2017年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科） 一 大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x| 2 x 2，则 A B=（ ） A 1， 0， 1， 2 B 1， 0， 1 C 2， 1， 0， 1 D 2， 1，0， 1， 2 2在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3等差数列 ， a2+a3+， 等差数列 前 n 项和，则 ） A 3 B 4 C 5 D 6 4已知向量 =（ 2， 1）， =（ 3， x）若 =3，则 x=（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 5已知双曲线 =1 的一条渐近线方程为 y= x，则此双曲线的离心率为（ ） A B C D 6运行如图所示的程序框图，输出的结果 S=（ ） A 14 B 30 C 62 D 126 7已知 ， 是两个不同的平面， l， m， n 是不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A若 l m， l n， m， n，则 l B若 l m， l， m，则 l C若 ， =l， m， m l，则 m D若 ， m ， n ，则 m n 8已知条件 p： |x 4| 6，条件 q： x 1+m，若 p 是 q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A（ ， 1 B（ ， 9 C 1， 9 D 9， + ） 9已知 ，函数 y=f（ x+）的图象关于直线 x=0 对称，则 的值可以是（ ） A B C D 10在区间 1， 5上随机取一个数 x，若 x 满足 |x| m 的概率为 ，则实数 ） A 0 B 1 C 2 D 3 11已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） 4 有 3 个零点，则实数a 的值为（ ） A 2 B 0 C 2 D 4 12已知抛物线 x，过焦点 F 作直线与抛物线交于点 A， B，设 |m，|n，则 m+n 的最小值为（ ） A 2 B 3 C D 4 二 大题共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分 . 13已知等比数列 ， a1+，则 14一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 15已知实数 x、 y 满足约束条件 ，则 z=2x+4y 的最大值为 16曲线 f（ x） =点 P（ 1， e）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 三 大题共 5 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，且 a=3， b=4，B= +A （ 1）求 值； （ 2）求 值 18（ 12 分）如图，三棱柱 ，侧棱 平面 0，且 B=2， E， F 分别是 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求点 C 到平面 距离 19（ 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是 0， 100，样本数据分组为第一组 0， 20），第二组 平面 三组 40， 60），第四组60， 80），第五组 80， 100 （ 1）求直方图中 x 的值； （ 2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠； （ 3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取 6 家企业，试求在这 6 家企业中选 2 家，这 2 家企业年上缴税收在同一组的概率 20（ 12 分）已知椭圆 C： 经过点 ，离心率 ，直线 l 的方程为 x=4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）经过椭圆右焦点 e 的任一直线（不经过点 a= 1）与椭圆交于两点 A， B，设直线 l 相交于点 M，记 斜率分别为 ： k1+2否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =ax+中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数 （ 1）当 a= 1 时，求 f（ x）的最大值； （ 2）设 g（ x） =x）， h（ x） =2 2a 1） x+a 1，若 x 1 时， g（ x） h（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在第 22、 23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4标系与参数方程 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ 10 分）在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极 坐标方程为 = （ ）若 a=2，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （ ）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍，求 a 的值 选修 4 5：不等式选讲 23已知函数 f（ x） =|2x 1|+|2x+5|，且 f（ x） m 恒成立 （ ）求 m 的取值范围； （ ）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： |x 3| 2x 2m 8 2017 年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一 大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x| 2 x 2，则 A B=（ ） A 1， 0， 1， 2 B 1， 0， 1 C 2， 1， 0， 1 D 2， 