1_6354050_2.妙用线性规划定理.巧解线性规划试题

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 243 中国 高考数学母题 (第 080 号 ) 妙用线性规划定理 性规划 试题 解决线性规划问题的一般 步骤 : 画 :画出线性约束条件所表示的可行域 ; 移 :平移 线性目标函数所表示的 直线 定可行域内最优解的位置 ;求 :解方程组求出最优解 ,把最优解代入目标 函数求 最大或最小 值 .“ 画 ,移 ,求 ”方法易于理解、掌握 ,但过程较长、费时 ;如何 提高算法速度 ,快速得到最优解 ? 母题结构 :( )(线性 规划定理 ):在线性约束条件下 ,线性目标函数的最大值或最小值 ,必 在 可行域的顶点处取得 ; ( )(封闭区域 定理 ):若 线性约束条件 所表示的区域边界有 且恰有 n 个交点在区域內 ,则该区域是封闭区域 ;否则是非封闭区域 . ( )(最大小值定理 ) 若 线性约束条件所表示的区域是封闭的 ,则线性目标函数必有最大值 ,也必有最小值 ,且 最大值 是所有顶点值 的 最大 者 ,最小值 是所有顶点值 的 最小 者 ; 若 线性约束条件所表示的区域是 非 封闭的 ,则线性目标函数 或者只 有最大值 ,或者只 有最小值 . 母题 解 析 :略 . 子 题类型 :(2011 年安徽高考试题 )设变量 x,y 满足011则 x+2y 的最大值和最小值分别为 ( ) (A)1, (B)2, (C)1, (D)2,解析 :设 直线 l1:x+y=1,l2:,l3:x=0,则 (1,0)(在区域内 ),(0,1)(在区域内 ),(0,在区域内 ) 区域 是封闭的 ;当 (x,y)=(1,0)时 ,x+2y=1;当 (x,y)=(0,1)时 ,x+2y=2;当 (x,y)=(0, ,x+2y=x+2y 的最大值和最小值分别为 2,B). 点评 :利用 最大 (小 )值定理 的关键 : 求顶点 ,方法是把约束条件中的不等号变为等号 ,得到一列边界线 ,然 后 求两两边界线的交点 并判断是否在 可行 域 内 ,由此可 得 可行 域 的 所有顶点 ;判断 可行 域 是否是封闭的 ?然后求解 . 同 类 试题 : 1.(2012 年安徽高考试题 )若 x,y 满足约束条件 :32320则 取值范围为 . 2.(2011 年山东 高考试题 )设变量 x,y 满足约束条件002052则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为 ( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D) 子题类型 :(2015 年 广 东 高考试题 )若 变量 x,y 满足 约束条件2031854则 z=3x+2y 的 最小值 为 ( ) (A)4 (B)523(C)6 (D)531解析 : 直线 x+5y=8,l2;x=1,l3;x=3,l4:y=0,l5:y=2 可得点 A(1,54),B(3,C(2,0),D(),E(1,0),F(1,2), G(3,0),H(3,2),共 8 个 ;其中 ,A(1,54),C(2,0),F(1,2),G(3,0),H(3,2)是可行域的顶点 ,而 B(3,D(),E(1,0) 244 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 不 是可行域的顶点 区域 是封闭的 ;把 可行域的顶点 代入 z=3x+2y 知 ,当 z=3x+2y 过 A(1,54)时 ,B). 点评 :对于多边形区域 ,约束条件中的边界线 交点不一定都是 可行 域 的 顶点 ,由两条 边界线 求出的交点 ,代入余下的 约束条件 ,即可判断该交点是否是 可行 域 的 顶点 . 同 类 试题 : 3.(2014 年 湖北 高考试题 )若变量 x、 y 满足约束条件0,024则 2x+y 的最大值是 ( ) (A)2 (B)4 (C)7 (D)10 4.(2005 年山东高考试题 )设 x、 y 满足约束条件403012235则使得目标函数 z=6x+5y 的值最大的点 (x,y)是 . 域 子题类型 :(2009 年 课 标 高考试题 )设 x,y 满足22142则 z=x+y( ) (A)有最小值 2,最大值 3 (B)有最小值 2,无最大值 (C)有最大值 3,无最小值 (D)既无最小值也无最大值 解析 :设 直线 x+y=4,l2:1,l3:,则 点 A(1,2)(在区域内 ),点 B(2,0)(在区域内 ), 点 C(3)(不在区域内 区域 是 非 封闭的 );由 ,在区域内取点 P(5,6),则 1 zPzA,zP 最小值 B). 点评 :已知区域是非封闭的 ,且区域上的所有顶点值的最大者为 有顶点值的最小者为 区域内存在点 P,点 :当 zP线性目标函数 z 有最小值 ,且最小值 当 小 值 x+2y 0 命题 故 选 (C). 设 直线 l1:x+y=a,l2:1,则 点 A(21a,21a),由 平面区域 定理知 ,仅 知在点 A(21a,21a)处 ,21a+a21a=7 a= 3;但 a= ,在区域内取点 P(5,6),则 25 zP 大 值 ,故舍去 ,所以 ,a=B). 由封闭区域的顶点分别为 A(2,3),B(0,1),C(0,4) z 的最小值为 1. 由封闭区域的 顶点分别为 A(1,3),B(1,35),C(2,2) z 的最大值为 D). 246 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 由封闭区域的顶点分别为 A(0,2),B(1,0),C(1,25) z 的最小值为 B). 由封闭区域的顶点分 别为 A(2,0),B(1,3),C(5,3) z 的最小值为 A). 由封闭区域的顶点分别为 O(0,0),A(10,20),B(20,0),C(0,25) z 的最大值为 70. 由封闭区域的顶点分别为 O(0,0),A(0,3),B(3,6),C(3, z 的最大值为 9. 由封闭区域的顶点分别为 A(1,2),B(0,3),O(0,0),C(2,