2017年河南省郑州、平顶山高考数学二模试卷（理科）含答案

2017 年高中毕业年级第二次质量预测 数学（理科）试题卷 第卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 且只有一项符合题目要求 . nf n i n N ，则集合 |z z f n 的元素个数为 A. 4 B. 3 C. 2 . 533 , l o g 2 , c o s 2x y z ，则 A. z x y B. y z x C. z y x D.x z y 1 112 3 2 0 1 7 的结果，下面的程序框图中的判断框内可以填入的是 A. 2017n B. 2017n C. 2017n D. 2017n 中俯视图是扇形，则该几何体的体积为 A. 163B. 3C. 29D. 169A. ，函数 s i n 2f x x 都不是偶函数 B. , R,使得 c o s c o s c o s C. 向量 2 , 1 , 1 , 0 ，则 a 在 b 方向上的投影是 2 D.“ 1x ”是“ 1x ”的既 不充分也不必要条件 1,e 上任取实数 a ，在区间 0,2 上任取实数 b ，使函数 2 14f x a x x b 有两个相异零点的概率为 A. 121eB. 141eC. 181eD. 116 1e 1 1 1 22 , , ,n n n na a a n a m a n S 为数列 n 项和，则2017 A. 2017 B. 2017 61 ，则 22z x y 的最小值是 A. 6 B. 5 C. 4 足 3 , 7 , 1 1 , 9A B B C C D D A ，则 D 的值为 A. B. 0 C. 24467 重新排列后得到不同的偶数的个数为 A. 72 B. 120 C. 192 为双曲线 2 2 14y x上任意一点，过 P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为 A,B 则 B 的值为 A. 4 C. 的位置有关 s i n2 c o x ，如果当 0x 时，若函数 y 的下方，则 k 的取值范围是 A. 13,33B. 1 ,3C. 3 ,3D. 33,33第卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为 . 的图象过点 3,9 ，则 8a 的展开式中 x 的系数为 . 1,0P 作直线与抛物线 2 8相交于 A,B 两点，且 2 B ，则点 B 到该抛物线焦点的距离为 . 中， ,C 为边 的中线，且 3，则 的面积的最大值为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 算过程 . 17.（本题满分 12 分） 已知数列 n 项和为 2a，且满足 11 a n n N （ 1）求数列 （ 2）若 3lo g 1，设数列21的前 n 项和为证： 18.（本题满分 12 分）如图，三棱柱1 1 1 B C中，各棱长均相等， , 分别是棱11,C A （ 1）求证： /面1 （ 2）若三棱柱1 1 1 B C为直三棱柱，求直线 平面1 19.（本题满分 12 分）某公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标，有测量结果得到如下所示的频率分布直方图： （ 1）求直方图中 a 的值； （ 2）偶频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标 Z 服从正态分布 22 0 0,1 2 试计算数据落在 的概率； （ 3）设生产成本为 y ，质量指标为 x ，生产成本与质量指标之间满足函数关系0 . 4 , 2 0 50 . 8 8 0 , 2 0 5 ，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试求生产成本的平均值 . 20.（本题满分 12 分） 已知椭圆 2220x y m m ，以椭圆内一点 2,1M 为中点作弦 线段 中垂线与椭圆相交于 C,D 两点； （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）试判断是否存在这样的 m,使得 A,B,C,D 在同一圆上，并说明理由 . 21.（本题满分 12 分）已知函数 2l n , x x x x g x x a x a R （ 1）若 0, 上有相同的单调区间，求 a 的取值范围； （ 2）令 h x f x g x a x a R ，若 （）求 a 的取值范围； （）设两个极值点分别为12,明 : 212x x e. 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。 22.（本题满分 10 分）选修 4数方程与极坐标系 已知直线 l 的极坐标方程为 s i n 03，以极点为坐标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴平面直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 2 c o s （ 为参数） （ 1）求直线 l 被曲线 C 截得的弦长； （ 2）从极点作曲线 C 的弦，求各弦中点的极坐标方程 . 23.（本题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知函数 2 1 , .f x x g x x a （ 1）当 0a 时，解不等式 f x g x ； （ 2）若存在 ，使得 f x g x 成立，求实数 a 的取值范围 . 2017 年高中毕业年级第二次质量预测 数学（理科） 参考答案 一、选择题 1. A 二、填空题 13. 14 112； 16 6. 三、解答题 17.（ ） ，由 ，得 ， 两式 相 减得 ， 3 分 由 得到 ，又 所以 为以 首项以 3 为公比的等比数列 故 6 分 （ ） ， 9分 12 分 18 ( )证明：在三棱柱 中， ，且 连结 ，在 中，因为 D, B, 中点 . 所 以. 又 为 的中点，可得 ， 所以 ， 2分 因此四边形 为平行四边形，所以 , 又 ， 所以 . 4 分 ( )证明： 由于底面 正三角形， 为 的中点， 所以 , 又 ，又 ，所以 6 分 在平面 内，过点 作 ， 交直线 于，连结 , ，由此得， 为 直线 与所成的角 . 设三棱柱的棱长为 ，可得 ，由 ，所以 , 在 中， . 所以直线 平面 12 分 （ I） 4 分 （ （ I）知， ，从而 6 分 由题设条件及 食品的质量指标 的频率分布直方图，得 食品生产成本 分组与频率分布表如下： 组号 1 2 3 4 5 6 7 分组 频率 9 分 根据题意，生产该食品的平均成本为 12 分 ） 将椭圆化成标准方程 ， 3分 （ ）由题意，设 ， 直 线 的斜率存在，设 为 ，联立 得： ，此时由 得， 6 分 则 为 ，则 为 8 分 则 得 故 的中点 为 由弦长公式可得到 ，若存在圆，则圆心在 上 ， 的中点 到直线 的距离为 10 分 又 存在这样的 ，使的 在同一个圆上 . 12 分 21解：（ ） 函数 的定义域为 ， 当 时， ；当 时， . 所以， 在 上单调递减；在 上单调递增 . 2 分若 在 上单调递减；在 上单调递增 ， 则 4 分 ( ) （ ）依题意，函数 的定义域为 ， 所以方程 在 有两个不同根 . 即，方程 在 有两个不同根 . 5 分 转化为，函数 与函数 的图像在 上有两个不同交点，如图 . 可见，若令过原点且切于函数 图像的直线斜率为 ， 只须. 6 分 令切点 ，所以 ，又 ，所以 ， 解得， ，于是 ，所以 . 8 分 （ ） 由（ i）可知 分别是方程 的两个根， 即 ， ，不妨设 ，作差得， ，即 . 原不等式 等价于 令 ，则 ， 10 分 设 ， ， 函数 在 上单调递增， ，即不等式 成立，故所证不等式 成立 12 分 22 解：