ jf）T?n=0M-1xa（nT）e- j2fnT （3） 中国论文网 /5/view-5921444.htm 显然Xa（jf ）仍是f的连续周 期函数，xa （ nT）和Xa（jf）如图 1（c） ， （d）所示。 为了进行数值运算，频域上也要 离散化，因此在频域的一个周期0， fs内 等间隔采样N 点，如图 1（f）所示。 由于间隔采样有可能漏掉重要的频域信 息，成为误差产生之三。设频域采样间 隔为F， 则F=fsN=1（NT） ，将f=kF 代入式（3）中可得对采样信号频谱 Xa（j f）的采样： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 Xa （ jkF）T?n=0M-1xa（nT） e-j2Nkn （4） 根据频域采样定理6，如果序列 x（n） 的长度为 M，只有当频域采样 点数NM时，才可由频域采样 X（ k） 恢复原序列 x（ n） ， 否则会产 生时域混叠。因此为简便计算，将序列 也以N点长度来截取，则式（4） 的 求和上限为N-1 ，并令： Xa（k） =Xa（ jkF） ， x（n）=xa（nT），则： Xa （ k）T?n=0N-1x（n）e- j2Nkn=T?DFTx（n）N， k=0，1，N-1 （5） 可见，对近似持续时间有限的带 限连续信号，其频谱特性可以通过对连 续信号采样N 点并进行 DFT 再乘以T 的近似方法得到。因此用 DFT 对模拟 信号谱分析，产生误差是必然的。其具 体分析过程是首先确定模拟信号的最高 频率fc和频率分辨率F，再选取参数， 包括采样频率fs， 采样点数 N， 记录 时间Tp 等。其取值分别为： -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 fs2fcN=fsF2fcFTp=NT=Nfs1F （6） 然后根据计算的参数，通过采样 得到信号序列x（n） ，即可根据式 （5）进行运算分析。 图 1 DFT 对连续信号谱分析过程 下面具体分析误差的影响及其减 小误差的措施。 2 误差分析 2.1 频谱混叠 在对模拟信号xa（ t）进行采样 时，必须满足采样定理，即采样频率 fs2fc， 而通过上面分析时域有限的信 号不可能是锐截止的，并且信号中不可 避免地有一些高频杂散信号，因此在采 样之前，一般都要对模拟信号进行滤波， 滤除高频杂散信号。如本例中，fc取 2 kHz，当fs=5 kHz 时，采样信号的频谱 混叠很小，见图 1（d） ；但当选fs=1 kHz 时，其频谱如图 1（h）所示，混叠 严重。以折叠频率fs2 处的频谱幅度来 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 比较T=0.2 ms 和T=1 ms 时的混叠程 度，此处k=256 ，键入 Matlab 语句， 得到： abs （X1（k） ）/max（abs （X1） ） ans=0.009 4 abs （X2（k） ）/max（abs （X2） ） ans=0.212 6 而在fc处，模拟信号的幅度比 值为： abs （Xa（2k） ）/max（abs（Xa） ） ans=0.006 6 可以看出，随着采样频率的减小， 混叠现象加大。 因此，要减小混叠，必须满足乃 奎斯特采样定理，并且在采样前进行预 滤波，滤除高于折叠频率fs2的频率成 分，一般取采样频率6fs（35） fc。 2.2 截断效应 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 对无限长的模拟信号，用 DFT 进行谱分析时，必须先进行截断，通过 采样才能得到有限点的序列，这样必然 产生误差。截断可以理解为加窗，即： y （n）=x （n）w（n） （7） 式中：x（n） 为模拟信号经采 样得到的时域离散信号；w（n）为窗 函数序列。根据频域卷积定理，加窗后 的信号频谱为： Y（ej）=12X （ej） *W（ej） （8） 显然与原序列的频谱是不同的。 文献7对常用的五种窗函数的时 频域波形有详细的对比，是对窗函数本 身的性能做了说明。下面仅以矩形窗和 hamming 窗为例来从加窗对信号频谱的 影响方面来进行分析。图 2 所示为矩形 窗和 hamming 窗的时域和频域波形。由 时域波形可见，矩形窗是对原信号的原 样截取，hamming 窗是在截取的同时对 信号做了加权。由频域波形可见，矩形 窗的主瓣窄，其宽度8为4N ，但旁 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 瓣幅度也高；hamming 窗是以主瓣展宽 为代价换取了旁瓣幅度的减小，其主瓣 宽度8为8N，而主瓣宽度影响的就 是频率分辨率。可见，通过加窗对信号 截断使得对模拟信号的谱分析产生误差， 表现为原本离散的谱线展宽（高频泄漏） 和谱间干扰等现象，即所谓截断效应。 从而降低了谱的分辨率，使频率相近的 两个信号不易分清。 图 2 矩形窗和 hamming 窗的时 频曲线 因此，为了减小截断效应的影响， 一种方法是增大截取长度，通过改变 N， 使窗函数的主瓣变窄，提高频率 分辨率。另一种方法是改变截断窗函数 的形状。 