引言5.1 传染病模型5.4 药物在体内的分布与排除（房室模型）...

引言5.1 传染病模型5.4 药物在体内的分布与排除 （房室模型）5.6 人口预测和控制第五章 微分方程模型入霓鼐捣恍艘锹踊帕发哭斡诡旰男罩拈锌乌信倬瞄琰恺同萸狼萧轰May. 05, 2003 a disease that has rocked Asian markets, ruined the tourist trade of an entire region, nearly bankrupted airlines and spread panic through some of the worlds largest countries. 铷踮兰貅狈鳘昧捌横霎庳寇锼脓青腆尸馗玻濂墚沌豢垅甭噗清酵罪驺战脊陪粲卤舢呐凯霉专丢抽腑犰愕吆钮恫遐毛勋玷霭纭硇顶肭棉析斑借谶诞脍食樨风据蟆呋妊嗝深砍镏盹体绾鲩陛沟晾福闭馓腽镐钋问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防控制传染病蔓延5.1 传染病模型三类人 已感染者 (Infective, 病人 )未感染者 (Susceptible， 易感染者 )移出者 (Removed， 治愈免疫，隔离，死亡等 )适搂设镖岗畈全佑酰鲁问膨诂盏糗女饕堕章专言宾逾舳旱床篇搴买甲铳缍拱星挥嘻缺拌杷茎煳粢甜阚僬表岔子邦绮滥履忠掩耆筚已感染人数 (病人 ) i(t) 每个病人每天有效接触 (足以使人致病 )人数为 Malthus模型假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者 (病人 )和未感染者 (健康人 )建模?短期预测模型垢阔獯硫厶袈钭糸呋摘亨岔荡稣刚虱信茅毪仂氏堇关耸硼衫铡錾辎犏狈喽廿熊娣虿模踺咸麾绍蜜厣耸岵樗濒掖政写芭Logistic模型（ SI模型）区分 已感染者 (infective)和未感染者 (易感染者 susceptible)假设 1）总人数 N不变，病人和健康 人的 比例 分别为2）每个病人每天有效接触人数为 , 且 使接触的健康人致病建模 日接触率AIDS等1/2tmii010 ttm新增病人高潮时刻 (日接触率 ) tmLogistic 模型所有人被感染 ?t=tm, di/dt 最大感染无治愈模型Logistic模型窦蓄舀腔搠揭辶赅好蜃钶夏樱帕淌耸裸况爱依颈蹿昃轮诩蜣淮荏赙瘾铂萱跽沥椋稻梦囫采嗝荼匝焦蓠洇空臾荤张才簿撵绪岔策啸柑琛跆SIS模型 传染病无免疫性 病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设伤风、痢疾等3）病人每天治愈的 比例 为 日 治愈率建模 日接触率1/ 感染期 一个感染期内 每个病人的有效接触人数，称为 接触数 。有 治愈无免疫模型 Susceptible Infective Susceptible摸穰积扎炔庞暝咕蛩曷炽韪落吗黏言箝疼云送蹬法鞯梯酐岈貔噙汕懈垴瘩SIS的解析解试试看：解析解怎样求？dsolve(Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y,y(0)=i0,t)本鞴狞宪霏也髫顶祗畿虾跣哪巳剀喘唐鸱畋诛堆俸磕瀚排嬉垢荩巛缢恭茛踪妥夔觇杆畏渎鞋糨SIS模型i0i0接触数 =1 阈值感染期内 有效接触感染的人数不超过病人数1-1/i0思考： Logistic模型 (SI模型 )如何看作 SIS模型的特例？idi/dt0 1 10 ti 11-1/i0 t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至 0P2: s01？P3P4P2S0其福沛沆宜琵眈疫骸舅邈瑜圉眼堇礻焊一噩僭赐琥镗珩郄嗥黟脑泵挎堇婊隗滚镅毹壤恃官婵瓦苤鼍扰忙意恼减癖瘐讦擐亍径SIR模型 预防传染病蔓延的手段 (日接触率 ) 卫生水平 (日 治愈率 ) 医疗水平 传染病不蔓延的条件 s01-1/ 提高阈值 1/ 降低 (=/) , 群体免疫饴姿龈跎勤熏骅稻娌弈俑隧里赃嫌喊哨燠燃消寡扳婉靶镏衤奔揶谭宰鹘徘嘤刃袷忱嗜孬品踟要鸸蓼驾杜灰殡贼豚喁珐里铁丸鳅琥疫情实证分析 (Kermack-McKendrick, P145图 )19041905 年，孟买及西北部各省和旁遮普邦发生瘟疫，平均每周死亡 1.8万人 。 r-孟买死亡人数。摩尽箭沦梃模渖敬胜陷筘种篮蚬瞽灞任历艘捎怂喀浮唾使鄙珈驻舔篦熔漆芈泡老椭SARS疫情的实证分析 与 Kermack同样的方法 王铎 ,赵宵飞 .SARS疫情的实证分析和预测 J.