2017挑战中考数学压轴试题复习（第十版）3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

3 1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 课前导学 计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题 函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标 还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律 代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数 去 y，得到关于 x 的一元二次方程，然后根据 确定交点的个数 我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法 如图 1，已知直线 y x 1 与 x 轴交于点 A，抛物线 y 2x 3 与直线 y x 1 交于A、 B 两点，求点 B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点 A 的坐标，另一个解计算点的坐标 几何法是这样的 ： 设 直线 y 轴分别交于 C，那么 1 作 x 轴于 E，那么 1设 B(x, 2x 3)，于是 2 2311 请注意，这个分式的分子因式分解后， ( 1)( 3) 11这个分式能不能约分，为什么？ 因为 x 1 的几何意义是点 A，由于点 B 与点 A 不重合，所以 x 1，因此约分以后就是 x 3 1 这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便 图 1 例 1 2014 年湖南省长沙市中考第 25 题 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫 “ 梦之点 ” ，例如点（ 1,1），( 2, 2)， 22（ ， ） ， ， 都是 “ 梦 之点 ” ，显然 “ 梦之点 ” 有无数个 （ 1）若点 P(2, m)是反比例函数 n 为常数， n 0）的图 象 上的 “ 梦之点 ” ，求这个反比例函数的解析式； （ 2）函数 y 3s 1（ k、 s 为常数）的图 象 上存在 “ 梦之点 ” 吗？若存在，请求出“ 梦之点 ” 的坐标，若不存在，说明理由； （ 3）若二次函数 y 1（ a、 b 是常数， a 0）的图 象 上存在两个 “ 梦之点 ”A( B( 且满足 2 2， | 2，令2 1572 48t b b ，试求 t 的取值范围 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 长沙 25”，拖动 y 轴正半轴上表示实数 a 的点，可以体验到，A、 B 两点位于 y 轴同侧， A、 B 两点间的水平距离、竖直距离都是 2，并且对于同一个 a，有两个对应的 b 和 b，但是 t 随 b、 t 随 b变化时对应的 t 的值保持相等 思路点拨 1 “ 梦之点 ”都在直线 y x 上 2第（ 2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况 3第（ 3）题放弃了也是明智的选择求 t 关于 b 的二次函数的最值， b 的取值范围由“ 梦之点 ” 、 2 2 和 | 2 三个 条件决定 ， 而且 2 2 还要分两段讨论 图文解析 （ 1） 因为点 P(2, m)是 “ 梦之点 ” ，所以 P(2, 2)所以 4 （ 2） “ 梦之点 ”一定在直线 y x 上，直线 y 3s 1 与直线 y x 的位置关系有重合、平行、相交 图 1 图 2 图 3 如图 1，当直线 y 3s 1 与直线 y x 重合时，有无数个“ 梦之点 ”此时 k 13，s 1 如图 2，当直线 y 3s 1 与直线 y x 平行时，没有“ 梦之点 ”此时 k 13， s 1 如图 3，当直线 y 3s 1 与直线 y x 相交时，有 1 个“ 梦之点 ” 此时 k 13，“ 梦之点 ” 的坐标为 11( , )3 1 3 1 （ 3） 因为 A(x1, B(x2,点是抛物线与直线 y x 的交点，联立 y 1 和 y x，消去 y，整理，得 (b 1)x 1 0 所以 1a 0所以 A、 B 两点在 y 轴的同侧 如图 4，由 | 2，可知 A、 B 两点间的水平距离、竖直距离都是 2 已知 2 2，我们分两种情况来探求 a 的取值范围： 当 