漫谈椭圆焦点三角形的几个重要规律的运用

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 漫谈椭圆焦点三角形的几个重要规 律的运用 解析几何中的圆锥曲线问题， 历来是学习和高考中的重点内容，更是 学生学习过程中倍感困惑的内容。其实， 我们只要能多关注知识间的内在联系， 并深入探究，就会发现很多有趣且很实 用的规律或结论。这些规律或结论，不 但可以让学习过程变得更加生动，充满 数学美感，更会让学习者事半功倍，其 乐无穷。 中国论文网 /9/view-12904232.htm 下面就大家比较关注的焦点三 角形的几个重要规律，作几点探讨。 定义：椭圆上异于长轴端点的 点与椭圆两焦点所构成的三角形称为椭 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 圆的焦点三角形。其中反映出来的一些 规律有助于我们提高解答问题的速度。 我们设椭圆+=1（a b0）中， 焦点分别为 F1（-c ，0） 、 F2（c，0） ， 点 P（x0，y0 ）是椭圆上任意一点。 定理 1：焦点三角形三边的长度 是 PF1=a+ex0，PF2=a-ex0 ，F1F2=2c 。 证明：由于+=1，故 y02=b2- x02，由两点间的距离公式得 PF1=x0+a 又由于 x0a，0- c+ax0+ac+a，故 PF1=a+ex0。又 PF2=2a-PF1=a-ex0 注：PF1=a+ex0，PF2=a-ex0 即 焦点在 x 轴上的椭圆的焦半径，同理可 写出焦点在 y 轴上的焦半径。 例 1已知过椭圆+=1 的左焦点 F 且斜率为 1 的直线和椭圆交于 M、N 两点，求线段 MN 的长。 分析：设 M（x1，y1） ， N（x2，y2） ，由定理 1 得 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 |MN|=|MF|+|NF|=a+ex1+a+ex2=2a+e（x1 +x2） ，写出直线方程后代入椭圆方程消 y，用韦达定理整体代入即可解决问题。 解析：依题意 F（ -1,0） ，故直 线方程为 y=x+1，代入椭圆方程得 7x2+8x-8=0，椭圆离心率为，故得 |MN|=22+（-）=。 评注：对于椭圆焦点弦长的计 算，都可以利用焦半径公式计算求得， 比通用弦长公式容易得多。读者可以细 心地体会两者的差异。 定理 2：如果F1PF2 中， F1PF2=，则焦点三角形的面积 S FPF=b2tan。 证明：记 PF1=r1，PF2=r2 ，由 椭圆的第一定义得 r1+r2=2a，（r1+r2）2+4a2。 在 F1PF2 中，由余弦定理得： r12+r22-2r1r2cos=（2c）2 配方得：（r1+r2）2-2r1r2- -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 2r1r2cos=4c2。即 4a2-2r1r2（1+cos） =4c2 r1r2= 由任意三角形的面积公式得： SFPF=r1r2sin=b2=b2 =b2tan。 同理可证，在椭圆 +=1（ab0）中，公式仍然成立。 例 2若 P 是椭圆 +=1 上的一点， F1、F2 是其焦点，且F1PF2=60，求 F1PF2 的面积。 分析：已知其本量 b2=25 及焦 点角F1PF2=60可直接利用 S FPF=b2tan 求解。 解析：在椭圆+=1 中，b2=25， 而 =60，S FPF=b2tan=25tan30=。 评注：若不用公式 S FPF=b2tan 求解，过程如下：在椭圆 +=1 中，a=8，b=5，c=，而 =60。记 PF1=r1，PF2=r2。点 P 在椭圆上。 由椭圆的第一定义得：r1+r2=2a=16。在 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 F1PF2 中，由余弦定理得：r12+r22- 2r1r2cos=（2c）2。 配方，得：（r1+r2）2- 3r1r2=156。 256-3r1r2=156,从而 r1r2=。 SFPF=r1r2sin=。 两种解法，哪一个较好，读者 应有自己的判断了。 例 3.已知 P 是椭圆 +=1 上的点， F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，若 =，则F1PF2 的面积为 _。 