【精选习题】 第五章 线性微分方程组

第五章 线性微分方程组第五章 线性微分方程组研究对象 一阶线性微分方程组 )()()()( )()()()(21 222 11211 tfxtaxtatx tfttt nnnn n 1 基本概念1）一阶微分方程组的标准型含有 n个未知函数 及其一阶导数的微分方程组nx,21（5.1） ),(,)(212nnxtfxtf 称为一阶微分方程组的标准型，其中 是定义在 维空),21)(,(21nitfni 1间 的某区域 内已知的连续函数， 是自变量。),(21nxt Dt2）初值问题求满足方程组（5.1）及初值条件 的解的问题nntxtxt )(,)(,)( 0202101称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题） 。表示如下 ),(,)(21211nnnxtfxtf 及 。ttx),)( 0021013）通解方程组（5.1）含有 个独立的任意常数 的解nnC,21),(,)(212211nnnCtxt 第五章 线性微分方程组称为它的通解。4) 高阶线性方程与一阶方程组等价阶线性微分方程的初值问题nnnnn txtxt tfxaa)(,)(,)( )(012010)()( 其中 是区间 上确定的函数， 是确定,21)(fitabnb,21的常数，它的解为 。只要令 ，它可以化为)(tx )(321, nxxx下列一阶线性微分方程组的初值问题， ， )(0)()()( 1001 tftatatnn xx nt210)其中 ，并且它的解为 。nnx221,x )()(1tttn同时，给定其中一个初值问题的解，就可构造另一个初值问题的解，在这个意义下，称上面两个初值问题是等价的。5）一阶线性微分方程组若（5.1）中函数 关于 是线性的，即),21)(,(21nixtfni nx,21（5.2） )()()()( )()21 2221 tfxtaxtatx tfttt nnnn 则称（5.2）为一阶线性微分方程组，简称为线性方程组，其中在区间 上连续。jitfaij ,21,)(, ,b6) 线性方程组的向量表示方程组（5.2）的向量形式为（5.3）)(ttdfxA第五章 线性微分方程组其中 ，)()()()()(21221121tattatttt nnnn A， ， 。)()(21txttn )()(21tftftn dtxtdxn 21在方程组（5.3）中，若 ，则有),(,)bat0f（5.4）xA(dt称（5.4）为线性齐次方程组，否则称（5.3）为线性非齐次方程组，7) 向量函数组的线性相关和线性无关定义在区间 上的 维向量函数 ，如果存在 个不全为零,ban)(,)(,21ttmxx的常数 ，使得 在区间 上成立，mC,21 0)(1Ct ,ba则称这个向量函数组在区间 上线性相关，否则称 线性无关。, )(,)(,21ttm8) 向量函数组的朗斯基行列式设 是 个向量函数，以 作为第 列 所构成的)(,)(,21ttnxx )(tixi),1(n矩阵记为 ，将其行列式 称为向量函数组)(,21tnXdetX的朗斯基行列式，记为)(,)(,21ttn。)()()()()(det)(21221121txtxttttWnnnn X9）基本解组和基本解矩阵若 是线性齐次方程组（5.4）的 个线性无关解，那么称)(,)(,21ttnxx是它的一个基本解组，并称矩阵 为方程组)(t )(,)(,(21ttnxx第五章 线性微分方程组（5.4）的基本解矩阵，简称基本解矩阵。2 基本定理及性质定理 5.1 如果矩阵函数 及向量函数 在区间 上连续，则对 上任一)(tA)(tf,ba,ba点 以及任意给定的 ，初值问题0t0x,)()(00batttd f在区间 内存在唯一的解。,ba定理 5.2（线性齐次方程组的叠加原理） 设 是线性齐次方程组（5.4）的 个解，则)(,)(,21ttmxx m)()(21 tCtCxx也是（5.4）的解，其中 是任意常数，即线性齐次方程组的任意有限个解的m,2任意线性组合仍为该方程组的解。定理 5.3 如果向量函数组 在区间 上线性相关，则它们的)(,)(,21ttnxx ,ba朗斯基行列式 在区间 上恒等于零。)(tW,ba推论 5.1 如果向量函数组 的朗斯基行列式 在区间)(,)(,21ttn )(tW上的某一点 不等于零，即 ，则该向量函数组在区间 上线性无关。,ba0t 0)(t ,ba定理 5.4 如果方程组（5.4）的 个解在其定义区间 上线性无关，则它们的朗斯n,基行列式 在区间 上处处不为零。)(tW,ba推论 5.2 方程组（5.4）的 个解在其定义区间 上线性无关的充要条件是它们的,ba朗斯基行列式 在区间 上处处不为零。)(t,定理 5.5 线性齐次方程组（5.4）存在并且至多存在 个线性无关的解。