20_6354414_43.构造长方体.巧解特殊四面体的外接球问题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 构造长方体 巧用 特殊四面体的母体 特殊四面体的外接球问题是高考的热点问题 ,构造特殊四面体的母体 (长方体 )是解决该 类 问题 的有力方法 母题结构 : 项目 圆 球 模型 长方形对角线的交点为其外接圆的圆心 ; 如果长方形的长、宽分别为 a、 b,则其外接圆半 径 r= 2122 a 的正方形外接圆的半径 r=22a. 长方体对角线的交点为其外接球的球心 ; 如果长方体的长、宽、高分别为 a、 b、 c,则其接球的半径 R= 21222 a 的正方体外接球的半径 R=23a. 解 题 程序 :因以长方体的八个顶点为顶点的多面体的外接球与长方体的外接球相同 ,所以 ,把特殊的四面体放置到长方体 (含正方体 )中是求解这些四面体外接球问题的绝巧 . 子题类型 :(2006 年湖南高考试题 )棱长为 2 的正四面体的 4 个顶点都在同一球面上 , 若过该球球心的一个截面如图 ,则图中三角形 (正四面体的截面 )的面积是 ( ) (A)22(B) 2 (C)23(D) 3 解析 :把 正四面体 形为正方体 ,如图 ,则 正四面体 外接球球 心也是正方体 的中心 O,且正方体的 棱长 = 2 过 A、 B、 O 三点 的截面为 中 ,方体的 棱长 = 2 积 = 2 B). 点评 :棱长为 = 面体 子题类型 :(2012 年 辽宁 高考试题 )已知正三棱锥 P,A,B,C 都在半径为 3 的 球 面 上 ,若 B,两互相垂直 ,则球心到截面 距离为 . 解析 :以 B,则 为球心 ,由 2 3 B=,由等积法可得三棱锥 高 h=332 球心 O 到平面 距离为 =213. 点评 :若三棱锥 A,C 两两互相垂直 ,且 PA=a,PB=b,PC=c,则三棱锥 外接球半径 R= 21222 . 3.“鳖 臑 ” 体 子题类型 :(2008 年浙江高考试题 )如图 ,己知球 O 的面上四点 A、 B、 C、 D, 面 B A=C= 3 ,则球 O 的体积等 于 . 解析 :把四面体 形为 长方体 ,则 四面体 外接球与长方体的外接 球相同 ;由 B=3 该 长方体 是 棱长为 3 的正方体 球 O 的半径 R=23a=23 球 O 的体积 V=29. 点评 :四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖 臑 ,在 四 面体 面 C AB=a,BC=b,CD=c,则 四面体 =21222 . 1.(2011 年 湖北 高考试题 )设球 的体积为 的内接正方体的体积为 列说法中最合适的是 ( ) (A)2大约多一半 (B)2大约多两倍半 (C)2大约多一倍 (D)2大约多一倍半 2.(2006 年广东高考试题 )若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上 ,则该球的表面积是 . 3.(1995 年全国高考试题 )正方体的全面积是 的顶点都在球面上 ,这个球的表面积是 ( ) (A) (B)2 (C)2 (D)3 .(2001 年北京、内蒙古、安徽春招试题 )己知球内接正方体的表面积为 S,那么球体积等于 . 5.(1998 年第 九 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )正方体与其外接球的体积之比是 . 6.(2006 年福建高考试题 )己知正方体外接球的体积是332 ,那么正方体的棱长等于 ( ) (A)2 2 (B)332(C)324(D)3347.(2013 年 天津 高考试题 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 则正方体的棱长为 . 8.(2008 年天津高考试题 )一个正方体的各顶点均在同一球的球面上 ,若该球的体积为 4 3 ,则该正方体的表面积为 . 9.(2011年全 国高中数学联赛广东 初赛试题 )设半径为 10厘米 的球中有一个棱长为整数 (厘米 )的 正 方体 ,则该正方 体的棱长最大等于 . 10.(2007 年湖南高考试题 )(文 )棱长为的 1 正方体 个顶点都在球 O 的表面上 ,E、 F 分别是 则直线 球 O 截得的线段长为 ( ) (A)22(B)1 (C)1+22(D) 2 11.(2007年 湖南 高考试题 )(理 )棱长为 1的正方体 个顶点都在球 ,则球 ;设 E、F 分别是该正方体的棱 则直线 球 O 截得的线段长为 . 12.(1999 年第 十 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )棱长为 1 的正方体 和它的外接球与一个平面相交得到的截面是一个圆及它的内接正三角形 ,那么球心到该截面的距离等于 ( ) (A) 3 (B)33(C)63(D)12313.