2010年深圳市高三年级第一次调研考试(理科)数学

2010 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科） 2010.3 本试卷共 6 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损， 监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后 务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将 监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不 污损。 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的 签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上，请注意每题答题空间 ，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的答 案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁 ，考 试结束后，将答题卡交回。 参考公式： 圆锥的侧面积 ,其中 是圆锥的底面半径, 是圆锥母线长.Srll 圆柱的的侧面积 ,其中 是圆柱的底面半径, 是圆柱母线长.2r 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的 1设 ，若 （ 为虚数单位）为正实数，则aR2i() a A2 B1 C0 D 1 2设集合 ， ，那么“ ”是“ ”的|Mx|(3)NxMaN A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3如图 1，一个简单组合体的正视图和侧视图都是由一个正方形与一 个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为 的圆（包括3 圆心） 则该组合体的表面积等于 A 15 B 8 C 2 D 4 正 视 图 、 侧 视 图 俯 视 图1图 32 4曲线 ， 与直线 ， 所围成的平面区域的面积为sinyxcosyx02x A B20(i)d 40(sinco)xd C Dcosnx 5已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则 的大2xf()lngx() 1hx() 123x， ， 123x， ， 小关系是 A B123x 213 C D 3x 6若曲线 ： 上所有的点均在第二象限内，则 的取值范围为22450xyaxya A B(， ) 1(， ) C D1， 2， 7已知三个正态分布密度函数 （ ， 2()1()eixiixR ）的图象如图 2 所示，则123i， ， A ，313 B ，122 C ，313 D ，122 8设 ， ， 是 1，2， 的一个排列，把排在 的左边且比 小的数的个数称为 的1a2naniaiaia 顺序数（ ） 如在排列 6，4，5，3，2，1 中，5 的顺序数为 1，3 的顺序数为 0则i， ， ， 在 1 至 8 这八个数字构成的全排列中，同时满足 8 的顺序数为 2，7 的顺序数为 3，5 的顺序数为 3 的不同排列的种数为 A48 B96 C144 D192 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（913 题） 9设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 nanS981258a 10已知 ，则 = 42340112xxax() 134a 11若双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则 23ym2yxm Oyx)(1x)(2y)(32图 2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第 3 页 共 13 页 12若不等式 对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是 4|1|3|xaxa 13图 3 中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法若输 入 ， ，则输出 20m54nm （注：框图中的的赋值符号“”也可以写成“”或“：” ） （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为xOyl （参数 ） ，以直角坐标原点为极点， 轴的正半轴21,4.xtytRx 为极轴建立相应的极坐标系在此极坐标系中，若圆 的极坐标C 方程为 ，则圆心 到直线 的距离为 2cosCl 15 （几何证明选讲选做题） 如图 4，已知 是 的切线， 是切点，直线 交 于 、PAOAPOB 两点， 是 的中点，连结 并延长交 于点 若CDDE ， ，则 = 2330BE 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 （其中 为正常数， ）的最小正周期为 2sinsi63fxx()()()xR （1）求 的值； （2）在 中，若 ，且 ，求 ABC1()2fAfBCA 17 （本小题满分 12 分） 如图 5，已知直角梯形 所在的平面垂直于平面 ， ， ，ADEBC90CD60EAC ABC （1）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？请证明你P/EA 的结论； （2）求平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值EDABC 是否开 始 ?0rnm,输 入 r的 余 数除 以求 nm输 出结 束 3图 PABOCDE4图 ABCD5图 18 （本小题满分 14 分） 已知 是二次函数， 是它的导函数，且对任意的 ， 恒成fx()fx() xR21fxfx() 立 （1）求 的解析表达式；f() （2）设 ，曲线 ： 在点 处的切线为 ， 与坐标轴围成的三角形面积为0tCyfx(),Ptf()l 求 的最小值S()t() 19 （本小题满分 14 分） 某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损30% ，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；15%792 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能亏损 ，530 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 、 和 351 （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投 资） ，问大约在哪一年的年底总资产（利润本金）可以翻一番？ （参考数据： ， ）lg20.31lg0.471 20 （本小题满分 14 分） 已知 、 分别是直线 和 上的两个动点，线段 的长为 ， 是AB3yx3yxAB23P 的中点 （1）求动点 的轨迹 的方程；PC （2）过点 作直线 （与 轴不垂直）与轨迹 交于 两点，与 轴交于点 若1,0Q()lxCMN、 yR ， ，证明： 为定值RMNQ 21 （本小题满分 14 分） 在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等na12a2121,nna212,nna 比数列， 1,23n （1）分别计算 ， 和 ， 的值；546 （2）求数列 的通项公式（将 用 表示） ；nana （3）设数列 的前 项和为 ，证明： ， 1S42n*N 2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第 5 页 共 13 页 2010 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 说明： 1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则 2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重 的错误，就不再给分 3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D A D D C 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（913 题） 9 27 10 8 11 6 12 13 67 2)0,( （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14 15 2710 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤 16 （本小题满分 12 分） 解：（1） 2)3(cos)6sin(2)3sin()6si(2)( xxxxf 4 分coi 3i 而 的最小正周期为 ， 为正常数， ，)(xf2 解之，得 6 分1 （2）由（1）得 )32sin()xf 若 是三角形的内角，则 ， xx03523x 令 ，得 ， 或 ，21)(f 21)3sin(66 解之，得 或 4x7 由已知， 是 的内角， 且 ，BA,CBA21)(ff ， ， 10126 分 又由正弦定理，得 12216sin4iCAB 分 说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基 础知识，以及运算求解能力 17 （本小题满分 12 分） 解：（1）线段 的中点就是满足条件的点 1 分BCP 证明如下： 取 的中点 连结 ，则AFDPEF、 、 ， ， 2 分P/A21 取 的中点 ，连结 ，CMC、 且 ，E60 是正三角形， E 四边形 为矩形，D 又 ，3 分AC21A/ 且 ，FPE/ 四边形 是平行四边形4 分 ，D/ 而 平面 ， 平面 ，ABEAB 平面 6 分/PE （2） （解法 1）过 作 的平行线 ，过 作 的垂线交 于 ，连结 ，ClllGD ，/ ，lD ABCDEPMFA BCDEPMFG 2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第 7 页 共 13 页 是平面 与平面 所成二面角的棱8 分lEBDAC 平面 平面 ， ， 平面 ，C 又 平面 ， 平面 ，llDG ，G 是所求二面角的平面角10 分D 设 ，则 ， ， ，aAECB2aC32aCDG72 12 分7cosD （解法 2） ，平面 平面 ，90EABC 以点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立空间直角坐标系 ，则 轴在BxyxyzA 平面 内（如图） EACD 设 ，由已知，得 ， ， aB2)0,2(a)3,(aE)3,20(aD ， ， 8 分)3,(,ED 设平面 的法向量为 ，),(zyxn 则 且 ，En .0,DB .,32ayazx 解之得 .0, 取 ，得平面 的一个法向量为2zEBD . 10 分),3(n 又平面 的一个法向量为 AC)1,0(n 12 分722)3,cos 22 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空 间想象能力和逻辑推理能力 18 （本小题满分 14 分） 解：（1）设 （其中 ） ，则 ， 2 分cbxaxf2)( 0abaxf2)( cxf )1(2 由已知，得 ，2)bABC DEPMFyxz ，解之，得 ， ， ， bca2011a0b1c 5 分)(xf （2）由（1）得， ，切线 的斜率 ，),(2tPltfk2)( 切线 的方程为 ，即 7 分l )(1txy1xy 从而 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ，x0,(2tAl ),0(2tB （其中 ） 9 分ttS4)()2 11 分2)13(1 tt 当 时， ， 是减函数；30t0)St 当 时， ， 是增函数 13 分(t( 14 分934)(minSt 说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力 19 （本小题满分 14 分） 解：（1）若按“项目一”投资，设获利 万元，则 的分布列为11305P792 （万元）. 2 分17230(15)9E 若按“项目二”投资，设获利 万元，则 的分布列为：225030P15 （万元）. 4 分23150()25E 又 ， 5 分217(0)3099D ，6 分222 11)3()4055 所以 ， ，12E12D 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第 9 页 共 13 页 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 8 分 （2）假设 年后总资产可以翻一番，依题意： ，即 ，10 分n 201()n1.2n 两边取对数得： lg2.33.53047 所以大约 4 年后，即在 2013 年底总资产可以翻一番 13 分 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在 2013 年底，总资产可以翻一番14 分 说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际 问题的能力 20 （本小题满分 14 分） 解：（1）设 ， ， ),(yxP),(1yA),(2yxB 是线段 的中点， 2 分B12.y 分别是直线 和 上的点，A、 3x3x 和 4 分113yx22y 12,.3yy 又 ， 5 分AB )()(2121x ，动点 的轨迹 的方程为 6 分2413yxPC 219xy （2）依题意，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 7 分l l()kx 设 、 、 ，),(3M),(4yN),0(5yR 则 两点坐标满足方程组、 .19,2xk 消去 并整理，得 ， 9y2(1)80k 分 ， 1024398x23419kx 分 ， MQR),()0,),0(),( 353 yxy 即 与 轴不垂直， ，.)1(353yyx13xl 1 ，同理 124 分 431x3434()2x 将代入上式可得 14 分9 说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力 21 （本小题满分 14 分） 解：解：（1）由已知，得 ， ， ， . 23a56492a68 分 （2） （证法 1） ， ， ，；2351342 ， ， ，. 2a43264a 猜想 , ， ， 4 分21()n 22(1)n*nN 以下用数学归纳法证明之 当 时， ， ，猜想成立；21a21a 假设 时，猜想成立，即 , ，(,*)nkN21()ka 22(1)ka 那么 , 22(1)2121 ()()()kkkaa . 22212(1)2 2()(1)()kkk k 时，猜想也成立n 由，根据数学归纳法原理，对任意的 ，猜想成立 6*nN 分 当 为奇数时， ；n 8)3(12 1na 当 为偶数时， )( 2nn 即数列 的通项公式为 9 分na为 偶 数为 奇 数nna,8)2(,31 2010 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷 第 11 页 共 13 页 （注：通项公式也可以写成 ）16)(7281 nna （证法 2）令 ， ，则12nb*N1212212123 kkkkkn aaa 4 42121 nkkkk ba ， nnbb)(1 1)(1 nnb 从而 （常数） ， ，又 ，21n *N21 故 是首项为 ，公差