下面通过一个例子，来更清楚地 展示泄漏和谱间干扰的影响，以及通过 截取长度和加不同的窗函数对频谱的改 善作用9，设： x （n）=cos （2f1n） +sin（2f2n） +cos（2f3n） -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 其中f1=25 Hz ，f2=50 Hz，f3 =100 Hz，可见其最高频率为f3， 频率 分辨率至少为 25 Hz，则根据式（6） ， 截取长度Tp1F=0.04 s，取采样频率 fs=400 Hz，则最小采样点N=Tp?fs =16 点，图 3 所示为其加矩形窗和 hamming 窗以N ，4N ， 8N点分别截 断的频谱效果。由图可以清晰地看到， 当截取长度太短的时候，泄漏和谱间干 扰都非常严重，25 Hz 和 50 Hz 的两条 谱线已无法分辨，只有增加截取长度 N， 才使得主瓣变窄，提高了频率分 辨率；而采用 hamming 窗又降低了旁瓣 的影响，减小了谱间干扰。而且可以看 出，当N一定时，旁瓣越小的窗函数， 其主瓣就越宽。增加N 使主瓣变窄， 但旁瓣的相对幅度并不减小。矩形窗的 主瓣较窄，但是旁瓣幅度也较高。可见， 当截取长度一定时，频率分辨率和谱间 干扰是相互抵消的，只能以一种优势来 换取另一种性能的降低。 摘 要： 谱分析是数字信号处理中的一个重要 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 问题，初学者普遍对连续信号谱分析理 解不深，尤其是在误差分析时缺乏统一 示例，更容易产生困惑。介绍了用离散 傅里叶变换（DFT）对连续信号进行谱 分析的过程，并详细说明了误差产生的 原因和减小误差的方法。而且通过对模 拟信号谱分析的实例全面说明了各项误 差的影响及解决方案，并应用 Matlab 直观地进行了分析和对比验证。 关键词： 谱分析； 误差分析； DFT； Matlab 中图分类号： TN911.7?34 文献 标识码： A 文章编号： 1004?373X（ 2014）13?0053?04 Error of continuous signal spectrum analysis based on DFT QIAO Jian?hua1， 2， ZHANG Xue?ying2 （1. College of Electronic & Information Engineering， Taiyuan University of Science & Technology， Taiyuan 030024， China； -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 2. College of Information Engineering， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China） Abstract： Spectrum analysis is one of the important missions in digital signal processing. The understanding of most beginners is not deep to continuous signal spectrum analysis， especially lacking of a uniform example in the error analysis， so it is easier to be confused. The process of continuous time signal spectrum analysis using the discrete Fourier transform （DFT ） is introduced in this paper. The reasons of generating the errors and the methods of minimizing the errors are illustrated in detail. The influence and solutions of various errors are elaborated through a concrete example of analog signal spectrum analysis. It is verified intuitively through analysis and contrast with Matlab software. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 Keywords ： spectrum analysis； analysis error； DFT； Matlab 0 引 言 连续信号的谱分析是数字信号处 理的一个重要内容。对信号进行谱分析， 关键是得到信号的傅里叶变换。由于离 散傅里叶变换（DFT）有快速算法 FFT，因此经常用 DFT（FFT ）对信号 进行谱分析。但是根据傅里叶变换理论， 若信号持续时间有限长，则其频谱无限 宽；若信号的频谱有限宽，则其持续时 间无限长1。因此，用有限长序列的有 限点的 DFT 对连续信号进行谱分析必 然是近似的，要明确误差产生的原因， 并能够采取合理措施来降低误差。文献 2?5也以不同的侧重点介绍了 DFT 在 谱分析中的仿真实现，物理实现，具体 应用以及针对各种不同信号的谱分析。 