A、 B 两点在 y 轴右侧时， 0 2， 2 4所以 0 8 当 A、 B 两点在 y 轴左侧时， 2 0， 4 2所以 0 8 综合、，不论 0 2 或 2 0，都有 0 8 所以 0 1a 8所以 a 18 由 (b 1)x 1 0，得 1 1a 由 | 2，得 ( 4所以 ( 44 所以 22(1 ) 4 4整理，得 22(1 ) 4 4b a a 所以 2 157248t b b 2 109( 1)48b 2 1094448 2 61(2 1)48a 如图 5，这条抛物线的开口向上， 对称轴是直线 12a，在对称轴右侧， t 随 a 的增大而增大因此当 18a时， t 取得最小值， t 21 61( 1)4 48 176 所以 t 的取值范围是 t 176 图 4 图 5 考点伸展 第（ 3）题我们也可以这样来讨论： 一方面，由 | 2，得 ( 4所以 ( 44 所以 22(1 ) 4 4整理，得 22(1 ) 4 4b a a 另 一方面，由 f(2) 0， f( 2) 0，得 f(2)f( 2) 0 所以 4 2 ( 1 ) 1 4 2 ( 1 ) 1 a b a b 0 所以 22( 4 1 ) 4 ( 1 ) 22( 4 1 ) 4 ( 4 4 )a a a 18a 0所以 a 18 例 2 2014 年湖南省怀化市中考第 23 题 设 m 是不小于 1 的实数，使得关于 x 的方程 2(m 2)x 3m 3 0 有两个不相等的实数根 （ 1）若12111，求 132m 的值； （ 2）求21211m x m x 的最大值 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 怀化 23”，拖动 x 轴上表示实数 m 的点运动，可以体验到，当 m 小于 1 时，抛物线与 x 轴有两点交点 A、 B观察点 D 随 m 运动变化的图像，可以体验到，当 m 1 时，点 D 到达最高点 思路点拨 1先确定 m 的取值范围，由两个条件决定 2由根与系 数的关系，把第（ 1）题的已知条件转化为关于 m 的方程 3第（ 2）题首先是繁琐的式子变形，把 m 提取出来，可以使得过程简便一点 图文解析 （ 1） 因为方程 2(m 2)x 3m 3 0 有两个不相等的实数根 ，所以 0 由 4(m 2)2 4(3m 3) 4m 4 0，得 m 1 又已知 m 是不小于 1 的实数，所以 1 m 1 由根与系数的关系，得12 2 ( 2 ) 2 4x x m m ， 212 33x x m m 若12111， 那么 1 2 1 2x x x x 所以 22 4 3 3m m m 整理，得 2 10 解得 152m ， 或 1+ 52m （舍去） 所以 3 2 3 (1 5 ) 5 2m 所以 132m 152 52 （ 2）21211m x m x 12111 2 2 112( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )x x x 1 2 1 21 2 1 2( ) 21 ( )x x x x x x 22( 2 4 ) 2 ( 3 3 )1 ( 2 4 ) 3 3m m mm m m 222 + 4 2 22 ( 1 )( 1 ) 222 2( 1) 3m 所以当 m 1 时，它有最大值，最大值为 3（如图 1 所示） 图 1 考点伸展 当 m 变化时，抛物线 y 2(m 2)x 3m 3 0 的顶点 的 运动轨迹是什么 ？ 因为抛物线的对称轴是直线 x (m 2)，所以抛物线的顶点的纵坐标 y (m 2)2 2(m 2)2 3m 3 m 1 因为 x y (m 2) m 1 1 为定值，所以 y x 1 也就是说，抛物线的顶点 (x, y)的运动轨迹是直线 y x 1（如图 2 所示） 图 2 例 3 2014 年湖南省湘潭市中考第 26 题 如图 1，已知二次函数 y c 的对称轴为 x 2，且经过原点，直线 解析式为 y 4，直线 y 轴交于点 A，与二次函数的图象交于 B、 C 两点 （ 1）求二次函数解析式； （ 2）若 1= 3，求 k 的值 ； （ 3）若以 直径的圆经过原点，求 k 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 湘潭 26”，拖动点 C 在抛物线上运动，可以体验到，当以直径的圆经过原点时， 思路点拨 1第（ 2）题先将面积比转化为 比，进而转化为 B、 C 两点的横坐标的比 2第（ 2）题可以用直线的解析式表示 B、 C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示 