河南省新乡市2017届高三第二次模拟测试数学试题(理)含答案

河南省新乡市 2017 届高三第二次模拟测试 数学（理）试题 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . | ( 2 ) 0 A x x x ， 2 | 4 9 0 B x Z x ，则 （ ） A 2, 1, 0,1 B 1,0,1, 2 C 2,2 D 0,2 2.设 ，若复数3i （ i 是虚数单位）的实部为 2，则复数 z 的虚部为（ ） A 7 B C 1 D 1,2)a ， ( , 4)，若 | | | 0a b a b ，则实数 m 等于（ ） A B 4 C D 2 ，5，则 , ） A B c b a C. c a b D b c a 出 S 的值为（ ） A 3115B 75C. 3117D 2117 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A 100,8 B 80,20 C. 100,20 D 80,8 ： 22 1 ( 0 , 0 )xy 的右焦点为 F ，点 B 是虚轴上的一个顶点，线段 双曲线 C 的右支交于点 A ，若 2F ，且 | | 4，则双曲线 C 的方程为（ ） A 22165B 2218 12C. 22184D 22146该几何体的体积为（ ） A 323B 163C. 83D ( ) s i n ( 2 ) ( 0 , )48f x x x ，若方程 ()f x a 恰好有三个根，分别为1 2 3,x x x（1 2 3x x x），则1 2 3x x x的取值范围是（ ） A 95 , )84B 5 11 , )48C. 3 13 , )28D 7 15 , )48 2 02 6 003 ，且 ( 2 )z m x y m 的最小值为 52，则 m 等于（ ） A 54B 56C. 1 D 三个顶点都在球心为 O 、半径为 3 的球面上，且三棱锥 O 高为 2，点 D 是线段 中点，过点 D 作球 O 的截面，则截面面积的最小值为（ ） A 154B 4 C. 72D 3 )y f x 图象上不同两点1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x 定|( , ) |B 叫做曲线在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”设曲线 上不同的两点1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，且121，若 ( , ) 3t A B恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ） A ( ,3 B ( ,2 C. ( ,1 D 1,3 第 卷 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 2 3 4 50 1 2 3 4 5(1 2 )x a a x a x a x a x a x ，则32 , ) , ( 9 , )A y B 2 ( 0 )y p x p上的两点，210，点 F 是它的焦点，若 | | 5 | |F ，则 212值为 章算术有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金 12，第 2 关收税金为剩余金的 13，第 3 关收税金为剩余 金的 14，第 4 关收税金为剩余金的 15，第 5 关收税金为剩余金的 16 5关所收税金之和，恰好重 1 斤，问原本持金多少？ ”若将题中“ 5 关收税金之和，恰好重 1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为 x ，按此规律通过第 8 关 ” ，则第8 关需收税金为 x 中，角 ,对的边分别是 ,1，且 c o s c o s 2a B b A，则 面积的最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在数列 12a ， n 项和1( ) ( )22 *()， ( 2 1)n a， 前 n 项和为 （ 1）求数列 （ 2）若13233( )等差数列，求实数 m 的值 18. 如图，在三棱柱1 1 1 B C中，侧面11 1 1 60A C C C C B ， 23 （ 1）求证：11C； （ 2）若1 3211二面角11C 的余弦值 19. 在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”，某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取 5 名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表： （ 1）求数学成绩 y 关于物理成绩 x 的线性回归方程 y b x a（ b 精确到 若某位学生的物理成绩为 80 分，预测他的数学成绩； （ 2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以 X 表示选中的学生的数学成绩高于 100 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 （参考公式： 1221()y n x n x， a y ） 参考数据： 2 2 2 2 29 0 8 5 7 4 6 8 6 3 2 9 3 9 4 ， 9 0 1 3 0 8 5 1 2 5 7 4 1 1 0 6 8 9 5 6 3 9 0 4 2 5 9 5 . 20. 设椭圆 C ： 22 1 ( 0 )xy 的左、右焦点分别为12,顶点为 A ，过 A 与2x 轴负半轴于 Q 点，且1 （ 1）若过2, 4 7 0 相切，求椭圆 C 的 方程； （ 2）在（ 1）的条件下， B 是椭圆 C 的左顶点，过点 3( ,0)2x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 ,线 ,F 分别交直 线 83x于 ,直线 ,R 的斜率分别为12,问：12是，求出该定值；若不是，请说明理由 21. 