期末复习：立体几何初步

1.1 空间几何体（空间几何体的结构）【知识要点 】一：棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱3、棱柱的表示方法：用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、；用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱 或棱柱 等；五棱柱可表示为棱柱 、棱柱 等；六棱柱可表示为棱柱 、棱柱 、棱柱 等4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.二：棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥这个多边形面叫做棱锥的底面有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ；3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥；三：圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱旋转轴叫做圆柱的轴垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱四：圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥旋转轴叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥 五：棱台和圆台的结构特征、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥 )，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台 ；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台 ；注：圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.六：球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球 O.七：特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：八：简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：由简单几何体拼接而成的简单组合体；由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体的组合；旋转体与旋转体的组合.九：常见几何体的三视图： 1、圆柱的正视图和侧视图是全等的矩形，俯视图为圆；2、圆锥的正视图和侧视图是三角形，俯视图为圆和圆心；3、圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图为两个同心圆；4、球的三视图都是圆.注：1、三视图的排列方法是侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下面；2、一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样，即：长对正，高平齐，宽相等.【方法指导】： 1根据几何体特征的描述判断几何体形状(1)根据几何体的结构特点判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力(2)圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面2几何体中的计算问题几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧：(1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关 (2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来(3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一(5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决(6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球“为“圆“，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间“为平面【经典例题】： 例 1、如果两个面互相平行，其余各面均为四边形的几何体一定是棱柱这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例举一反三：【变式 1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例例 2、描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称. (1)由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形； (2)如图，一个圆环面绕着过圆心的直线 旋转 .例 3、若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为 2，底面周长为 9，求棱锥的高. 例 4、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是 3cm，求圆台的母线长. 例 5、圆锥底面半径为 1cm，高为 ，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 例 6、画出下列各几何体的三视图： 解析：这两个几何体的三视图如下图所示.总结升华：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来，绘制三视图，就是由客观存在的几何物体，从观察的角度，得到反应物体形象的几何学知识.例 7、画出下列三视图所表示的几何体. 解析：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体轮廓，如下图所示.总结升华：根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力.由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致.依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面.在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件进行加工制作.【基础达标 1】 1一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A.底面是正方形，有两个侧面是矩形B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱2下列说法中正确的是( )A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D.圆锥侧面展开图为扇形、这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3下列说法错误的是( )A.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等B.九棱柱有 9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形C.