回归系数的假设检验(7)

回归系数的假设检验 前面所求得的回归方程是否成立，即 X、Y 是否有直 线关系，是回归分析 要考虑的首要问题。我们知道即使 X、Y 的总体回归 系数为零，由于抽样误 差，其样 本回归系数 b 也不一定 为零。因此需作是否为零的假设检验，可用 方差分析或 t 检验。 .P(x, y) Y Y Y - -Y X 应变量 Y 的平方和划分示意图 任一点 P 的纵坐标被回归直线与均数 截成三段： 第一段 ，表示实测点 P 与回归直线的纵向距离，即 实际值 Y 与估计)(Y 值 之差，称为剩余或残差。 第二段 ，即 Y 估计值 与均数 之差，它与回 归系数的大小有关。 |b|)(Y 值越大， 也越大，反之亦然。当 b=0 时， 亦为零，则 =Y )()(Y ,也就是回归直线不能使残差 减小。)( )( 第三段 ，是应变量 Y 的均数。 依变量 y 的总变 异 由 y 与 x间存在直线关系所引起的变异 与)( )(y 偏差 两部分构成，即)( )()()(yy 上式两端平方，然后对所有的 n 点求和，则有 2)(y2)()(y )(yy 由于 ，所以)(xbyxay )(xb 于是 )( yxb )()( xbyx )(b =0 所以有 2)(y22)()(yy 反映了 y 的总变异程度，称 为 y 的总平方和，记为 ；2)(y yS 反映了由于 y 与 x间存在直线关系所引起的 y 的变异程度，称为回归 平方和，记为 ； 反映了除 y 与 x 存在直 线关系以外的原因，包括随RS2)( 机误差所引起的 y 的变异程度，称为离回归平方和或剩余平方和，记为 SSr。总 变异 SS 总 是由回 归关系引起的 SS 回 和与回归无关的其它各种因素产生的 SS 剩 所构成。若回归直线与各实测 点十分吻合， 则 SS 回 将明显大于 SS 剩 ，当全部实 测值都在回归直线上时，SS 总 =SS 回 ，SS 剩 =0，反之，若回归直线拟合不好，SS 回 相对较小，SS 剩 则相对增大。可见 SS 回 /SS 剩 反映了回 归的效果。 上式又可表示为： rRySS 这表明 y 的总 平方和划分 为回归平方和与离回归平方和两部分。与此相对应， y 的总自由度 也划分为 回归自由度 与离回归 自由度 两部分，即ydf Rdf rdf rRf 在直线回归分析中，回归自由度等于自变量的个数，即 ；y 的总自由度1Rdf ；离回 归自由度 。于是：1ndfy 2ndfr 离回归均方 ，回归均方rrfSM/ RRdfSM/ (1)、方差分析法： 具体计算如下： 1、建立无效假设： H0 ：= 0， 即胆固醇与年龄之间无直线关系 H1 ：0， 即胆固醇与年龄之间有直线关系 = 0.05 2、计 算 SS 总 =88.8081 df 总 =19 SS 回 =b l xy =0.141 (453.7385)=63.9771 df 回 =1 SS 剩 = SS 总 SS 回 =88.8081-63.9771=24.8310 df 剩 =18 方差分析结果表 变异来源 SS df MS F 总变异 88.8081 19 回归 63.9771 1 63.9771 46.377 剩余 24.8310 18 1.3795 3、查 表确定 p 值 F0.05(1,18) = 4.41 , F0.01(1,18) = 8.29 P0.01 故按 = 0.05 水准拒 绝无效假设，接受备择假设。 4、结论 ：可以 认为高血脂病人治疗前胆固醇与年龄由直线关系。 （2）、t 检验 基本思想与样本均数与总体均数比较的 t 检验类似，而检验统计量 t 值的计 算按下式完成： df = n-2 xyblS t/0 本例 n =20，SS 剩 =1.3795 , lxx=3216.95, b=0.141 1745.2083.yxS.9.36b812.07.4t 按 df = 18 ，查 t 界值表，t 0.05(18) =2.101, t0.01(18) =2.878 ，按=0.05 水准，拒 绝 H0， 接受 H1 ， 结论同上。 直线回归方程的应用 统计预测： 1、总 体回归 系数 的区间估计 根据参数估计原理，回归系数 b 是总体回归系数 的点估计，正像样本均数 不一定恰好等于总体均数 一样，需要 对总体回归系数 进行区间估计。