已知函数 2( ) 2 l n 3 1 1f x x x x （ 1）求曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （ 2）若关于 x 的不等式 2( ) ( 3 ) ( 2 1 3 ) 2f x a x a x 恒成立，求整数 a 的最小值； （ 3）若正实数12,21 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) 1 2 ( ) 4f x f x x x x x ，证明：122 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 以 直角 坐标 系的 原点 O 为极点， x 轴 的 正半轴为极轴， 且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线 l 的参数方程为 s c o （ t 为参数， 0 ），曲线 C 的极坐标方程为2c o s 8 s i n （ 1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 , 变化时，求 |最小值 等式选讲 已知函数 ( ) | 2 |f x x （ 1）求不等式 2( ) 4 0f x x 的解集； （ 2）设 ( ) | 7 | 3g x x m ，若关于 x 的不等式 ( ) ( )f x g x 的解集非空，求实数 m 的取值范围 试卷 答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 14. 10 15. 17216. 52三、解答题 17.（ 1）由 1*1 1( ) ( )2 n N ，得 1*1 1( ( )2 n N ， 又1 12a ，故 1()2 *()，从而 212n . 233 5 7 2 12 2 2 2 ， 2 3 4 11 3 5 7 2 12 2 2 2 2 ， 两式相减并整理得： 2552n . （ 2）由（ 1）可得：1 32T，2 114T ，3 298T ， 又因为1 3 2 2 3, , 3 ( )T T m T T T成等差数列， 所以 3 2 9 1 1 2 9 1 13 ( ) 22 8 4 8 4 m ，解得： 9722m. 18.（ 1）证明：连接1111正三角形， 取1 ，连接1,1A，11B，从而1面11 （ 2）解：由（ 1）知，1 3B，又1 32满足 2 2 211O A O B A B，所以1B，平面 11 如图所示，分别以11,C 则 (0, 3 , 0)C ，1(3,0,0)B， (0,0,3)A ，1(0, 3, 0)C，1 (0, 2 3, 3)A，13 3 3(0 , , )22D ， 设平面1 , , )m x y z ，因为1 (3, 0, 3)， ( 0 , 3 , 3 ) ， 所以 3 3 03 3 0 ，取 (1, 3 ,1)m ， 设平面11n ，因为13 3 3( 0 , , )22，113 3 3( 3 , , )22 ， 同理可得取 ( 3 ,1, 3 )n . 则 3 1 0 5c o s ,35| | | | 57 ，因为二面角11C 为钝角 . 19.（ 1） 9 0 8 5 7 4 6 8 6 3 765x ， 1 3 0 1 2 5 1 1 0 9 5 9 0 1105y ， 5 1522155 ( )y x 24 2 5 9 5 5 7 6 1 1 0 7 9 5 1 . 52 9 3 9 4 5 7 6 5 1 4 ， 1 1 0 1 . 5 7 6 4a y b x ， 所以 ， 当 80x 时， 116y . （ 2）随机变量 X 的可能取值为 1,2,3， 而 2123353( 1 )10 ， 1223353( 2 )5 ， 33351( 3 )10 ， 所以随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 31035110所以 3 3 11 2 3 1 . 81 0 5 1 0 . 20.（ 1）由题意知： (0, )1( ,0)2( ,0) ( 3 , 0)，因为2 90， 所以 223. 由题意知：2接圆的圆心为斜边2,0)半径等于 2c . 因为过2, 4 7 0 相切，所以1( ,0)直线的距离等于半径 2c ，即 | 3 7 | 25c c，解得 1c ， 2233， 2 2 2 4a b c ， 所以，椭圆 C 的方程为 22143. （ 2）设1 1 2 2( , ) , ( , )E x y F x y，直线 方程为 32x ，由2214332 消去 x 得： 224 ( 3 4 ) 3 6 2 1 0m y m y ， 所以12 2364 ( 3 4 )m ，12 2214 ( 3 4 )yy m ， 由 ,B E M 三点共线可知：118 223，即11143( 2 )x ， 同理可得：22143( 2 )x ，所以 12121236 648 3 8 3 4 9 4 ( 2 ) ( 2 )3 2 3 2N M NM y y yy y ， 因为 21 2 1 2 1 2 1 24 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 7 ) ( 2 7 ) 4 1 4 ( ) 4 9x x m y m y m y y m y y ， 所以 212 22222164124 ( 3 4 )2 1 1 4 3 6 744 ( 3 4 ) 4 ( 3 4 ) ，故12定值为 127. 21.（ 1）因为 2( ) 6 1 1f x ， (1) 15f ， (1) 14f ， 所以切线方程为 1 4 1 5 ( 1 ) ，即 15 1 . （ 2）令 22( ) ( ) ( 3 ) ( 2 1 3 ) 2 2 l n ( 2 2 ) 2g x f x a x a x x a x a x ， 所以 2( ) 2 ( 2 2 )g x a x 22 ( 2 2 ) 2a x a ， 当 0a 时，因为 0x ，所以 ( ) 0，所以 () (0, ) 上的递增函数， 又因为 ( 1 ) 2 2 2 3 4 0g a a a ，所以关于 x 的不等式2( ) ( 3 ) ( 2 1 3 ) 2f x a x a x 不能恒成立 . 当 0a 时， 2 12 ( ) ( 1 )2 ( 2 2 ) 2() a x xa x a x ， 令 ( ) 0，得 1所以当 1(0, )， ( ) 0；当 1( , )时， ( ) 0， 因此函数 () 1(0, ) 1( , )a 上是减函数，故函数 ()最大值为1 1 1 1( ) 2 l n 2 l n 0a a a . 令 1( ) 2 a ， 则 () (0, ) 上是减函数， 因为 (1) 1 0h ， 11( 2 ) 2 l n 2 2 l n 022 ， 所以当 2a 时， ( ) 0，所以整数 a 的最小值为 2 （ 3）由 221 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 ( ) 1 2 ( ) 4f x f x x x x x ，得 221 2 1 2 1 22 l n ( ) ( ) ( ) 4x x x x x x ， 从而 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 2 l n ( ) 4x x x x x x x x ， 令12t 则由 ( ) 2 2 l n 4t t t ，得 2 ( 1)() ，可知 ()t 在区间 (0,1) 上单调递减，在区间 (1, ) 上单调递增， 所以 ( ) (1)