(1987 年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 )正四面体 四个顶点在半径为 R 的球上 ,则 长为 ( ) (A) 2 R (B)322R (C)362R (D)463R 14.(2007 年第 十 八 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )正四面体的棱长为 a,则它的外接球的表面积等于 ( ) (A)32 (B)322 (C)332 (D)23 5.(2003 年全国高考试题 )一个四面体的所有棱长为 2 ,4 个顶点在同一球面上 ,则此球的表面积为 ( ) (A)3 (B)4 (C)3 3 (D)6 A E B C D 16.(2006 年山东高考试题 )如图 ,在等腰梯形 , 00, E 为 中点 别沿 上折起 ,使 A、 B 重合于 点 P,则三棱锥 外接球的体积为 ( ) (A)2734 (B)26 (C)86 (D)246 17.(2009年全 国高中数学联赛辽宁 初赛试题 )正四面体 ,则二面角 . 18.(1991 年全国高考试题 )在球面上有四个点 P、 A、 B、 C,如果 两垂直 ,且 B=PC=a,那么 ,这个球面的面积是 . 19.(2008 年福建高考试题 )若三棱锥的三个侧面两两垂直 ,且侧棱长均 为 3 ,则其外接球的表面积是 . 20.(2010 年课标高考试题 )设长方体的长、宽、高分别为 2a、 a、 a,其顶点都在一个球面上 ,则该球的表面积为 ( ) (A)3 (B)6 (C)12 (D)24 1.(1997 年全国高考试题 )长方体一个顶点上三条棱的长分别 为 3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上 ,这个球的表面积是 ( ) (A)20 2 (B)25 2 (C)50 (D)200 22.(2007 年天津高考试题 )一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 ,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 23.(2006 年全国 I 高考试题 )己知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 ( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)32 24.(2007年全国 高考试题 )一个正四棱柱的各顶点在一个直径为 2如果正四棱柱的底面边长为 1么该棱柱的表面积为 25.(2014 年 陕 西 高考试题 )已知底面边长为 1,侧棱长为 2 的正四棱柱的各个顶点均在同一个球面上 ,则 该球 的体积 为( ) (A)332(B)4 (C)2 (D)3426.(1989年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 )点 的球面上 ,过 若其中 一条弦长是另一条弦长的 2倍 ,则这三条弦长的和的最大值是 . 27.(2010 年辽宁高考试题 )已知 S、 A、 B、 C 是球 O 表面上的点 ,面 B A=,2 ,则球 O 的表面积等于 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D) 28.(2012 年 辽宁 高考试题 )已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点 ,面 边形 边长为 2 3 正方形 6 ,则 面积为 . 设 正方体的 棱长为 a,则外接球的半径 R=23a 4 3 2=1 23 B). 由 R=23a=233 S=27 . 由 6x2=正方体的 棱长 x=66a R=23a=42a S=2B). 由 6 R=23a=42S V=242 由 R=23a3343332. 由34 32 R=2 a=D). 由34 9 R=23 a= 3 . 由34 3 R= 3 a=2 64. 设正方体的棱长为 a,因为正方体的对角线长不大于球的直径 ,所以 , 3 a 20,即 1. 由 O 到 直线 距离 d=21 截得的线段 =222 )21()23( = 2 D). 由 R=23 S=3 ;截得的线段长 = 2 . 由 截面 是内接四面体的一面 球 心到该截面的距离 =正方体 对角线 的61=C). 由 R=46a a=C). 由 R=46a S=23 D). 由 S=23 A). 由 所得三棱锥为 棱长为 1 的 正四面体 R=46a=46 V=86 C). 设 面 H,则 二面角 大小 = 200. 补形成正方体 ,则 R=23a S=3 由 R=23a=23 S=3 . 由 R=21222 S=(a2+b2+ =6 B). 由 S=(a2+b2+ =50 C). 由 S=(