什么是影响线

桥梁上行驶的列车、汽车等这些车辆荷载，厂房中吊车梁上开行的吊车荷载，这些荷载的大小、方向不变、但是作用位置是随时间而变化，这些荷载我们称它为移动荷载。 影响线就是解决结构在移动荷载作用下内力、反力等量值计算问题的工具和手段。 为了研究方便，我们先选取一种最基本的、最简单的同时也是最典型的情况。我们从只有一个竖向单位集中荷载 沿结构移动时，指定量值随荷载作用位置变化而变化的规律入手。 从这个图我们可以看出，什么是影响线？结构中某一量值（如 FyA）随着单位移动荷载 FP = 1 作用位置变化而变化的规律，该图形就称为这个量值（如 FyA）的影响线。 下面这两幅图，一个是简支梁 C 截面弯矩影响线，另一个是简支梁在集中荷载 FP 作用下的弯矩图。 请你观察这两幅图，思考一下，影响线和内力图有什么区别？ 影响线反映的是移动荷载对某一指定位置内力的影响，而内力图反映的是固定荷载对杆件轴线上各个位置内力的影响。名 称 作用荷载 横坐标 纵坐标 纵坐标量纲 正负号弯 矩影响线 单位移动荷载 单位移动荷载作用位置单位荷载移动到该点时指定截面处的弯矩值 长度应标注正负号弯矩图 实际固定荷载 各个截面 在固定荷载作用下该点处截面的弯矩值 力长度 不标正负号画在受拉侧由影响线的概念可知，影响线是表示所求量值 S 与移动荷载 FP = 1 的作用位置 x 之间关系的函数的图形。因此，在绘制影响线时，可先把移动荷载 FP = 1 放在任意处，以横坐标 x 表示其作用位置，根据静力平衡条件，列出量值 S 与 x 之间函数关系方程，这个方程就称为影响线方程。利用影响线方程，就可绘出量值 S 的影响线，这种作影响线的方法，称为静力法。解：将 A 设为坐标原点，AB 方向为 x 轴的正向，将移动荷载 FP=1 放在一任意位置，以 x 表示其作用位置。 （1）支座反力 FyA的影响线 取梁 AB 为隔离体，规定竖向反力向上为正，由 得到 即 上式就是支座反力 FyA的影响线方程。可见，支座反力 FyA的影响线是坐标 x 的一次函数， AB 范围内为一条直线。 就可以绘出 FyA的影响线如下图所示。一般将影响线的正值画在基线的上侧。 （2）支座反力 FyB的影响线 类似于绘出 FyA影响线的过程，由 得到 可见，支座反力 FyB的影响线也是一条直线。 就可以绘出 FyB的影响线如下图所示。 请你思考一下，支座反力的影响线量纲是什么？ 影响线反映的是移动荷载对某一指定位置内力的影响，而内力图反映的是固定荷载对杆件轴线上各个位置内力的影响。解：将 A 设为坐标原点，AB 方向为 x 轴的正向，将移动荷载 FP=1 放在一任意位置，以 x 表示其作用位置。 （1）当单位移动荷载 FP=1 在 AC 范围内移动时 取 CB为隔离体，如图 b 所示。规定弯矩以使梁下侧受拉为正，剪力以使所作用的隔离体顺时针转动为正。 1）求 MC ，由此可以绘出弯矩 MC影响线上 AC 范围内的部分。 2）求 FQC 由此可以绘出剪力 FQC影响线上 AC 范围内的部分。 （2）当单位移动荷载 FP=1 在 CB 范围内移动时（ ）取AC 为隔离体，如图 c 所示。 1）求 MC 由此可以绘出弯矩 MC影响线上 CB 范围内的部分。 2）求 FQC 由此可以绘出剪力 FQC影响线上 CB 范围内的部分。 最后，我们可以做出简支梁上任意截面 C 的弯矩 MC影响线如图 d 所示，简支梁上任一截面 C 的剪力 FQC影响线如图e 所示。 请你思考一下： 简支梁弯矩的影响线的量纲是什么？ 为什么剪力影响线在截面 C 处有突变？ 