六角螺帽、三棱镜都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形4用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是( )A.六边形 B.菱形 C.梯形 D.直角三角形5下列说法正确的是( )A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6设圆锥母线长为 ，高为 ，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为_.7若长方体的三个面的面积分别是 ，则此长方体的对角线长为_.【基础达标 2】： 1右图的几何体是由下面哪个平面图形旋转得到的( ).2下列几何体的轴截面一定是圆面的是( ).A圆柱 B圆锥 C球 D圆台3把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是( ).A圆锥 B圆柱 C圆台 D由两个底面贴近的圆锥组成的组合体4圆锥的底面半径为 r，高为 h，在此圆锥内有一个内接正方体，则此正方体的棱长为( ).A B C D5将一个半径为 R 的木球削成尽可能大的正方体，则正方体的体积是_.6三棱柱的底面为正三角形，侧面是全等的矩形，内有一个内切球，已知球的半径为 R，则这个三棱柱的底面边长为_.【基础达标 3】： 1如果一个几体体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是( ).A棱柱 B棱台 C圆柱 D圆锥2右图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右部分别是( ).A圆锥，圆柱 B圆柱，圆锥 C圆柱，圆柱 D圆锥，圆锥3下右图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( ).4一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是( ).A球体 B圆锥 C圆柱 D长方体5如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有 A，B，C，D，E，F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母 A，B，C 对面的字母分别为( ).AD，E，F BF，D，E CE，F，D DE，D，F6一个几何体的三视图中，正视图、俯视图一样，那么这个几何体是_.(写出三种符合情况的几何体的名称)【能力提升】： 1长方体的全面积为 11，十二条棱的长度之和为 24，求这个长方体的一条对角线长.2如图所示，长方体 .(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示.如果不是，说明理由.3正四棱锥(棱锥底面是正方形，侧面都是全等等腰三角形)有一个内接正方体，它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上.若棱锥的底面边长为 a，高为 h，求内接正方体的棱长.4一个四棱台的上、下底面均为正方形，且面积分别为 、 ，侧面是全等的等腰梯形，棱台的高为 h，求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).【答案与解析】：基础达标 1： 1.D 2.C 3.D 4.D 5.C； 6. ； 7. .基础达标 2： 1.A 2.C 3.D 4.C 5. ； 6.基础达标 3： 1.D 2.B 3.D 4.D 5.D； 6球、圆柱、圆锥能力提升： 1解：设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，则 ，而对角线长.2解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.(2)截面 BCNM 的上方部分是三棱柱 ，下方部分是四棱柱 .3解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为 x，则 ，解得.4解：上、下底面正方形的边长为 、 ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为 ；斜高为 .（空间几何体的直观图、表面积和体积）【学习目标】： 1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图；2.采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点；3.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；4.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；5.能运用球的面积和体积公式解决实际问题；6.培养空间思维能力和空间想象能力.【重点】： 1.用斜二测画法画空间几何体的直观图；2.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积计算.【难点】： 1.用斜二测画法画空间几何体的直观图；2.柱体、锥体、台体和球体的表面积和体积计算；3.台体体积公式的推导；4.推导体积和面积公式中空间想象能力的形成.【知识要点】一：平面图形的直观图要点诠释：1.用来表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图；2.用斜二测画法画平面图形的步骤：(1)建系：在已知图形中建立直角坐标系 ，画直观图时，把它们画成对应的 轴和轴，两轴交于点 ，且使 (或 )；(2)位置关系：已知图形中平行于 轴和 轴的线段在直观图中分别画成平行于 轴和轴的线段；(3)长度规则：已知图形中平行于 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 轴的线段，长度变为原来的一半.二：表面积和体积要点诠释：1.柱体的表面积和体积：柱体的表面积是侧面积与上、下底面面积之和.直棱柱的侧面展开图是矩形，上下底面面积相同；圆柱的侧面展开图是矩形，上下底面面积相同；设柱体的底面周长为，高为 ，则侧面积为 ； ；柱体的体积为 ；2.锥体的表面积和体积：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成的，因此侧面积为各个三角形面积之和，所以表面积公式为 ；体积公式为 ；一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的底面半径为，高为 ，母线为 ，则圆锥的侧面积，圆锥的表面积 ；圆锥的体积为 ；3.台体的表面积和体积：棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，因此侧面积为各个梯形面积之和，一个圆台的侧面展开图是一个扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积，所以它们的表面积为 ；圆台的上底面半径为 ，下底面半径为，则圆台的侧面积为 ，圆台的表面积为：；台体的体积为 ，其中 为台体的上底面积， 为台体的下底面积；4.球体的表面积和体积：半径为 的球体的表面积为 ，体积为 ；若两个球体的半径为 和 ，则球体的表面积之比为 ；体积之比为 .注：1.圆锥的底面半径 、高 和母线 的关系为 ；2.解题时注意区分所求的是侧面积还是表面积；3.认清所求的几何体是柱、锥、台中的哪一类，是“棱”还是“圆”.【方法指导】1.柱体、锥体和台体的体积公式有何联系？柱、锥、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体，因而体积会有以下的关系：2.圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式有何联系？圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上、下底面全等的圆台，圆锥可以看作是上底面退化成一点的圆台，因而它们的侧面积有以下关系：【经典例题】： 例 1、画出水平放置的等边三角形的直观图. 解：画法，如图：(1)在三角形 ABC 中，取 AB 所在直线为 x 轴，AB 边的高所在直线为 y 轴；画出相应的 轴和 轴，两轴交于点 ，且使 ；(2)以 为中点，在 轴上取 ，在 轴上取 ；(3)连接 、 ，并擦去辅助线 轴和 轴，便获得正ABC 的直观图 .总结升华：斜二测画法的作图技巧：1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2.在原图中平行于 轴和 轴的线段在直观图中仍然平行于 轴和 轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面 垂直的 轴，平行于 轴的线段长度保持不变.举一反三：【变式 1】等腰梯形 ABCD，上底边 CD=1，腰 ，下底 AB=3，按平行于上下底边取 x 轴，则直观图 的面积是多少？思路点拨：由平面图准确的画出直观图是解题的关键；解：1.以等腰梯形的下底边 所在直线为 x 轴，以过 D 点的高所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 ；过 C 点做垂直于 AB 的直线与 AB 相交于点E；DC=1， ，AB=3，AO=OE=EB=DO=1；2.建立坐标系 ， ，在 轴上取 ，且 ，在 轴上取线段 ；过 点做 ；连接 和 ，则梯形 为等腰梯形 ABCD 的直观图；3.过 点做垂直于下底边 的垂线段 ，则 为等腰直角三角形，斜边，所以梯形 的高 ； 4.梯形面积 .【变式 2】正方形 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？思路点拨：由直观图画原图的过程与原图画直观图的过程相反，即1.直观图中平行于 轴和 轴的线段在原图中分别为平行于 轴和 轴的线段；2.直观图中平行于 轴的线段，在原图中保持长度不变；平行于 轴的线段，长度变为原来的两倍.解：1.建立平面直角坐标系，在 x 轴上取 ；2. 为正方形 的对角线，且在 轴上，则 ，所以在 y 轴上取；3.取 ，且平行于 x 轴；4.连接 AB、CO，所得图形 OABC 即为直观图 的原图；四边形 OABC 为平行四边形；5.因为 ， ，由勾股定理，BA=3，所以平行四边形 OABC 周长为 8.例 2、一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是 2、3、6，则长方体的体积是多少？ 思路点拨：求长方体体积，只需知道长方体的长、宽、高.解：设长方体的长宽高分别为 、 、 ，则 ， ， ，三式相乘得；所以，长方体的体积为 6.例 3、一块边长为 10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积 V 与底边边长 x 的函数关系式. 解：如图，在 中， ， ，所以 ， .例 4、有一种空心钢球，质量为 142g，测得外径等于 5cm，求它的内径.(钢的密度为，精确到 )解：设空心球内径(直径)为 ，则钢球质量为， ， ， 直径 ，即空心钢球的内径约为 4.5cm.例 5、表面积为 324 的球，其内接正四棱柱的高是 14，求这个正四棱柱的表面积. 解：设球半径为 R，正四棱柱底面边长为 a，则作轴截面如图， ，又 ， ， ， ， ， 举一反三：【变式 1】(四川)如图，正四棱锥 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆上，点 P 在球面上，如果 ，则球 O 的表面积是A4 B8 C12 D16解：如图，正四棱锥 底面的四个顶点 A，B，C，D 在球 O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO底面 ABCD，PO=R， ， ，所以 ，球 O 的表面积是 16，选 D.例 6、已知圆台的上下底面半径分别是 2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长. 解：设圆台的母线长为 ，则圆台的上底面面积为 ，圆台的上底面面积为 ，所以圆台的底面面积为 ，又圆台的侧面积 ，于是 ，即 为所求.例 7、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积.解：由三视图知正三棱柱的高为 2mm.由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为 .设底面边长为 a，则 ， . 正三棱柱的表面积为.【基础达标】：一、选择题1下列说法正确的是( )A相等的线段在直观图中仍然相等B若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C两个全等三角形的直观图一定也全等D两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形.2用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( )A8 B C D3圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为 84 ，则圆台较小底面的半径为( )A7 B6 C5 D34一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A B C D5三棱锥 的底面 ABC 的面积为 12，顶点 V 到底面 ABC 的距离为 3，侧面 VAB 的面积为 9，则点 C 到侧面 VAB 的距离为( )A3 B4 C5 D66正方体的内切球和外接球的半径之比为( )A B C D7长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ).A25 B50 C125 D都不对8一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的 3 倍，圆锥的高与底面半径之比为( )A B C D二、填空题1一个平面的斜二测图形是边长为 2 的正方形，则原图形的高是_.答案：42利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：三角形的直观图仍是三角形；正方形的直观图仍是正方形；平行四边形的直观图仍是平行四边形；菱形的直观图仍是菱形.其中说法正确的序号依次是_.3已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1:2，则它们的高之比为_.4若三个球的表面之比是 1:2:3，则它们的体积之比是_.5一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2cm，则这个球的表面积为_，体积为_.三、解答题1有一个正四棱台形状的油槽，可以装油 190L，假如它的两底面边长分别等于 60cm 和40cm，求它的深度为多少？【能力提升】：一、选择题1对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( ).A2 倍 B 倍 C 倍 D 倍2如图所示的直观图，其平面图形的面积为( ).A3 B6 C D 3已知正方形的直观图是有一条边长为 4 的平行四边形，则此正方形的面积是( )A16 B16 或 64 C64 D以上都不对4一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形，对角线长分别是 9cm 和 15cm，高是 5cm.