1，0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 根据交集的定义写出 A B 即可 【解答】 解：集合 A= 2， 1， 0， 1， 2， B=x| 2 x 2， 则 A B= 1， 0， 1， 2 故选： A 【点评】 本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目 2在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位 i 的幂运算性质，求得复数为 ，它在复平面内对应的点的坐标为（ ， ），从而得出结论 【解答】 解： 复数 = = ，它在复平面内对应的点的坐标为（ ， ）， 故选 D 【点评】 本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位 i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题 3等差数列 ， a2+a3+， 等差数列 前 n 项和，则 ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由等差数列通项公式得 a2+a3+，从而 ，再由等差列前 n 项和公式得 =5此能求出结果 【解答】 解： 等差数列 ， a2+a3+， 等差数列 前 n 项和， a2+a3+， 解得 ， =5 故选： C 【点评】 本题考查等差数列的前 5 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 4已知向量 =（ 2， 1）， =（ 3， x）若 =3，则 x=（ ） A 6 B 5 C 4 D 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由题意， =（ 2， 1）， =（ 3， x） =3，由数量积公式可得到方程 6 x=3，解此方程即可得出正确选项 【解答】 解： 向量 =（ 2， 1）， =（ 3， x） =3， 6 x=3， x=3 故选 D 【点评】 本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题 5已知双曲线 =1 的一条渐近线方程为 y= x，则此双曲 线的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 因为焦点在 x 轴上的双曲线方程的渐近线方程为 y= ，由双曲线的一条渐近线方程为 y= ，就可得到含 a， b 的齐次式，再把 b 用 a，c 表示，根据双曲线的离心率 e= ，就可求出离心率的值 【解答】 解： 双曲线 的焦点在 x 轴上， 渐近线方程为 y= ， 又 渐近线方程为 y= ， b2= 化简得， 即 ， e= 故选 A 【点评】 本题考查双曲线的性质及其方程根据双曲线 的渐近线方程求离 心率，关键是找到含 a， c 的等式 6运行如图所示的程序框图，输出的结果 S=（ ） A 14 B 30 C 62 D 126 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， k 的值，当 k=6 时，不满足条件 k 5，退出循环，计算输出 S 的值 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 k=1， S=0 满足条件 k 5， S=2， k=2 满足条件 k 5， S=6， k=3 满足条件 k 5， S=14， k=4 满足条件 k 5， S=30， k=5 满足条件 k 5， S=62， k=6 不满足条件 k 5，退 出循环，输出 S 的值为 62， 故选： C 【点评】 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的 S， k 的值是解题的关键，是基础题 7已知 ， 是两个不同的平面， l， m， n 是不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A若 l m， l n， m， n，则 l B若 l m， l， m，则 l C若 ， =l， m， m l，则 m D若 ， m ， n ，则 m n 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 根据线面垂直的判定定理如 果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可 【解答】 解：若 l m， l n， m， n， 不能推出 l ，缺少条件 m 与 n 相交， 故不正确 故选 A 【点评】 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题 8已知条件 p： |x 4| 6，条件 q： x 1+m，若 p 是 q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A（ ， 1 B（ ， 9 C 1， 9 D 9， + ） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件 的判断 【分析】 解出关于 p 的不等式，根据充分必要条件的定义求出 m 的范围即可 【解答】 解：由 |x 4| 6，解得： 2 x 10， 故 p： 2 x 10； q： x 1+m， 若 p 是 q 的充分不必要条件， 则 1+m 10，解得： m 9； 故选： D 【点评】 本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题 9已知 ，函数 y=f（ x+）的图象关于直线 x=0 对称，则 的值可以是（ ） A B C D 【考点】 y=x+）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性 【分析】 化简函数 的表达式，函数 y=f（ x+）的图象关于直线 x=0 对称，说明是偶函数，求出选项中的一个 即可 【解答】 解： =2x+ ）， 函数 y=f（ x+） =2x+ ）的图象关于直线 x=0 对称，函数为偶函数， = 故选 D 【点评】 本题考查 y=x+）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题 10在区间 1， 5上随机取一个数 x，若 x 满足 |x| m 的概率为 ，则实数 ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 几何概型 【分析】 在该几何概型中，其测度为线段的长度，根据 P（ |x| m） = 得出 m（ 1） =3，即可求出 m 的值 【解答】 解：利用几何概型，其测度为线段的长度， x 1， 5，又 |x| m，得 m x m， |x| m 的概率为： P（ |x| m） = = ， 解得 l=3， 即 m（ 1） =3， m=2 故选： C 【点评】 本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是事件发生的概率与构成该事件区域的长度成比例，是基础题 11已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） 4 有 3 个零点 ，则实数a 的值为（ ） A 2 B 0 C 2 D 4 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由题意求出 f（ x） 4，由函数的零点与方程的根的关系，分别列出方程求解，结合条件即可求出 a 的值 【解答】 解：由题意得， f（ x） = ， 则 f（ x） 4= ， 若 x 3，由 得， x= 或 x= ； 若 x=3，则 a 4=0，则 a=4， 所以 a=4 满足函数 y=f（ x） 4 有 3 个零点， 故选 D 【点评】 本题考查了函数的零点与方程的根的关系，分段函数的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题 12已知抛 物线 x，过焦点 F 作直线与抛物线交于点 A， B，设 |m，|n，则 m+n 的最小值为（ ） A 2 B 3 C D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线 x 与过其焦点（ 1， 0）的直线方程联立，消去 y 整理成关于 x 的一元二次方程，设出 A（ B（ 点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得答案 【解答】 解：由题意知，抛物线 x 的焦点坐标为（ 1， 0）， 当斜率 k 存在时，设直线 方程为 y=k（ x 1）， 联立抛物线方程，可得 2） x+ 设出 A（ B（ 则 x1+ ， 依据抛物线的定义得出 m+n=x1+ 4， 当斜率 k 不存在时， m+n=4 则 m+n 的最小值是 4 故选 D 【点评】 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于中档题需要注意对斜率不存在的情况加以研究 二 大题共 4 小题；每小题 5 分，共 20 分 . 13已知等比数列 ， a1+，则 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 根据条件列出关于 q 的方程组，解得即可 【解答】 解： a1+， ， 解得 q= ， ， （ ） 5= ， 故答案为： 【点评】 本题考查等比数列的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用 14一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为三棱锥 P 中底面是边长为 2 的等边三角形 面 底面 为 2 【解答】 解 ：由三视图可知：该几何体为三棱锥 P 中底面是边长为 2的等边三角形 侧面 底面 为 2 这个几何体的体积 V= = 故答案为： 【点评】 本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 15已知实数 x、 y 满足约束条件 ，则 z=2x+4y 的最大值为 20 【考点】 简单线性规划 【分析】 先画出可行域，结合 z 为目标函数纵截距四倍，平移直线 0=2x+4y，发现其过（ 0， 2）时 z 有最大值即可求出结论 【解答】 解：画可行域如图， z 为目标 函数 z=2x+4y，可看成是直线 z=2x+4y 的纵截距四倍， 画直线 0=2x+4y，平移直线过 A（ 2， 4）点时 z 有最大值 20 故答案为： 20 【点评】 本题考查线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解 16曲线 f（ x） =点 P（ 1， e）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 利用导数的几何意义求出切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积 【 解答】 解： f（ x） =ex+x+1）， 切线斜率 k=f（ 1） =2e， f（ x）在（ 1， e）处的切线方程为 y e=2e（ x 1），即 y=2e， y=2e 与坐标轴交于（ 0， e），（ ， 0） y=2e 与坐标轴围成的三角形面积为 S= = 故答案为： 【点评】 本题考查了导数的几何意义，属于基础题 三 大题共 5 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17（ 12 分）（ 2017大庆二模）在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b，c，且 a=3， b=4， B= +A （ 1）求 值； （ 2）求 值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到 （ 2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到 【解答】 解（ 1） ， +A） = 又 a=3， b=4，所以由正弦定理得 ， 所以 = ， 所以 3边平方得 96 又 ， 所以 ，而 ， 所以 （ 2） ， ， ， 2A=2B ， 2B ） = 又 A+B+C=， ， 2 【点评】 本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017大庆二模）如图，三棱柱 ，侧棱 面 等腰直角三角形， 0，且 B=2， E， F 分别是 中点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）求点 C 