弯矩影响线的量纲为长度量纲。 从剪力影响线可以看出，剪力影响线由不连续的两段直线组成，其纵标在截面 C 处发生突变，突变的绝对值为（a/l）+（b/l）=1。这实质上就是反映了当单位移动荷载 FP=1 从 C 点左侧移动到 C 点右侧时，截面 C 的剪力发生了突变。因此当单位移动荷载 FP=1 恰好作用在 C 截面时， FQC是不确定的。剪力影响线的量纲与支座反力影响线量纲相同，即量纲为一。解：建立坐标系如上图示。 （1）支座反力 FyA 的影响线 取梁 AB 为隔离体， 得到 绘出 FyA 的影响线如图所示。 （2）支座反力 MA的影响线 可见，支座反力 MA的影响线是一条直线。 绘出 MA的影响线如图所示。 解：建立坐标如图示 （1）为使分析问题相对简便，应充分利用悬臂梁的受力特点，当单位移动荷载 FP=1 在 AC 范围内移动时 取 CB 为隔离体，如图 b 所示。显然有 由此可以绘出弯矩 MC影响线和剪力 FQC 影响线上 AC 范围内的部分。 （2）当单位移动荷载 FP=1 在 CB 范围内移动时仍取 CB 为隔离体，如图 c 所示。此时 由此可以绘出弯矩 MC影响线上 CB 范围内的部分。 由此可以绘出剪力 FQC 影响线上 CB 范围内的部分。 所以悬臂梁上任一截面 C 的弯矩 MC影响线如图 d 所示，剪力影响线如图 e 所示。 请你判断一下，静定结构的内力影响线都是直线构成的，这个说法正确吗？ 从前面的几个例题可以看出，绘制影响线的过程实质就是计算结构在一个单位移动荷载 FP=1 作用下的反力或内力的过程，问题的关键在于正确利用静力平衡条件确定所求量值与荷载作用位置之间的关系函数，即影响线方程。通过以上分析过程也可以看出，对于静定结构，其反力或内力的影响线方程均为荷载作用位置 x 的一次函数，故静定结构的反力或内力影响线都应由直线段构成。利用影响线我们可以解决以下问题： （1）可以确定结构上某一量值随荷载作用位置的变化而变化的规律。 （2）可以确定移动荷载的最不利荷载位置，并求出相应的最不利值。 （3）可以确定结构各截面内力分量变化的范围，即内力分量变化的上限和下限，为结构设计提供相应的依据。影响线反映的是单位移动荷载 FP = 1 作用下某一量值的变化规律，当有移动荷载组或可任意布置的均布荷载作用时，必须将荷载和影响线的单位考虑进来，相应量值的数值可利用影响线由叠加原理求得。 集中荷载作用 由影响线的概念可知，量值 S 影响线上某处纵标的意义是当单位移动荷载 FP = 1 作用于该点时，量值 S 的值。图所示结构上，有一组集中荷载作用，分别为 FP1， FP2， FPn，某量值 S 的影响线我们也已经作出来了，集中荷载作用位置相应的纵标分别为 y 1，y 2，y n 。根据叠加原理，此时，这组集中荷载所产生的影响量 S 应等于各个荷载单独作用所产生的影响量的代数和。 均布荷载作用 由均布荷载产生的影响量 S 的数值可以表示为 式中， A 表示影响线在均布荷载作用范围 AB 内面积的代数和，也就是图中的阴影面积， A = A1 - A2。注意计算面积时要考虑正负号。 例 利用影响线计算图示梁的 FQC 和 MC 值。 解：首先我们作出 FQC 和 MC 的影响线，然后计算相应纵标。 集中荷载所产生的影响量 S 应等于各个荷载单独作用所产生的影响量的代数和。均布荷载产生的影响量的数值等于均布荷载乘以作用面积。所以得到 影响线的另一个重要应用就是确定最不利荷载位置。所谓最不利荷载位置是指移动荷载作用在这个位置时，能够使量值 S达到最大值（或最小值）的位置。 