“错”比“对”更耐人寻味

“错”比“对”更耐人寻味 “纠错”比“解题”更发人深省 基于等腰三角形教学行程中的思考与认识 浙江省宁波外国语学校 郑瑄 315000 梁启超先生在成败一文1中写道：天下岂有终身不经失败之人哉！做过不如错 过，错过不如错得多。失败者实天惠之学校也，能受此天惠与否，则亦视其人也已矣。 来自学生抑或教师的错误，都是一个非常值得珍视的资源2 。因为，由着这个错误 的源头追索、反思，不仅能走出误区，而且还会另有一番风景豁然眼前，别有洞天。这是 最为难得的。 笔者在等腰三角形的教学行程中，碰到一些颇有意味的教学案例，在咀嚼、回味 的同时，更有一些教学感悟和思想油然而生，如今撰文，以飨同仁。 1 一个定理的证明 1.1 来自教师的信息 笔者曾经作为评委参与了一场高级职称的评定。在说课这个环节中，参评教师拿到的 题目是：就等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么 这个三角形是等腰 三角形，进行教学片断的说课。 根据当时的纪录：100%的教师都指出，定理的证明是本节课的重点和难点，并且都引 导学生添加辅助线（如图）：作A 的平分线（教科书上的方法） ；约 70%的教师指出， 还有其它的辅助线添法，比如说作 BC 边上的高线；约 4%的教师指出，辅助线的添法可以 作A 的平分线，也可以作 BC 边上的高线，但是作 BC 边上的中线是不行的；其中有一个 教师指出，可以不添辅助线证明此定理。 1.2 课堂教学中学生的动态及其教学的导向 笔者在本节课教学的开课伊始，让全体同学动手画一个等 腰三角形，于是，各种各样的画法呈现在全班同学的面前。当 然，判定定理所昭示的方法也在其中。那么，画法的正确性必 然是需要探究和论证的。怎么证明呢？ 生甲：可以作ABC 的角平分线 AD，然后利用 AAS 判定 AB、AC 所在的两个三角形全等. 师：OK！（此举得到了所有同学的认可，而且，受之启发跃 跃欲试者纷然.） 生乙：还可以作 BC 边上的高线，也是利用 AAS 判定 AB、AC 所在的两个三角形全等. 图 师：很好！还有其它方法吗？ 生丙（急切地）：作 BC 边上的中线. 师:请同学们将丙同学提供的证明思路叙写出来. (很快的，有一股强烈的声音在涌 动：不行，三角形的全等不能得证！因为现有的条件是 两边和其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等.) 2 众生（嚷嚷）：老师，作中线不行啊！ 师：作中线果然不行吗？作中线一定不行吗？作中线绝 对不行吗？ （空气有些许沉寂，众生开始思索，继而有议论声起 ） 生丁（沉吟地）：我认为作中线也是可以的，只是略麻 烦一些，需要证明两次全等 生戊（生丁的同座站起来补充）：经过点 D 作 AB、AC 边 上的垂线， （如图）垂足为点 E、F，先利用 AAS 证明 DEBDFC，再利用 HL 证明AEDAFD. 图 生己：还可以倍长中线来证明. （如图）倍长中线 AD 至 G，连结 CG，容易证得 ABDGCD，接下来只要证明ADCGDC 即可，过点 D 作 AC、GC 边上的垂线，垂足为 点E、F，先利用角平分线的性质证明 DE=DF，再分别利用 HL 证明DEBDFC、 AEDAFD. 生庚：我认为，事实上戊同学和己同学的思路是一致的。 （众生饶有兴味地看着、听着、思考着） 师：各位同学，事实上，不添辅助线也可以证明 （如图） （众生期盼.） 师：在ABC 与ACB 中， A=A BC=CB B=C ABCACB（AAS） AB=AC（全等三角形对应边相等） ABC 是等腰三角形 （哇！It is very interesting !） 图 图 2 “三线合一”引发的谬误和感悟 2.1 一个经典的错误 已知：如图，在ABC 中，D 为 BC 中点，AD 平分BAC 求证：ADBC 证明：AD 为 BC 边上的中线，AD 平分BAC（已知） ADBC（等腰三角形三线合一） 2.2 探究其实质 图 中国古典哲学的一个根本观念“天人合一” ，那是一种完美的境界。笔者以为等腰 三角形的“三线合一” ，那也是一种十分优美的意境。 事实上，学生们对于等腰三角形“三线合一”这种极其直观、对称的美感是认同而接 受的，而且，它可以替代以往冗长的全等证明，充分彰显了数学的简洁之美。 但是，不可否认的是，学生们对于等腰三角形“三线合一”的理解，有时会陷入一种 混乱状态，原因就是对其实质的理解产生模糊， “三线合一”的前提条件，必须是等腰三角 形。 我们不妨提出一个新的命题： 在ABC 中，条件：（1）AB=AC（等腰三角形） 3 （2）AD 平分 BC （3）AD 平分BAC （4）ADBC 其中任意两个成立，必然能推出另两个成立。 于是，就有下列六种情形： （1） （2） （3） （4） （1） （3） （2） （4） （1） （4） （2） （3） （2） （3） （1） （4） （2） （4） （1） （3） （3） （4） （1） （2） 前三种,就是等腰三角形“三线合一”的数学语言描述，其证明一蹴而就，后两种的证 明也十分简捷，只有第 4 种，也就是 2.1 中提到的，它的证明略显冗繁，但是,也可以归结 到 1.2 中提到的证明方法，得以解决。