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）连结 已知条件推导出面 面 而 勾股定理得 此能证明平面 平面 （ 2）利用等面积方法，即可求出点 C 到平面 距离 【解答】 （ 1）证明：连结 F 是等腰直角三角形 边 中点， 又 三棱柱 直三棱柱， 面 面 面 （ 2 分） 设 ，则 ， ， 1 又 ， 平面 （ 4 分） 而 ：平面 平面 （ 2）解：设点 C 到平面 距离为 h，则由题意， S =1， S = ， 由等体积可得， ， h= 【点评】 本题考查平面与平面垂直的证明，考查点 C 到平面 距离的求法，考查学生分 析解决问题的能力，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017大庆二模）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是 0，100，样本数据分组为第一组 0， 20），第二组 平面 三组 40，60），第四组 60， 80），第五组 80， 100 （ 1）求直方图中 x 的值； （ 2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠； （ 3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的 方法抽取 6 家企业，试求在这 6 家企业中选 2 家，这 2 家企业年上缴税收在同一组的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）由频率和为 1，列方程求出 x 的值； （ 2）计算上缴税收不少于 60 万元的频率与频数即可； （ 3）根据第一组与第二组的企业家数比求出每组抽取的家数，用列举法计算基本事件数，计算对应的概率值 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图可得： 20 （ x+2） =1， 解得 x= （ 2）企业上缴税收不少于 60 万元的 频率为 2 20= 1200 44， 1200 个企业中有 144 个企业可以申请政策优惠； （ 3）第一组与第二组的企业数之比为 ： 2， 用分层抽样法从中抽取 6 家，第一组抽取 2 家，记为 A、 B， 第二组抽取 4 家，记为 c、 d、 e、 f； 从这 6 家企业中抽取 2 家，基本事件数是 15 种， 其中两家企业在同一组的基本事件数是 7 种， 故 所求的概率为 P= 【点评】 本题主要考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题 20（ 12 分）（ 2017大庆二模）已知椭圆 C： 经过点 ，离心率 ，直线 l 的方程为 x=4 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）经过椭圆右焦点 e 的任一直线（不经过点 a= 1）与椭圆交于两点 A， B，设直线 l 相交于点 M，记 斜率分别为 ： k1+2否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及 a， b， c 的关系，解方程即可得到所求椭圆方程； （ 2）求得椭圆右焦点坐标，设 斜率为 k，则直线 方程为 y=k（ x 2），代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合等差数列中项，即可得证 【解答】 解：（ 1）由点 在椭圆上，离心率 ，得 且 a2=b2+得 ， ， ， 椭圆 C 的方程： （ 2）椭圆右焦点 F（ 2， 0），显然直线 率存在， 设 斜率为 k，则直线 方程为 y=k（ x 2）代入椭圆 C 的方程： 整理得（ 2） 88=0 设 A（ B（ 则有 x1+， 令 y=k（ x 2）中 x=4，得 M（ 4， 2k），从而 ， ， 又因为 A、 F、 B 共线，则有 k= =2k 将 代入 得 k1+k =2 k1+2（定值） 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式和等差数列中项性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21（ 12 分） （ 2017大庆二模）已知函数 f（ x） =ax+中 a 为常数，设 （ 1）当 a= 1 时，求 f（ x）的最大值； （ 2）设 g（ x） =x）， h（ x） =2 2a 1） x+a 1，若 x 1 时， g（ x） h（ x）恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可； （ 2）当 x 1 时， g（ x） h（ x）恒成立，即为 2a 1） x a 1，讨论 x=1 和 x 1，由参数分离和构造函数 g（ x） = x 1）（ x 1） 2（ x 1），求出导数和单调性，即可判断 g（ x）的单调性，可得 a 的范围 【解答】 解：（ 1） a= 1 时， f（ x） = x+f（ x） = 1+ ， 令 f（ x） 0，解得： 0 x 1，令 f（ x） 0，解得： x 1， 故 f（ x）在（ 0， 1）递增，在（ 1， + ）递减， 故 f（ x） f（ 1） = 1； （ 2）当 x 1 时， g（ x） h（ x）恒成立， 即为 2a 1） x a 1， 当 x=1 时 ，上式显然成立 当 x 1 时，可得 a ， 由 1= ， 设 g（ x） = x 1）（ x 1） 2（ x 1）， g（ x） =1+1 2（ x 1） =2（ x 1）， 由 g（ x） = 2 0 在 x 1 恒成立， 可得 g（ x）在（ 1， + ）递减，可得 g（ x） g（ 1） =0， 即 g（ x）在（ 1， + ）递减，可得 g（ x） g（ 1） =0， 则 1 成立， 即有 a 1 即 a 的范围是 1， + ） 【点评】 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构 造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题 请考生在第 22、 23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4标系与参数方程 （共 1 小题，满分 10 分） 22（ 10分）（ 2017大庆二模）在直角坐标系 线 t 为参数），以原点