n定理 5.6（刘维尔公式） 若 是线性齐次方程组（5.4）的 个)(,)(,21ttxx n解，则这 个解的伏朗斯基行列式与方程组（5.4）的系数有如下关系式n。t ndtataeWt021)()()(第五章 线性微分方程组定理 5.7 （线性齐次方程组通解结构）如果向量函数组 是线性)(,)(,21ttnxx齐次方程组（5.4）的 个线性无关解，则方程组（5.4）的任一解 均可表示为 n，)()()()(21 tCttCt nxx这里 是 个相应的常数。n,21结论 1（线性齐次方程组通解结构的矩阵表示）线性齐次方程组（5.4）的通解为，其中 为（5.4）的基本解矩阵， 为任意常向量。Cx)(t)(t C性质 5.1 如果 是线性非齐次方程组（5.3）的解，而 是其对应线性齐次*x )(0tx方程组（5.4）的解，那么 是线性非齐次方程组（5.3）的解。)(*0ttx性质 5.2 线性非齐次方程组（ 5.3）的任意两个解的差是其对应线性齐次方程组（5.4）的解。定理 5.8（非齐次方程组通解结构）线性非齐次方程组（5.3）的通解等于其对应的齐次线性方程组（5.4）的通解与其自身的一个特解之和，即若 是线性非齐次方程组)(*tx（5.3）的一个特解， 是线性齐次方程组（5.4）的 个线性无关的)(,)(,21ttnxx n解，则就是（ 5.3）的通解。)()()()(21 ttCttCt nx结论 2（线性非齐次方程组通解结构的矩阵表示）线性非齐次方程组（5.3）的通解为，其中 为（5.4）的基本解矩阵， 为任意常向量， 是)()(ttx)(tC)(*tx非齐次线性方程组（5.3）的一个特解。结论 3 （常数变易公式）如果 是线性齐次方程组（5.4）的基本解矩阵，则线性)(t非齐次方程组（5.3）满足初始条件 的特解 由下面公式给出0)(*txtdstt 0)()()(*101fx其中 表示矩阵 的逆矩阵。)1注意：利用常数变易法可求线性非齐次方程组（5.3）的一个特解。第五章 线性微分方程组定理 5.9 给定常系数线性方程组 ，那么Axdta) 如果 的特征值的实部都是负的，则方程组的任一解当 时都趋于零。Atb) 如果 的特征值的实部都是非正的，且实部为零的特征值都是简单特征值，则方程组的任一解当 时都保持有界。tc) 如果 的特征值至少有一个具有正实部，则方程组至少有一解当 时趋于无t穷。3 基本求解方法1）常数变易法第一步：确定线性非齐次微分方程组（5.3）对应的线性齐次方程组（5.4）的通解。若方程组（5.4）的基本解矩阵为 ，则（5.4）的通解为 。)(tCx)(t第二步：设（5.3）有形如 的解， 为待定的向量函数。Cx)(t第三步：确定向量函数 。)(t将 代入方程（5.3） ，有)(ttCx，)()()(tttfCA因 为方程组（5.4）基本解矩阵，则有 ，所以上式为)(t ，)()(ttfC即 ，)()(1ttf积分得 dstt )()(10fC其中取 ，0)(所以得到方程组（5.3）满足初始条件 的解为0)(t。t dst0)(*1fx第四步：求线性非齐次方程组（5.3）的通解。由结论 2，方程组（5.3）的通解可表示为第五章 线性微分方程组。Cx)(tt ds0)()(1f第五步：求线性非齐次方程组（5.3）满足初始条件 的解。0t将初始条件 代入通解表达式中得， ，故方程组（5.3）满足初)(0t )(1始条件 的解为0t。t dstt 0)()()( 101f2）常系数线性齐次方程组的解法若（5.4）中系数矩阵为常矩阵，则称其为常系数线性齐次方程组，记为（5.5）Axdt由齐次方程组通解结构定理 5.7 和结论 1，求解常系数线性齐次方程组的关键在于求它的基本解矩阵。定理 5.10 矩阵函数 是常系数线性方程组（5.5）的基本解矩阵，且teAX)(。EX)0(基本解矩阵 的特点：Ate)()xp(ta) 基本解矩阵 是标准基本解矩阵，即满足 。tXEX)0(b) 若系数矩阵 为实矩阵，则 是实基本解矩阵，且任一基本解矩阵 与)e(t )(t有关系 成立。)exp(tA0)(exp(1t定理 5.10 给出了常系数线性齐次方程组（5.5）的基本解矩阵的构造形式，具体解题时要计算矩阵级数 相当困难。下面给出计算基本解矩阵的常用方法。teAX)(kk0!基本解矩阵的计算方法方法 1 空间分解法定理 5.11 如果矩阵 具有 个线性无关的特征向量 ，对应特征An ),21(,ni v值 （不必各不相同） ，则矩阵),2(ni是方程组（5.5）的一个基本解矩阵。teet nttt ),)21vv第五章 线性微分方程组特别地，有下面重要结论 结论 4 若矩阵 有 个互异的特征值 ， 是 对应于 的特征向量，An),21(niivAi则 必线性无关，且矩阵 是方程组（5.5）),21(iv ),)21 nttt eet的基本解矩阵。