当移动荷载情况相对简单时，比如一个集中力或可按任意方式布置的均布荷载作用在结构上，只需对量值 S 的影响线和荷载特性进行简单分析和判断，即可确定荷载的最不利位置。 在单个集中力 FP 作用下，将这个集中力作用于影响线上最大纵标处时，即可求得最大量值 Smax；同理，将其置于影响线上最小纵标处时，即可求得最小量值 Smin。 可按任意方式布置的均布荷载，将均布荷载布满影响线上所有正面积部分时，即可求得最大量值 Smax；同理，将其布满影响线上所有负面积部分时，即可求得最小量值 Smin。 移动荷载组作用 移动荷载组即行列荷载是指一组间距不变的移动荷载。常见的有吊车荷载，汽车荷载等，这种荷载的荷载数量较多，不能凭借直观观察的方法确定其最不利荷载位置。对于此类问题可以采用试算法求解。假设移动荷载组中共有 n 个集中力，量值 S 的影响线共有 m 个顶点，把每个集中力分别置于 m 个顶点上，可以算出 m 个结果，则 n 个集中力共有 nm 个结果，其中的最大值必然是 Smax，而其中的最小值必然是 Smin。这种判定方法操作简单，但当问题复杂时，手算计算量较大，显得麻烦，可以通过编制程序，电算求解。 例 计算图所示吊车梁 B 支座的最大反力 FyB,max 。已知两台吊车轮压分别为 FP1 = FP2 = 426.6kN， FP3 = FP4 = 289.3kN，轮距及车挡限位的最小车距如图所示。 解：作 B 支座反力 FyB 的影响线，该影响线只有一个顶点。通过直观判断， FP1 或 FP4 作用于影响线顶点时。不会出现最不利荷载情况。因而，只需计算 FP2 或 FP3 作用在影响线顶点时，FyB 可能达到的最大值即可确定最不利荷载位置。 1FP2 作用于顶点（图 b） 2FP3 作用于顶点（图 c） 3所以，当 FP2 作用于 B 点时为最不利荷载位置，此时 判断题1图示简支梁支座反力 FyB 的影响线是正确的。 （ ） 提示：当单位荷载作用在 B 点时，F yB 的值应是多少？解析：当单位荷载作用在 B 点时，F yB 应该是 1，从而可以判断这题是错误的。也可以做出 FyB 的影响线进行比较，也能看出是错误的。题目给图应该是 A 支座的竖向支座反力影响线。2影响线的横坐标是单位荷载的位置。 （ ）提示：想想影响线的定义。解析：结构中某一量值随着单位移动荷载 FP = 1 作用位置变化而变化的规律，该图形就称为这个量值的影响线。影响线的横坐标是单位荷载的位置，纵坐标是量值的大小。3静定结构弯矩影响线是由直线段组成的。 （ ）提示：静定结构弯矩影响线方程是荷载作用位置 x 的一次函数。解析：此题考察的是静定结构影响线的特性。对于静定结构，其反力或内力的影响线方程均为荷载作用位置 x 的一次函数，故静定结构的反力或内力影响线都是由直线段构成。4弯矩影响线竖坐标的量纲是长度。 （ ）提示：想一想你看到的或者你做的弯矩影响线所标的单位解析：此题考察的是影响线的量纲。弯矩影响线竖坐标的量纲是长度。注意弄清楚各种影响线的量纲，不要搞混了。5图示影响线是 A 截面的弯矩影响线。 （ ） 提示：注意弯矩影响线是以杆件下侧受拉为正。解析：此题考察的是悬臂梁支座处弯矩影响线。大家可以自己动手做出弯矩影响线进行比较。也可以对 A 端和自由端的弯矩进行判断，只要这两个截面的弯矩值是正确的，因为图形是直线段，就可以判断题目是正确的。6图示影响线中 K 点的竖坐标表示 P=1 作用在 K 点时产生的 K 截面的弯矩。 （ ） 提示：分析一下结构的组成，是不是多跨静定梁？解析：这是一个多跨静定梁，AB 为基本部分，BC 是附属部分。