当然，简洁的证明还可以利用面积来证明(图) ： 因为点 D 是 BC 的中点，所以 ABD 与ACD 的面积相等，而 ABD 与ACD 的面积相等还 可以表示成 ABED=ACDF.因而若能证得 ED=DF,命题自然得证. 对问题的实质进行探究并使其清晰、明朗，那么解题的思路也必然清晰、准确，错误 自然消失了。 3 让人怦然心动的“错” 3.1 我们没有算错！ 学生们捧着他们的作业本来找教师，他们对于教师的批改不以为然，他们坚持他们没 有算错，他们的答案是正确的。 题目：如图，在 RtABC 中， BAC=90AB=AC，AD 是斜边 BC 上的中 线，AD=5cm,求 ABC 的面积. 学生的解答是这样的： 解： 于是，教师向学生提了这样几个问题： 图 （1）请问：如何求三角形的面积？三角形的面积公式是怎样的？ （2）再问：本题条件中有否给出三角形的底边长以及底边上的高线长呢？ （3）追问：既然底边长和底边上的高线长都未知，那么，首当其冲要解决的问题是求 出它们的长！你求了吗？ （4）我们在数学学习、数学解题过程中，十分强调八个字：言必有据、算必有理，你 的算式有根有据吗？ 3.2 为何总是要错？ 题组如下： （1）如图 ,直线 a、b 相交于点 B，点 A 是直线 a 上的一定点，在直线 b 上寻找一点 C， 使 ABC 是等腰三角形， 请画出所有的等腰三角形 . （2）如图 ,在等 边ABC 所在平面内求一点 P,使PAB、PBC 、PAC 都是等腰三角 形，问具有这样性质的点 P 共有几个？ （3）如图 ，已知 RtABC 中，C=90 ，A=30，在直 线 BC 或 AC 上取一点 P，使 PAB 为 等腰三角形，则符合条件的点 P 有多少个？请找出来 . 4 图 图 图 学生们诉说这类题目太容易错，不是找多了，就 是找少了，总是要错！每次解题都不能安心、踏实。 问题的关键在哪里？ 笔者以为，最关键的是一种理性的数学思考方式， 而不是散漫的寻找。 首先，为了不重不漏，必须分类。宏观上分两大 类：定线段为所作等腰三角形的底边或腰；微观上定 线段为腰时，以定线段的两个端点分别为等腰三角形 的顶点再分类。 其次，注意有重合的点的情形。 以（3）为例（如图）： 首先，以定线段 AB 为等腰三角形的底边，得到两个点 P1、P2；然后，以定线段 AB 为 腰且点 A 为等腰三 图 角形的顶点，得到三个点 P3、P4、P5，最后，以定线段 AB 为腰且点 B 为等腰三角形的顶点， 得到三个点 P6、P7、P8，由于条件中出现的正三角形的特殊性，其中的点 P2、P4、P8 实质 上是重合的同一个点.所以，符合条件的点 P 有 6 个. 3.3 意想不到的错！ 题目：正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性。请你用几种不同的分 割方法，将图中的正三角形分 别分割成四个等腰三角形（在 图中画出分割线，并 标出必要的 角的度数）. 学生们的分割方法可谓是精彩纷呈，作为教师也不得不佩服孩子们灵动、聪慧的动手 能力。课堂上，学生们每一种方法的呈现，每每能获得全体同学的称道和掌声。黑板上展 示了以下几种分割法： 法（1） 法（2） 法（3） 法（4） 法（5） 令同学们感叹的当然是后面的几种方法，因为同学们觉得能想出这样的分割确实不容 易。但是，就在同学们感慨自己为何没有想到此种方法的时候，教师说了一句话：方法 （5）是有问题的！这令所有的人都吃了一惊！ 于是，同学们不再是观赏和仰视的眼神，而是判研和直视的眼光。基于这种探究和质 疑的心理状态，问题果然很清晰地呈现在我们所有人的面前（法 5）：由于 PAB=PBA=40， 5 PAC=PCA=20，所以点 P 必然是线段 AB、AC 的中垂线的交点，于是点 P 也必然落在线 段 BC 的中垂线上，可是PBC=2040=PCB，出现了矛盾。那么，问题在哪里呢？ 让我们重新动手再画一次： 我们看到，正三角形确实 能够分割成四个等腰三角形， 但是，此时内部还留有一个空隙：一个内角分别为 40、60、80的三角形。 4 一种新的精神的培植 数学教师的哲学思考3：数学教学想要给学生什么？ 郑毓信教授在他的回顾、总结与展望一文4中写道：我们在数学课上所希望学 生养成的乃是一种新的精神：这并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神；一种新的 认识方式：客观的、定量的研究；一种新的追求：超越现象以认识隐藏于背后的本质（是 什么？为什么？）；一种不同的美感：数学美（罗素形容为“冷而严肃的美”）；一种深 层次的快乐：由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感：超越世俗的平和； 一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持 谁都可能在数学学习中出错，包括教师。古话说：知错就改，善莫大焉。笔者以为， 知错就改、逢错必纠固然是坚定不移的方向，但是，更重要的是，如若师生能将错误的经 历作为一份潜在的宝贵的资源、广