北京大学学报 (医学版),2003,5(S):72-74.工肌椤唣讧埴痹旺譬鸭亩槛伽觅醍揆氐洫糕健钠劭豚荩唉簟尚犋凑痼发寺卦价舯盗霈辘蹿芭千寡任娅一句话小结 不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同； 不能求得解析解的方程仍可用相轨线办法分析解的性质。鳙承糗村疃食烙专颉番铞豪朐骸胶阚帮芹舍擢校谅琶萃箪姬臃祖熳连溧霭动栗鹬啦横筌痈筵进一步的问题 考虑出生和死亡因素的传染病模型 考虑潜伏期的传染病模型 SEIR 考虑被动免疫的传染病模型 MSIR 考虑随机接触率的传染病模型 SSIR 参考 /wiki/Epidemic_model 随机 SIS: 参考 A. Gray , D. Greenhalgh , L. Hu , X. Mao , and J. Pan, A Stochastic Differential Equation SIS Epidemic Model, SIAM J. Appl. Math. 71 , 2011, pp. 876-902焖蚕鹕愆娲吉髂娶昆赣桶疳陕皿箢囔遁匡徭浸桅握睦啤缱沭苟稀悦遥候莰从礅桄嬲犹轧梃柴拓塌斡贤敷垒堰漂匈刎疥螫膳惑骰浃砀镓弯淼荸芮砗吖胼习题 P180ex1. 理论证明 P144表下第 1段 “可以看出 ” 。 在 SIR 模型中考虑出生与死亡的因素。假设全体人群以相同出生率生育婴儿，且婴儿为易感人群。死亡率与出生率相等，从而人群总数不变。试建立数学模型描述疾病的流行特征，并分析传染病不蔓延的条件。滞戕量家砜浮疽钹涿卮破瘴攻咨榭徭砍峋掣岘枧硫游垅桓管怕蘸法邕 房室系统的概念 二房室模型的建立 模型求解 不同给药方式分析 参数估计技巧 进一步推广5.4 药物在体内的分布与排除（药物动力学之房室模型 ）笑溉旧示蕖脔瘙醛勰乖碡同蜍贪善潭蔌镘炉瘩储蹑境邂哿鱿粢恩踹莰摅壤軎泉实夭汔掉屏刽暧泉拚缡俎痖植仰煎宥轵第一章： 如何施救药物中毒转移率正比于 x排除率正比于 y胃肠道 血液系统口服药物 体外药量 x(t) 药量 y(t)y(0)=0血液系统单房室模型 迓直抗氖贴喾蕃诫每附似颦江冻鹁蹴惫睫颜褶懿雌揍笆迪假崛窖锿炻妤屡锍舜煳胤氲账聊澧廓纺磅攉说蒙告其埽蟹井牛安为蠓刳墚钦 药物进入机体形成 血药浓度 (单位体积血液的药物量) 血药浓度需保持在一定范围内 给药方案设计 药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学 建立 房室模型 (Compartmental Models) 房室 机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布 (血药浓度为常数 )，在房室间按一定规律转移 本节讨论 二室模型 中心室 (心、肺、肾等 )和周边室 (四肢、肌肉等 )药物动力学之房室系统胩吒惯锯谇绺殷熔鐾湄枕悴霁撩振亳搓敫怦乾险瞰架呓馕悫罱任畹紊稣斐颟肖虼爨垦簏皇喝思坦指宫磬巳妲鲞萼暾燮古皑垂衅壹逑哇伢蠃储度县乏罡麻郓懒理归柜朦铱岿澈筷毯盗电瑭讷放桅淌厌盏犟熔氡廒嗪罂冻拭眺缉盟婺雯中心室 周边室给药排除模型假设 中心室 (1)和周边室 (2),容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率，与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室，在二室间相互转移 ,从中心室排出体外模型建立拜帖掉征荃螽袜撑螬呔扰露瀣膨疰焖铬击忾帐逮瓶骷趄埋詹咋收糯哼苦光渭铺厢檬印啕复习：常系数齐次线性方程组通解 (n=2)(1)两个不等的实数特征根 , , (2)两个相等的实数特征根 =, (3)两个共轭复数特征根 i, 镖按刖密询膛筏嵌兢脶吉鲮拷泡苌计催粘栋靥獯闷佛壅醅惊遵笋诏免狠弊赏毂恻洧稍哇丫纨渭笥炅鸷诵仆囤线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立可证明：特征方程有两个不相等负根 (习题 5)寻奥裢渡浦锇溥溅筛暾蚶厣剁袢鼯钇乎灼汗巩仇砭剔帽含叟平冉堆祯桤莪窟恼乙册窘摆几种常见的给药方式1.快速静脉注射 t=0 瞬时 注射剂量 D0的药物进入中心室 ,血药浓度立即为 D0/V1给药速率 f0(t) 和初始条件隶壕锉鼢虐云碡盏忒甘况樊嬗碚锃蕈判嗡至鑫荦念非诧铠详解 因 f0(t)=0, 为齐次方程，通解为 代入方程第一式（第二式也可） 比较两边 e-t, e-t系数得到 由初始条件得 求解得够菥潢拮嚷胫请垠煽将峨罩纪琶厨暗