很显然，当单位荷载在 AB 段移动时，K 截面的弯矩应该为 0，所以这个题目是错误的。7图示结构 A 截面弯矩影响线在 A 处的竖标为 l。 （ ）提示：做出 A 截面的弯矩影响线。解析：做出 A 截面的弯矩影响线如下所示，很显然，图示结构 A 截面弯矩影响线在 A 处的竖标为 0。 8图示结构 A 截面剪力影响线在 B 处的竖标为 1。 （ ） 提示：求出单位荷载作用在 B 处时，A 截面的剪力。解析：根据影响线的定义，图示结构 A 截面剪力影响线在 B 处的竖标，就是单位荷载作用在B 处，A 截面剪力的大小。根据静力平衡条件，很容易求得其为 1。所以题目是正确的。9图示影响线是 C 截面的弯矩影响线。 （ ） 提示：做出 C 弯矩截面的影响线进行比较。解析：做出 C 弯矩截面的影响线进行比较，很容易知道此题是正确的。10图示结构 FyD 影响线的 AC 段纵标为零 。 （ ） 提示：分析一下结构的组成，是不是多跨静定梁？解析：这个题不用动手画影响线，大家先看结构的组成。从结构的组成来看，这是一个多跨静定梁，AC 是基本部分，CD 是附属部分。力在基本部分移动时，附属部分没有影响。所以这题是正确的。单选题1根据影响线的定义，图示悬臂梁 A 截面的剪力影响线在 B 点的纵坐标为（ ）A. 1 B. -4 C. 4 D. -1提示：注意剪力影响线的正负值规定。解析：此题有两种方法第一种，可以求出单位荷载作用在 B 点时，A 截面的剪力，求得为 1。 第二种，根据影响线的定义，绘制出 A 截面剪力的影响线，可以看出剪力影响线如下，所以正确答案为 1。2影响线的横坐标是（ ）A固定荷载的位置 B移动荷载的位置 C截面的位置 D单位移动荷载的位置提示：想想影响线的定义解析：此题考察的是对影响线定义的理解。影响线的定义为：结构中某一量值随着单位移动荷载 FP = 1 作用位置变化而变化的规律，该图形就称为这个量值的影响线。3静定结构内力与反力影响线的形状特征是（ ）A直线段组成 B曲线段组成 C直线曲线混合 D二次抛物线提示：静定结构，其反力或内力的影响线方程均为荷载作用位置 x 的一次函数。解析：此题考察的是静定结构影响线的特性。对于静定结构，其反力或内力的影响线方程均为荷载作用位置 x 的一次函数，故静定结构的反力或内力影响线都是由直线段构成。4根据影响线的定义，图示悬臂梁 A 截面的弯矩（下侧受拉为正）影响线在 B 点的纵坐标为（ ） A0 B-4m C4m D-1m提示：做出 A 截面的弯矩影响线。解析：此题有两种方法 第一种，可以求出单位荷载作用在 B 点时，A 截面的弯矩，求得为-4。 第二种，根据影响线的定义，绘制出 A 截面弯矩的影响线，由影响线可知，正确答案为-4 。5结构上某量值的影响线的量纲是（ ）A该量值的量纲 B该量值的量纲/力 C该量值的量值 力 D该量值的量纲/长度提示：想想影响线的定义，单位移动荷载是什么量纲？解析：此题考察的是影响线的量纲，只要注意到影响线上作用的单位移动荷载是无量纲的，就可知正确答案为 B。6图示梁 A 截面弯矩影响线是（ ） A B CD提示：注意弯矩影响线的正负号规定，可以用排除法来选择。解析：此题考察的是影响线的做法。根据静力平衡条件，列出静力平衡方程，可知正确答案为A。注意弯矩是以杆件下侧受拉为正。7图示梁的某量值的影响线，其中竖坐标 yD 表示 P = 1 作用在（ ）AK 点产生的 QD 值 BK 点产生的 MD 值 CD 点产生的 QK 值 DD 点产生的 MK 值提示：想想图示是什么量值的影