第5章 抽样分布与参数估计幻灯片

第五章 抽样分布与参数估计 5-2 第五章 抽样分布与参数估计 n 第一节 抽样的基本概念与数学原理 n 第二节 抽样分布 n 第三节 参数估计 n 第四节 样本容量的确定 n 第五节 EXCEL在参数估计中的应用 5-3 第一节 抽样的基本概念与数学原理 一、有关抽样的基本概念 二、大数定理与中心极限定理 5-4 一、有关抽样的基本概念 （一）样本容量与样本个数 1.样本容量 。样本是从总体中抽出的部分单位 的集合，这个集合的大小称为样本容量，一般用 n 表示，它表明一个样本中所包含的单位数。 一般地，样本单位数大于 30个的样本称为大 样本，不超过 30个的样本称为小样本。 2.样本个数 。样本个数又称样本可能数目，它 是指从一个总体中可能抽取多少个样本。 5-5 （二）总体参数与样本统计量 1.总体参数 。总体分布的数量特征就是总体的 参数，也是抽样统计推断的对象。 常见的 总体 参数有：总体的 平均数 指标，总体 成数 (比例 )指标，总体分布的 方差 、 标准差 等等。 它们都是反映总体分布特征的重要指标。 2.样本统计量 。样本统计量是样本的一个函数 。它们是随机变量。我们利用统计量来估计和推 断总体的有关参数。 常见的 样本 统计量有：样本 平均数 ，样本 比例 ，样本的 方差 、 标准差 。 5-6 （三）概率抽样及其组织形式 所谓 概率抽样 ，就是要求对总体的每一次 观察（每一次抽取）都是一次随机试验，并且有 和总体相同的分布。按这样的要求对总体观测（ 抽取） n次，可得到容量为 n的样本。 5-7 显然，（ 1）和（ 2）的抽取行为都不是随机 试验。因而不属于概率抽样。只有（ 3）的抽取行 为是随机试验。总体的分布可用表 5-1的分布列来 描述，而（ 3）的随机试验中所观测的随机变量也 有与表 5-1有相同的分布。所以，（ 3）的抽取行 为是概率抽样。 5-8 （四）放回抽样与不放回抽样 1.放回抽样 。 放回抽样的 具体做法 是：从总体中抽出一个样 本单位，记录其标志值后，又将其放回总体中继续 参加下一轮单位的抽取。 放回抽样的 特点 是： 一， n个单位的样本是由 n次试验的结果构成的。 二，每次试验是独立的，即其试验的结果与前次、 后次的结果无关。 三，每次试验是在相同条件下进行的，每个单位在 多次试验中选中的机会 (概率 )是相同的。 在放回抽样中，样本可能的个数是 ， N为 总体单位数， n为样本容量。 5-9 不放回抽样的 具体做法 是：每次从总体抽取一个单 位，记录其标志值后不放回原总体，不参加下一轮抽样 。下一次继续从总体中余下的单位中抽取。 不放回抽样的 特点 是： 一， n个单位的样本由 n 次试验结果构成，但由于每次 抽出不放回，所以实质上相当于从总体中同时抽取 n个 样本单位。 二，每次试验结果不是独立的，上次中选情况影响下次 抽选结果。 三，每个单位在多次 (轮 )试验中中选的机会是不等的。 不放回抽样，如果考虑顺序，其样本可能个数为 如果不考虑顺序，其样本可能个数为 5-10 2.不放回抽样 。 5-11 （五）抽样分布 从总体中可以随机地抽取许多样本，由每一个 样本都可以计算样本统计量的观测值，所有可能的 样本观测值及其所对应的概率便是所谓的 抽样分布 。因此，抽样分布也可以称为样本统计量的 概率分 布 。 抽样分布可能是精确地服从某种已知分布（所谓 已知分布，例如我们在第四章介绍过的各种常见分 布），也可能是以某种已知分布为极限分布。在实 际应用中，后者更为多见。 5-12 5-13 5-14 第 二 次 抽 取 可 能 被 抽 中 的 人 员 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第 一 次 抽 取 可 能 被 抽 中 的 人 员 1 1,1(1) 1,2(1.5) 1,3(2) 1,4(2.5) 1,5(3) 1,6(3.5) 1,7(4) 1,8(4.5) 1,9(5) 1,10(5.5) 2 2,1(1.5) 2,2(2) 2,3(2.5) 2,4(3) 2,5(3.5) 2,6(4) 2,7(4.5) 2,8(5) 