2006年重庆邮电大学数学建模竞赛题目

特别说明： 1、 这次竞赛共 3 个题目，没有分本科组专科组，所有参赛队自行 选择一个题目即可。 2 参赛前请各位同学认真阅读 2006 年重庆邮电大学数学建模竞 赛须知（教务在线上下载）。 A 题：三峡工程经济评估 三峡工程是当今最大的水利枢纽工程，除了考虑技术上的可行性、先进性之外，还考 虑经济上是否合理，总共需要多少投资？国力能否承受？资金怎么来，如何分配？多少年 才能连本带利将全部资金收回？请根据以下的背景材料和其他资料，建立数学模型，对三 峡工程进行经济评估，回答以上问题。 背景材料：自年正式开工以来，三峡工程的建设者们创造了多项“世 界之最” ，突破了世界水利工程的纪录。其中十项最主要的“世界之最”是： (1)防洪效益最为显著的水利工程。三峡水库总库容亿立方米，防洪库容 .亿立方米，水库调洪可消减洪峰流量达每秒.万.万立方米，能有效控 制长江上游洪水，保护长江中下游荆江地区万人口、万公顷耕地。 (2)最大的水电站。三峡水电站总装机万千瓦，年均发电量在7 亿度以 上。 (3)建筑规模最大的水利工程。三峡大坝坝轴线全长米，泄流坝段长 米，水电站机组万千瓦台，双线五级船闸+升船机，无论单项、总体都是世界上 建筑规模最大的水利工程。 (4)工程量最大的水利工程。三峡工程主体建筑物土石方挖填量约.亿立方米， 混凝土浇筑总量万立方米，钢筋 46.30 万吨，是世界上工程量最大的水利工程。 （5）施工难度最大的水利工程。三峡工程年混凝土浇筑量为万立方 米，月浇筑量最高达万立方米，创造了混凝土浇筑的世界纪录。 （6）施工期流量最大的水利工程。三峡工程截流流量立方米/秒，施工导流 最大洪峰流量立方米/秒。 （7）泄洪能力最大的泄洪闸。三峡工程泄洪闸最大泄洪能力.万立方米/秒， 是世界上泄洪能力最大的泄洪闸。 （8）级数最多、总水头最高的内河船闸。三峡工程的双线五级、总水头米的船 闸，其最大工作水头、最大弃泄水量、边坡开挖高度均属“世界之最” 。 （9）规模最大、难度最高的升船机。 三峡工程升船机的有效尺寸为.米，最大升程米，船箱带 水重量达吨，过船吨位吨，是世界上规模最大、难度最高的升船机。 （10）水库移民总数世界最多。三峡工程水库动态移民最终将超过万人，世界 上人口在百万以下的国家有个，百万移民相当于迁建一个国家，三峡移民工程是世界 上水库移民最多、工作最为艰巨的移民建设工程。 B 题: 硬盘振动测量 硬盘是计算机上的重要部件，正向着更小、更快、密度更高的方向发展。如何减小盘 片的振动，成为关键问题，于是怎样检测盘片的振动更加重要。由于硬盘转速很高，不适 宜接触式测量，容易想到光学测量。 有一种新技术测量物体表面获得振动情况，是利用类似镜面反射的几何光学原理工作 的：选用同一点光源发出两束光线，照射有反射能力的被测物体平面，产生的两条反射光 线再照射到水平放置的接受屏上。接受屏能够检测出光线照射点在接受屏平面上的坐标位 置，问题是怎样利用图 2 中 Oxy平面的两个坐标值反算出被测物体当前的平面方程，就 可利用平面方程的变化得到振动情况。 图 1 是用两条光线检测的原理图，点光源 O 为坐标原点，E 1 和 E2 是盘片瞬间位置的 反射点，此时盘片局部表面方程为 z=ax+by+(c+D)，其中 a,b,c 为未知量，由于硬盘在振动， 平面就偏离了初始位置 z=D(D0 为接受屏的高度，B 1 和 B2 是其上的照射点，这样利用它们确定 、 和 获得盘片局部表面方程。abc （本题作到确定出 、 和 即可，不必分析振动情况）abc 问题 1：请解释这种测量技术采用两束光线的原因。 问题 2：请建数学模型分析盘片局部表面方程的测量原理。 问题 3：试分析接受屏分辨率（测量精度）对盘片局部表面方程的影响。 提示：可利用计算机模拟的办法求出一系列 B1 和 B2 在接受屏上的坐标值，再对该值进行某一精度（10 - 4，10 -5，10 -6 等等）下的四舍五入取整，这样获得的盘片局部表面方程就包含了接受屏分辨率的影响。 O B1 图 2 接受屏示意图 B2 x , y ,)(Dcbyaxz hDhz 被测物体平面 接收屏 图 1 原理图 O点光源 E1 E2 B2B1z x y C: 教学时间调整方案的 评估 为使学校的教学组织安排更加合理,课堂教学时间准备做如此调整： 1、课堂每小节由原来的 50 分钟改为 45 分钟，小节课间间隔由 10 分钟缩短为 5 分钟， 上午、下午每大节课间间隔由 20 分钟缩短为 15 分钟； 2、调整后的第二大节由三小节组成，上午由原来的 4 小节调整为 5 小节，午休时间为 12：1514：00；晚上第五大节由三小节组成，上课时间为 18：0020：25； 3、全大课堂节数由原来的 10 小节调整为 12 小节。 节 次 原教学时间 节 次 调整后的教学时间 第 1 小节 8：008：50 第 1 小节 8：008：45 第一大节 第 2 小节 9：009：50 第一大节 第 2 小节 8：509：35 第 3 小节 10：1011：00 第 3 小节 9：5010：35 第二大节 第 4 小节 11：1012：00 第 4 小节 10：4011：25 第二大节 第 5 小节 11：3012：15 第 5 小节 14：0014：50 第 6 小节 14：0014：45 第三大节 第 6 小节 15：0015：50 第三大节 第 7 小节 14：5015：35 第 7 小节 16：1017：00 第 8 小节 15：5016：35 第四大节 第 8 小节 17：1018：00 第四大节 第 9 小节 16：4017：25 第 9 小节 18：3019：20 第 10 小节 18：0018：45 第五大节 第 10 小节 19：3020：20 第 11 小节 18：5019：35 第五大节 第 12 小节 19：4020：25 问题： l、分析食堂学生就餐压力的缓解 以本学期为例，按原教学时间安排平均每天将有约 270 个本科班级约 10800 人集中在 中午 12：00 下课，我校大学生美食城和大学生美食广场共计 5088 个座位，最快周转周期 按 30 分钟计算 12：0013：00 最多能够满足 10176 个人用餐。据后勤集团饮食中心反映 和实际调查结果显示，12：0512：20 为学生就餐高峰期，短时间大量学生的涌入导致食 堂的售餐窗口相对不足；12：2013：00 食堂的主要压力在于餐位少，无法满足学生同时 进餐。调整教学时间后，以下学期为例，预计平均每天约有 300 个本科班级 12000 人上午 第二大节有课，根据我校现使用的排课系统所能实现的功能和我校现有教学资源的实际情 况，可以将第二大节分解，实现大一、大二的学生除体育课程外连上三小节，大约 6500 人 在 12：15 下课，大三、大四的学生连上二小节，约 5500 人在 11：25 下课，大大缓解了食 堂压力，很大程度上解决了学生中午就餐难的问题。 2、试分析学生自学时间的增加 新的课堂教学时间由原来的 10 小节增加为 12 小节，必将在教学组织安排上更