B、 C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组 3第（ 3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到 B、 C 两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程 图文解析 （ 1）因为原点 O 关于直线 x 2 的对称点为 (4, 0)，所以抛物线 y c 的解析式为 y x(x 4) 4x （ 2）如图 2，因为 1=3A O C，所以 1=4设 m，那么 4m 将点 B(m, 4)、 C(4m, 44)分别代入 y x(x 4)，得 4 ( 4 ) ,4 4 4 ( 4 4 ) .k m m mk m m m 4，整理 ，得 1所以 m 1 将 m 1 代入，得 k 4 3解得 k 1 此时点 C 落在 x 轴上（如图 3） （ 3）因为 B、 C 是直线 y 4 与抛物线的交点，设 B(x1,4)， C(x2,4) 联立 y 4x 和 y 4，消去 y，整理，得 (k 4)x 4 0 所以 4 k， 4 如图 5，若以 直径的圆经过原点，那么 90 作 y 轴， y 轴，垂足分别为 M、 N，那么 根据 C，得12( 4 )4x k xk x x 所以 21 2 1 2 1 2 1 2( 4 ) ( 4 ) 4 ( ) 1 6 x x k x k x k x x k x x 将 4 k， 4 代入，得 24 4 4 ( 4 ) 1 6 k k k 解得 54k 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（ 2）题也可以先用抛物线的解析式设点 B、 C 的坐标，再代入直线的解析式列方程组 将点 B(m, 4m)、 C(4m, 1616m)分别代入 y 4，得 224 4 ,1 6 1 6 4 4 .m m k mm m k m 4，得 1212所以 m 1 将 m 1 代入，得 3 k 4解得 k 1 例 4 2014 年湖南省株洲市中考第 24 题 已知抛物线2 52( 2 ) 4ky x k x 和直线 2( 1 ) ( 1 )y k x k （ 1）求证：无论 k 取何实数值，抛物线与 x 轴有两个不同的交点； （ 2）抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，直线与 x 轴交于 点 C，设 A、 B、 C 三点的横坐标分别是 x1x2最大值； （ 3）如果抛物线与 x 轴的两个交点 A、 B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、 E，直线 直线 点 G（如图 1），且E B，求抛物线的解析式 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 株洲 24”，拖动 y 轴上表示实数 k 的点运动，可以体验到，抛物线与 x 轴总是有两个交点观察 x1x2 k 变化的函数图像，可以体验到， x1x2二次函数还可以体验到 ，存在一个正数 k，使得 行 思路点拨 1两个解析式像庞然大物，其实第（ 1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗 2第（ 2）题 x1x2最小值由哪个自变量决定呢？当然是 k 了所以先求 x1x2于 k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了 x1根与系数的关系得到， 是点 3第（ 3）题的等积式转化为比例式，就得到 此根据 结合根与系数的关系化简还是走走看，柳暗花明 图文解析 （ 1）因为 2 2 2( 5 2 ) 1 7( 2 ) 4 2 ( )4 2 4kk k k k 0，所以无论 k 取何实数值，抛物线与 x 轴有两个不同的交点 （ 2） 由 2( 1 ) ( 1 )y k x k ，得 C( (k 1), 0)所以 (k 1) 由根与系数的关系，得 x1(5 2)4k 所以 x1x21 ( 5 2 ) ( 1)4 21 ( 5 7 2 )4 因此 710x当时， x1x2 得最大值，最大值 1 4 9 4 9( 5 2 )4 1 0 0 1 0 980 （ 3）如图 2，由 E B，得 E 所以 所以 B，即 212( 5 2 )( 1 )4 所以 221 2 2( 5 2 )( 1 )4x x所以 222( 1)1 k x 所以 k 1，或 k 1（舍） 又因为 k 2，所以 1，即 A(1,