则这个直棱柱的侧面积是( ).A B C D5若干毫升水倒入底面半径为 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是( ).A B C D6一棱台的上底面积为 16，下底面积为 64，它的中截面将它分为两个棱台，则上下两个棱台的体积之比为( ).A2：3 B3：5 C19：37 D18：377.有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位：cm)，则该几何体的表面积及体积为( ).A BC D以上都不正确8(广东)在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( ).A B C D二、填空题1关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y 轴，长度变为原来的 ；画与直角坐标系 对应的 必须是 45；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；梯形的直观图仍然是梯形；正三角形的直观图一定为等腰三角形.其中说法正确的序号依次是_.2已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 ， ， ，则此棱锥的体积_.三、解答题1六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是 8cm 和 18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为 13cm，求它的表面积.【综合探究】： 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为 12m，高 4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4m(高不变)；二是高度增加 4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？【答案解析】：基础达标： 一、选择题：BBAAB，DBC二、填空题：1、 或 ； 2、； 3、 ；4、 ； 5、 ， .三、解答题：解：由题意有 ， ， 即油槽的深度为 75cm.能力提升： 一、选择题：CBBA BCAD二、填空题：1、；2、三、解答题：1解：一个侧面如右图，易知 ， .则 ，所以，表面积为综合探究： 解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成 16m，则仓库的体积 .如果按方案二，仓库的高变成 8m，则仓库的体积 .(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成 16m，半径为 8m.棱锥的母线长为则仓库的表面积 ；如果按方案二，仓库的高变成 8m，棱锥的母线长为 ，则仓库的表面积 ；(3) ， ， 方案二比方案一更加经济.1.2 点、线、面之间的位置关系（空间点、直线、平面之间的位置关系）一、目标认知学习目标： 1.利用生活中的实物对平面进行描述；掌握平面的表示法及直观图；掌握平面的基本性质及作用；2.了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法；理解并掌握公理 4；理解并掌握等角定理；异面直线所成角的定义、范围及应用；3.了解空间中直线与平面的位置关系；了解空间中平面与平面的位置关系；4.培养空间想象能力.重点： 1.平面的概念及表示；平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言；2.异面直线的概念；公理 4 及等角定理；3.空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.难点： 平面基本性质的掌握与运用；异面直线所成角的计算；用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.二、知识要点（一）：平面的基本概念1.对平面概念的理解：平面是最基本的概念，可以用它来定义其它概念，但不能定义它.平面的基本特征是无限延展性.2.平面的画法：通常画平行四边形表示平面；注意：(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成 ，横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3.平面的表示法：(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面 、平面 、平面 等；(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面 ；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面 或者平面 ；4.点、直线、平面的位置关系：(1)点 A 在直线 a 上，记作 ；点 A 在直线 a 外，记作 ；(2)点 A 在平面 上，记作 ；点 A 在平面 外，记作 ；(3)直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作 ；（二）：平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1.公理 1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；(2)符号语言表述： ， ， ， ；(3)图形语言表述：(4)作用：判断直线是否在平面内的依据.2.公理 2：(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；(2)符号语言表述： 、 、 三点不共线 有且只有一个平面 ，使得 ， ；(3)图形语言表述：(4)公理 2 的推论：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；过两条相交直线，有且只有一个平面；过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3.公理 3：(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；(2)符号语言表述： 且 ；(3)图形语言表述：(4)作用：两平面相交的依据.（三）：空间两直线的位置关系1.空间两条直线的位置关系：(1)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2.异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.3.异面直线的判定方法：利用定义判断两直线不可能在同一平面内；4.平行直线：公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；符号表示为： ， .公理 4 说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角：概念：直线 a、b 是异面直线，经过空间一点 O，分别引直线 ， ，把 与 所成的锐角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)；当两条异面直线所成的角是直角时，这两条异面直线互相垂直.异面直线所成角 的取值范围是 ；求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.（四）：直线和平面的位置关系1.直线和平面平行：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.