2,9(5.5) 2,10(6) 3 3,1(2) 3,2(2.5) 3,3(3) 3,4(3.5) 3,5(4) 3,6(4.5) 3,7(5) 3,8(5.5) 3,9(6) 3,10(6.5) 4 4,1(2.5) 4,2(3) 4,3(3.5) 4,4(4) 4,5(4.5) 4,6(5) 4,7(5.5) 4,8(6) 4,9(6.5) 4,10(7) 5 5,1(3) 5,2(3.5) 5,3(4) 5,4(4.5) 5,5(5) 5,6(5.5) 5,7(6) 5,8(6.5) 5,9(7) 5,10(7.5) 6 6,1(3.5) 6,2(4) 6,3(4.5) 6,4(5) 6,5(5.5) 6,6(6) 6,7(6.5) 6,8(7) 6,9(7.5) 6,10(8) 7 7,1(4) 7,2(4.5) 7,3(5) 7,4(5.5) 7,5(6) 7,6(6.5) 7,7(7) 7,8(7.5) 7,9(8) 7,10(8.5) 8 8,1(4.5) 8,2(5) 8,3(5.5) 8,4(6) 8,5(6.5) 8,6(7) 8,7(7.5) 8,8(8) 8,9(8.5) 8,10(9) 9 9,1(5) 9,2(5.5) 9,3(6) 9,4(6.5) 9,5(7) 9,6(7.5) 9,7(8) 9,8(8.5) 9,9(9) 9,10(9.5) 10 10,1(5.5) 10,2(6) 10,3(6.5) 10,4(7) 10,5(7.5) 10,6(8) 10,7(8.5) 10,8(9) 10,9(9.5) 10,10(10) 表 5-3 10人中有放回抽二人的全部可能样本 5-15 表 5-4 任职年限样本均值分布数列 5-16 5-17 二、大数定理与中心极限定理 5-19 大数定理 表明表明 ：尽管个别现象受偶然因素影 响，有各自不同的表现。但是，对总体的大量观察 后进行平均，就能使偶然因素的影响相互抵消，消 除由个别偶然因素引起的极端性影响，从而使总体 平均数稳定下来，反映出事物变化的一般规律。 5-20 5-21 从 正态分布的再生定理 可以 看出看出 :只要总体变 量服从正态分布，则从中抽取的样本，不管 n 是 多少，样本平均数都服从正态分布。 但是在客观实际中，总体并非都是正态分布。 对于从非正态分布的总体中抽取的样本平均数的分 布问题，需要由 中心极限定理 来解决。 5-22 5-23 5-24 第二节 抽样分布 一、样本平均数的抽样分布 二、样本比率的抽样分布 5-25 一、样本平均数的抽样分布 （一）样本平均数的期望值与方差 5-26 5-27 5-28 5-29 （二）样本平均数的分布规律 5-30 5-31 5-32 二、样本比率的抽样分布 (一 )样本比率的期望值与方差 5-33 5-34 5-35 5-36 （二）样本比率的分布规律 5-37 表 5-5 用正态分布来近似时对样本量的要求 总 体 参 数 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 1 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 样 本量 至少 为 n 36 37 38 40 43 48 57 71 100 5-38 （三）样本方差的抽样分布 5-39 5-40 第三节 参数估计 一、参数估计概述 二、总体均值的估计 三、总体比率的估计 四、总体方差的估计 5-41 一、参数估计概述 （一）参数估计的定义与种类 所谓 参数估计 ，就是用样本统计量去估计总 体的未知参数（或参数的函数）。例如，估计总 体均值，估计总体比率和总体方差等等。 参数估计有 两种基本形式 ： 点估计 和 区间估 计 。前者是用一个数值作为未知参数 的估计值 ，后者则是给出具体的上限和下限，把 包括在 这个区间内。下面分别介绍点估计与区间估计的 有关概念。 5-42 （二）点估计 点估计 ，主要有 矩估计法 和 最大似然估计法 。 