而对于实际中广泛存在的连续信号，初 学者普遍对其应用 DFT 的谱分析的原 理和过程理解不深，尤其对误差产生原 因不明确，对减小误差方案不清晰，在 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 11 具体的应用中不知如何整合这些方案， 这都是对整个谱分析过程研究不透彻的 缘故。本文从具体的模拟信号谱分析的 实例入手，来充分说明这一点，并通过 Matlab 演示来加深对整个谱分析过程中 误差的认识。 1 用 DFT 对连续信号谱分析 假设模拟信号为xa（t），根据 Nyquist 采样定理，使用模拟信号带宽 2 倍以上的采样率才能保证频谱不混叠， 但实际上理想的带限信号时域上总是无 限长的，因此在工程应用时对于带宽外 能量占总能量比例很小的信号，可以近 似看成是带限信号，认为抽样信号是不 失真的。 例如设xa（t）=e-1 000|t|， 其傅 里叶变换为： Xa （ j）=FTxa（t）=- xa（t）e-jtdt=-e-1 000|t|e- jtdt=2 0001 0002+2 （1） 可以看到这个信号不是一个理想 带限的信号。但是随着增加， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 12 Xa（j）会逐渐减小，可以规定一个 带宽c ，使得Xa（jc）?1 ，认为当 采样频率fsc时可以无失真地恢复 原模拟信号，如本例中取fc=c2=2 kHz，此即造成了误差的产生。xa（t）及 其幅频特性曲线如图 1（a） ， （b）所示。 对xa （ t） 以采样频率fs=5 kHz 采样，即采样间隔T=0.2 ms，得采样 信号xa （nT）=xa（t）t=nT=x（n） ， 在式（1）中，由于tnT，dtT，- dtn=-T，因此得采样信号的频 谱： Xa （ j）T?n=-xa（nT ）e- jnT （2） 假设将采样序列xa（nT）截取 成长度为M的有限长序列，此截断即 为误差产生之二。若频率用f表示，则 式（2）写为： 就这样，深受感 动的琦琦成为了任达华的妻子。结婚后 的任达华与琦琦，两人堪称娱乐圈中的 模范夫妇，2005 年是他们二人结婚十周 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 13 年纪念，所以在农历新年前夕时，他们 特别到桃花树下许愿，希望爱情婚姻长 长久久。 如今任达华仍然为了事业在打拼， 常年出差在外，无法顾家。但不论他到 哪里拍戏，一个月肯定会回家一次。而 日常的联络，他只能通过电话来表达对 家人的关爱和牵挂。 “平时会多打电话多 沟通，我会随身携带两部手机，一部是 工作手机，一部是太太专线，让她们 24 小时都能找到我。 ” 从“兵贼 ” 到“罗先生 ” 在香港影坛，任达华演过的好人 和坏人一样多，角色更是三教九流，色 情片、血腥暴力片、喜剧片、动作片、 爱情片、惊悚片。任达华所演过的电影 题材涉及范围之广，角色之复杂，无人 能敌，堪称“ 百面老戏骨”。这一点，众 巨星如成龙、李连杰、梁朝伟、周润发 等，亦难以比肩。任达华是真正的从小 人物演起，从配角演起，从鸭，变态， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 14 黑老大等演起，体验过酸甜苦辣咸的戏 剧人生。这样能成为影帝的恐怕只有黄 秋生了。 2000 年以后，尤其是和杜琪峰的 银河映像合作之后，任达华开始逐渐形 成自己的表演风格：优雅、绅士、冷酷、 犀利、凶狠、亦正亦邪。无论演正气凛 然的警察还是阴险凶悍的匪徒或变态狂 徒，任达华的表现都淋漓尽致。 在他塑造的众多角色中，警察是 他永远热爱的角色。 “我喜欢拍警察。这 是我最熟悉的角色，因为我爸爸，我对 警察始终有种情怀。 ”任达华说，他曾经 理想能和父亲一样成为一名警察，所以 当年拍摄PTU让他感到十分亲切， 因能在戏中实现自己儿时的梦想而感到 欣慰。 戏中的一个细节，牵引出他童年 温暖的回忆：“ 我记得爸爸做警察时， 很注意身上的装备和服装，他每天都要 擦鞋才出门。他一边涂鞋油，一边用打 火机烘鞋油，这个动作我印象深刻。在 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 15 PTU中我也有一段擦皮鞋的环节， 这个细节能显示出警察对职业的热忱和 对身份的尊重。 ” “警察 ”给他带来了感动，也给他 带来了好运。凭借PTU ，他首夺 2004 年第九届金紫荆奖“最佳男主角” ， 拿到第一个“ 影帝” ，也打破了与奖无缘 的宿命。 除了警察，黑社会也是他擅长饰 演的角色。在杜琪峰黑社会里，任 达华饰演的乐少“ 深沉内敛、隐忍残暴 ”， 成为他从影以来演技的巅峰。他形容自 己在黑社会中的角色时说：“是那 种带着笑容把你打死了，还对着你的尸 体说好可惜的人。 ”为了让自己的外型更 有说服力，拍摄期间一年内，任达华故 意吃胖五公斤，还把两鬓染成白色， “染 到头皮都肿啦！” 黑社会在国外参展时得到一 致好评，鬼才导演昆汀塔伦提诺也称赞 “这是你最棒的一部作品 ”。虽然他凭借 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 16 此片再次获