更一般地，基于代数学中的空间分解定理，给出基本解矩阵的计算方法。设 是 的相异特征值，它们的重数分别为 ，且),21(kjAkn,21，对于每一个 重特征值 ，线性代数方程组nnk21 jnj0uEjj)(具有 个线性无关的解 ， （称为矩阵 对应于 的广义特征向量） ，j )()2()1(,jnjj Aj因而方程组 的解的全体构成一个 维子空间 ，并且Ajnj( j ),21(kjU维线性空间 可以表示为这些子空间 的直和，即对任一向量 ，nU),21(kjUUv存在唯一的 ，使得 。),21(kjju kuv定理 5.12 方程组（5.5）满足初始条件 的解可表示为)0(kjni jijitjet10(!)( vEA其中 是 的相异特征值，它们的重数分别为 ，,2(j kn,21， ， ，而 是 维线nnk1 kvv21 ),(jUj jU性空间 的直和分解，即 。UU利用定理 5.12 求基本解矩阵的步骤： 步骤 1 求特征根解代数方程组 。0EA假如求得 的相异特征值为 ，它们的重数分别为 ，),21(kj kn,21。nnk21步骤 2 对 维线性空间 进行直和分解U第五章 线性微分方程组分别求解方程组，0uEAjnj)( kj,21得到 对应的 个线性无关的向量 jjn，,)()2(1jnjj k,由 所张成的线性子空间，记为 ，则有 。)()2(1,jnjju jUkU21步骤 3 在 维线性空间 中的表示0 k21由于 线性无关，方程组,)()2(1jnjj k,2 uu )(nj)(jkj)(j 21有唯一的解 ， 。jnj,2 k,1这样就得到了 ，j)(nj)(j)(j vuu21 jU， 。kj,21kj1v步骤 4 计算标准基本解矩阵 )exp(tA令 ， ，利用公式ie),21(010nii 第kjni jijitjet10)(!)( vEA分别求得 ，则方程组（5.5）的基本解矩阵为ti ),2 ),(),(exp21ttt n特别当矩阵 只有一个特征值 时A。10)(!)e(ni iitEA方法 2 待定系数法第五章 线性微分方程组定理 5.13 如果 有相异特征值为 ，它们的重数分别为 ，A),21(kjkn,21，则方程组（5.5）存在 个形如nnk21 jn， （ ）tniii jetpt)()()(21xjni,21的线性无关解，其中 （ ）为 的次数不高于 的多项ri ji, t1jn式，取遍所有的 就得到方程组（5.5）的一个基本解组。),21(kj具体确定这个基本解组的方法是步骤 1 求特征根解代数方程组 。0EA假如求得 的相异特征值为 ，它们的重数分别为 ，),21(kj kn,21。nnk21步骤 2 根据定理 5.13，设出方程组（5.5）的形式解对于每个 ，方程组（5.5）有下列形式的解，jttnntnn jjjjj etptp etttxtt )()( 1211121 P) ),21k步骤 3 确定待定系数将 代入方程组（5.5） ，有tjet)(Pttjt jjj e)()(AP即 )()(tjE比较 的同次幂系数，可得到关于待定系数 （ ）的t pri jni,21, 个等式。但注意到上式右端次数比左端要低一次，且 是 的 重特征根，我们jn jAj第五章 线性微分方程组并不能得到 个无关的等式。由代数知识可证所有 个系数可以通过其中 个来jn jnjn表示。 设为 依次令,21jnC,1,0,1212jjjnnCC 就可得到方程组（5.5）的 个线性无关的解。jn取遍所有的 就得到方程组（5.5）的 个线性无),(kj nnk21关的解，构成方程组（5.5）一个基本解组。方法 3 约当(Jordan)标准型法结论 5 方程组 的基本解矩阵为Ax 12)ep( TTJJ1mttt eet其中， 是 阶的若当块， ， ，iiii J1 ini,21nnm21而 为矩阵 的初等因子的个数， ， 为矩阵 的特征根， 为 阶mEAim, AT非奇异矩阵，使得 ， 。JT1 mJ21注：矩阵中空白的地方为零， 称为过渡矩阵。方法 4 递推法结论 6 方程组 的基本解矩阵为Ax10)()ep(njjtrtP第五章 线性微分方程组其中 ， ， 是下列初值问题EP0jkkj nj1,21),(EA)(,),(21trtrn， 0)(,)0(11jjjr),3(j 的解， 是矩阵 特征值（不必相异） 。,2(niA方法 5 拉普拉斯变换法记向量函数 的拉普拉斯变换为)()(21txttn ，)()()(21txLtstLn X对方程（5.5）两端进行拉普拉斯变换，得 的代数方程组s，)()0(sAX求解得 ，再求逆变换 ，此即为方程组（5.5）满足初始条件)(sX1tsLx的解。0x我们依次取初始条件 为),21(,)0()nii x)(0ii ),(i第就得到方程