矩估计 法是用样本矩去估计总体矩（或是用样 本矩的函数去估计总体矩的相应函数）的一种估计 方法，由此获得的估计量称作矩估计量； 最大似然估计 法是把待估计的总体参数看作一个 可以取不同数值的变量，计算当总体参数取上述不 同数值的时候，发生我们当前所得到的样本观测值 的不同概率，总体参数取哪一个数值的时候这种概 率最大，便把这个数值作为对总体参数的估计结果 。 5-43 （三）估计量的优良标准 2. 有效性 。又称最小方差性。 5-44 4. 充分性 。估计量包含了样本中关于 的全部 信息。 5-45 （四）区间估计与估计的精度和可靠性 5-46 5-47 5-48 二、总体均值的估计 5-49 5-50 5-51 5-52 5-53 5-54 5-56 （二）总体方差 2未知的情形 5-57 2. 区间估计 5-58 5-59 5-61 【 例 5-8】 在例 5-7中，若总体方差未知，但通过抽 取的 6个样本测得的样本方差为 0.0025，试在 0.95 的置信度下，求该产品直径的均值置信区间。 5-62 三、总体比率的估计 5-63 （二）区间估计 由于总体的分布是 0-1分布，只有在大样本的情况 下，才服从正态分布。总体比率可以看成是一种特殊 的平均数，类似于总体均值的区间估计，总体比率的 区间估计是： 5-64 【 例 5-9】 在某市区随机调查了 300个居民户，其中 6 户拥有等离子电视机。试求该区（按户计算的）等离 子电视机拥有率的 0.95置信区间。 解：本例总体单位数 N很大，故采用放回抽样的有关 公式计算。 n=300,p=0.02， n P=65， 可以认为户 数 n充分大， =0.05， 。 5-65 四、总体方差的估计 5-66 （二）区间估计 5-67 【 例 5-10】 某公司生 产 一种健康食品， 对 每罐食品 的重量有一定 规 定，不允 许 有 过 大的差异。 设 每罐 食品的重量服从正 态 分布。 现 从生 产线 上抽 查 了 10 个 样 本，求得其 样 本方差 为 9.2， 试对总 体方差 进 行置信度 为 0.90的区 间 估 计 。 解： ， 置信度 为 0.90的置信区 间为 ： = 5-68 第四节 样本容量的确定 一、问题的提出 二、估计总体均值时样本容量的确定 三、估计总体比例时样本容量的确定 四、使用上述公式应注意的问题 5-69 由前面的论述，我们已知参数估计中的精度 要求与可靠性要求常常是一对矛盾，但是，通过 增加样本容量 n有可能降低样本平均数的标准差， 从而实现既保证一定的估计精度，又具有较高的 置信度的目的。这时，需要考虑在给定的置信度 与极限误差的前提下，样本容量 n究竟取多大合适 ？这就是所谓样本容量的确定问题。 一、问题的提出 5-70 二、估计总体均值时样本容量的确定 5-71 5-72 5-73 三、估计总体比率时样本容量的确定 5-74 四、使用上述公式应注意的问题 1计算样本容量时，总体的方差与成数常常是 未知的，这时可用有关资料替代：一是用历史资料 已有的方差与成数代替；二是在进行正式抽样调查 前进行几次试验性调查，用试验中方差的最大值代 替总体方差；三是比率方差在完全缺乏资料的情况 下，就用比率方差的最大可能值 0.25代替。 2.如果进行一次抽样调查，需要同时估计总体 均值与比率，可用上面的公式同时计算出两个样本 容量，取其中较大的结果，同时满足两方面的需要 。 3.上面的公式计算结果如果带小数，这时样本 容量不按四舍五入法则取整数，取比这个数大的最 小整数代替。例如计算得到： n=56.03，那么，样本 容量取 57，而不是 56。 5-75 5-76 5-77 5-78 5-79 第五节 Excel在参数估计中的应用 【 例 5-13】 用 Excel完成本章思考与练习计算题的 第 1题。 解：操作步骤如下。 1构造工作表。如图 5-3所示， A、 B列为原始 输入数据， A2:A16存放的是关于最大飞行速度 的数据，图中未完全显示出来。 C、 D列为计算 结果，分别在 C2、 D2单元格存放置信下限和上 限。 2定义变量名。将 A列命名为 “x”，将 B2单元格 命名为 “置信水平 ”。 5-80 3计算置信上、下限。 分别在 C2、 D2中输入如下的公式： =AVERAGE(x)-TINV(1-置信水平 , COUNT(x)