X ),(2()2( bnbnStt 式中 Sb为回归系数的标准 误；n-2 为自由度。 回归方程为 xy14.06. 根据资料的样本回归系数 b=0.141 估计总体回归系数 的 95%可信区间。 已知 b=0.141, sb=0.0207, t0.05(18)=2.101,1820 则总体回归系数 的 95%可信区间为 (0.141-2.101 0.0207, 0.141+2.101 0.0207)=(0.0975,0.1977) 2、 的区 间 估计Y 是指总体中自变量 X为某一定值 X0时， 的总体均数。对 的估计可 YY 计算可信区间： ),(2()2( YnYnStt 式中 即 的标准误，可按下式计算：YS 20. )(1XnSXY 式中 SY.X为剩余标准差。当 时， ，此时，可信区间的范0 nSXY/. 围最窄， 预测精度相对较高。 试计算当 X0=50 岁时， 的 95%可信区间。Y 已知 ， , sy.x=1.17545.3995.3216)( =2.661+0.141 50 = 9.71Y)/(3418.095.3216)0(175. 2 LmolS t0.05(18)=2.101,820 当 X0=50 时， 的 95%可信区间为Y （9.71-2.101 0.3418,9.71+2.101 0.3418）= ( 8.99, 10.43) Lmol/ 即当年龄为 50 岁时，估计其胆固醇的的总体均数 在(8.99, 10.43) Y 范围内的可能性为 95%。Lmol/ 2030405060年 龄4.6.08.0 10.12.0胆固醇 R Sq线 性 = 0.721 3、个体 Y 值的容许区间 总体中，X 为一定值时，个体 Y 值的波动范围，可按下式求出： ),(2()2(nnStt 式中 SY为 X 取一定值时，个体 Y 值的标准差，其 计算公式为 20. )(1XnY 试计算当 X0=50 时，个体 Y 值的 95%容许区间。 已知 =9.71，t0.05(18)=2.101 ，SY.X=1.175 230.195.326)40(175. YS 故当 X0=50 岁时，个体 Y 值的 95%容许区间为： （9.71-2.101 1.2230, 9.71+2.101 1.2230）=(7.14, 12.28) Lmol/ 即当年龄为 50 岁时，总体中有 95%的个体 Y 值波动在(7.14 ，12.28) 的范围内。Lmol/ 2030405060年 龄4.6.08.0 10.12.0胆固醇 R Sq线 性 = 0.721 用回归方程进行统计控制 控制是指党要求 Y 值在一定的范围内波动时，如何通过控制 X 的范围 来实现统计控制的目标, 所以统计控制是利用回归方程进行的逆估计。如： 为使一名糖尿病人的血糖维持在正常范围（4.44 6.66mol/L），如何控制血 中胰岛素水平？这可以对回归的逆运算来实现。 例如：资料已建立了有胰岛素估计血糖平均水平的直线回归方程，问： 欲将血糖水平控制在正常范围的上限 6.66mol/L 以内时，血中胰岛素应维 持在什么水平上？ 已知 ，取 0.05 ，本例当6324.1,0 458.079.18ysnXY， 个体 y 值取 6.66mol/L 时的 x 值，故取 单侧 t0.05(18)=1.734，所得方程为： xStY 458.062.1.77.6.)18(05. ） （ 由此式解得 x = 32.64(mu/L) , 即如要将一名糖尿病人的血糖控制在 6.66mol/L 以内，胰岛素水平可维持在 32.64(mu/L)以上。 又例：某市环境监测站在某交通点连续测定 30 天，每天定 时采样 3 次，发现 大气中 NO2浓 度 Y(mg/m3)与当时的汽车流量 X(辆 /小时)呈直线关系，根据 90 对观测数据求得回归方程 ，剩余标准差XY01.648.0 。若 NO2 最大容许浓度为 0.15mg/m3,则汽车流量应如何控制？035.xys 设 =0.05。 本例 ，=0.05，=90-2=88，查表得单侧 t0.05(88)=1.6624。