如果直线 a 和平面 平行，记作 .直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表述： ， ，且 .2.直线和平面相交：如果一条直线和一个平面只有一个公共点，那么这条直线和这个平面相交.如果直线 a 和平面 相交与点 ，记作 .3.直线在平面内：如果一条直线上的所有的点都在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，记作 .（五）：两个平面的位置关系1.两个平面平行没有公共交点；若平面 平行于平面 ，记作 ，如下图：2.两个平面相交有一条公共直线.三、方法指导1.点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.(1)证明点线共面的主要依据：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(2)证明点线共面的常用方法：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 、 重合；反证法.(3)具体操作方法：证明几点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面，再证明其余点都在这个平面内；证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内.2.证明三点共线问题所谓点共线就是证明三个点或三个以上的点在同一条直线上.(1)证明三点共线的依据是公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线，也就是说一个点若是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上.对于这个公理应进一步理解下面三点：如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；如果两个相交平面有三个公共点，那么这三个点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.(2)证明三点共线的常用方法先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理 3，这些点都在交线上；选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.经典例题例 1.求证：两条相交直线确定一个平面. 思路点拨：公理 2 用于确定一个平面.证明：如图：已知直线 ，在 上任取与 A 不重合的一点 B，在 a 上任取与不重合的一点 C，则 A、B、C 三点不共线，由公理 2，A、B、C 三点确定一个平面，设为 ；B、A 点在直线 上，且 B、A 点在 上，由公理 1， ；同理 ；两条相交直线 a、 确定一个平面 .总结升华：证明点线共面的主要依据：1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；2.经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.举一反三：【变式 1】已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【答案】如图证明：因为 ab，由公理 2 的推论，存在平面 ，使得 ， .又因为直线 d 与 a、b、c 分别相交于 A、B、C，由公理 1， .假设 ，则 ，在平面 内过点 C 作 ，因为 ，则 ，这与 矛盾，故直线 .综上述，a、b、c、d 四线共面.【变式 2】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线 AB、BC、CA 两两相交，交点分别为 A、B、C，求证：直线 AB、BC、CA 共面.思路点拨:先依据公理 2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理 1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.证明：因为 A，B，C 三点不在一条直线上，所以过 A，B，C 三点可以确定平面 ，因为 ， ，所以 .同理 ， .所以 AB，BC，CA 三直线共面.【变式 3】在正方体 中，(1) 与 是否在同一平面内？ (2)点 B， ，D 是否在同一平面内？(3)画出平面 与平面 的交线，平面 与平面 的交线.解：(1)在正方体 中， ，由公理 2 的推论可知， 与 可确定平面 ， 与 在同一平面内.(2)点 B， ，D 不共线，由公理“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面“可知，点 B， ，D 可确定平面 ，点 B， ，D 在同一平面内.(3) ， ，点 O 平面 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，同理平面 平面 .例 2.已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边 AB、AD、CB、CD 上的点，且直线 EF 和 HG 交于点P，如图所示，求证：点 B、D、P 在同一条直线上 思路点拨:由题设，我们很容易知道 B，D 在平面 ABD 和平面 CBD 交线上，现只需再证明 P也在两平面交线上即可证明：如上图， 直线 EF直线 HG=P， P直线 EF，而 EF 平面 ABD， P平面 ABD同理，P平面 CBD，即点 P 是平面 ABD 和平面 CBD 的公共点显然，点 B、D 也是平面 ABD和平面 CBD 的公共点，由公理 3 知，点 B、D、P 都在平面 ABD 和平面 CBD 的交线上，即点B、D、P 在同一条直线上总结升华：证明三点共线通常采用如下方法：1.首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 知，这些点都在交线上2.选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上 举一反三：【变式 1】已知ABC 在平面 外，AB =P，AC =R，BC =Q，如图所示求证：P、Q、R 三点共线思路点拨：应用公理 3，选择恰当的平面，只要证明点都是某两个平面的公共点，即可推出三点在两个平面的交线上证明： AB =P， PAB，P平面 又 AB 平面 ABC， P平面 ABC 由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 的交线上同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 的交线上 P、Q、R 三点共线总结升华：证明多点共线问题，找出相关的平面与平面的交线，由公理 3，说明这些点都在这两个平面的交线上即可【变式 2】如图所示，在正方体 中，E、F 分别为 CC1和 AA1上的中点，画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线思路点拨：可根据公理 3，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条交线，也只有这一条交线；这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定解析：在平面 AA1D1D 内，延长 D1F， D 1F 与 DA 不平行，因此 D1F 与 DA 必相交于一点，设为 P，则 PFD 1，PDA又 FD 1 平面 BED1F， AD 平面 ABCD， P平面 BED1F，P平面 ABCD又 B 为平面 ABCD 与平面 BED1F 的公共点， 连接 PB，PB