分析：利用向量数量积公式 =cos 的变形公 式不难得到 cosF1PF2=，从而求 F1PF2，从而进一步利用公式 S FPF=b2tan 求得面积。 解析：设F1PF2=，则 cos=，=60。 SFPF=b2tan=9tan30=3。 评注：高考命题的原则最重要 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 的一点就是在知识的交汇处命题，以达 到同时考查考生处理问题的综合能力， 如果能借助一些常用的结论，无疑能在 一定程度上提高效率。读者可偿试一下 解答下面的问题： 问题：已知椭圆的中心在原点， F1、F2 为左右焦点，P 为椭圆上一点， 且=-，F1PF2 的面积是，准线方程为 x=，求椭圆的标准方程。 定理 3：已知椭圆方程为 +=1（ab0）左右两焦点分别为 F1，F2，设焦点三角形 PF1F2，若 F1PF2 最大，则点 P 为椭圆短轴的端 点。 证明：设 P（x0， y0） ，由焦半 径公式可知：PF1=a+ex0，PF2=a-ex0 。 在 F1PF2 中，cos= =-1 =-1=-1 -ax0a ，x02a2，当且仅 当 x0=0 时，cos 最小，而 cos在 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 0， 是减函数，此时 最大。 例 4若椭圆+=1（a b0） 存在点 P，使 =0，则椭圆离心 率的取值范围是_。 分析：=0，即 F1PF2=90，由定理 2 及定理 3 相比 较可以得到一个关于 b、c 的不等式， 并由此求解即可。 解析：当F1PF2=90时， SFPF=b2tan=b22cy0cb（y0 为 P 点的丛坐标） 。 即 bc，即 b2c2，（a-c） 2c2，进而 e2，故 e,1 。 点评：以椭圆两焦点为直径的 圆并不是和椭圆都存在焦点，只有在离 异心率界于,1时才有公共点。 定理 4:已知椭圆方程为 +=1（ab0）左右两焦点分别为 F1，F2，设焦点三角形 PF1F2 中 F1PF2=，则 cos1-2e2。 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 证明：设 PF1=r1，PF2=r2, ，则 在F1PF2 中，由余弦定理得： cos=-1-1=-1=1-2e2 命题得证。 例 5.已知椭圆+=1（a b0） 左右两焦点分别为 F1，F2，若椭圆上 存在一点 P，使得 F1PF2=60 ，求椭 圆的离心率 e 的取值范围。 略解：由椭圆焦点三角形性质 可知 cos601-2e2即1-2e2, 于是得到 e 的取值范围是，1） 。 定理 5：已知椭圆方程为 +=1（ab0）左右两焦点分别为 F1，F2，设焦点三角形 PF1F2，令 PF1F2=， PF2F1=，则椭圆的离 心率 e=。 证明：由正弦定理得：=，由 等比性质得：=，而=，=，e=。 注：如果读者对三角恒等变形 中的和差化积公式较熟的话，这个结论 可进一步化为 e=。利用这个结论也可 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 以在已知焦点三角形两内角情况下方便 地求出离心率。 例 6.已知椭圆+=1（a b0） 上一点 P，使得 PF1F2=30 ， PF2F1=60，则该椭圆的离心率为 _. 略解：e=-1. 例 7.已知椭圆的焦点是 F1（1，0） 、F2 （1，0） ，P 为椭圆上 一点，且F1F2是PF1 和PF2的等差中项。 （1）求椭圆的方程； （2）若点 P 在第三象限，且 PF1F2120 ，求 tanF1PF2。 分析：（1）可由等差中项性质 和椭圆第一定义求出； （2）问可设F1PF2，得 PF2F160 ，利用 e=建立方程 求得 tanF1PF2。 解析：（1）由题设 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 10 2F1F2PF1 PF2 ，2a ，又 2c 2，b 椭圆的方程为+1。 （2）设F1PF2，则 PF2F160 ，椭圆的离心率 e=， 则=，整理得：5sin （1cos ） 。 =，故 tan=tanF1PF2tan=。 评述：本题中的第二问，对