3_8064947_19.向量功能.沟通代数几何的桥梁

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 645 中国 高考数学母题 (第 185 号 ) 向量功能 何的桥梁 平面向量融数形于一体 ,具 有代数 与几 何 的“ 双重身 份” ,是 中学数学知识网络的一个交汇点 ,架起了 代数 与几 何 相通的桥梁 ;向量 不仅具有表示条件的功能 ,而且还有解决问 题 的功能 . 母题结构 :( )(向量 语言 )解 答 有关 向量 语言 问题 的关键是翻译 向量 语言 ,即把 向量条件 ,或转化为代数 条件 ,或转化为几何 条件 ;既 “一条途经 ,两种手段” ,唯一途经 是 转化 ,转化的手段有 代数 与 几何 两种 ; ( )(解 题 功能 )巧用向量 线、 定比 、 夹角 (含垂直 )、 轨迹方程和面积等 问 题 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2011 年安徽高 考试题 )设 0,点 1,1),点 y=点 Q 满足 经过点 Q与 ,点 M = 求点 解析 :设 P(x,y),则 :M(x,由 Q(x,;由 B(1+ )(1+ )21+ );由 点 B 在抛物线 y= (1+ )21+ )=(1+ )2 2 (1+ )1+ )1+ )= 0 2. 点评 :利用 向量的坐标运算法则 ,把向量表达式等价转化为代数表达式 是 代数 转化 的有力手段 . 同 类 试题 : 1.(2014年 浙江 高考试题 )已知 :的焦点 ,点 3 ( )若 |3,求点 M 的坐标 ; ( )求 积的最大值 . 2.(2011 年 江 西 高考试题 )P(x0, a)是双曲线 E:22(a0,b0)上一点 ,M,N 分别是双曲线 E 的左、右顶点 ,直线 N 的斜率之积为51.( )求 双曲线 E 的离心率 ; ( )过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,O 为坐标原点 ,C 为双曲线上的一点 ,满足 求 的值 . 子题类型 :(2011 年课标高考试题 )在平面直角坐标系 ,已知点 A(0,B 点在直 线 y= ,M 点满足 M 点的轨迹为曲线 C.( )求 C 的方程 ; ( )P 为 C 上的动点 ,l 为 C 在 P 点处的切线 ,求 O 点到 l 距离的最小值 . 解析 :( )由 直线 y=|点 M 到 直线 y=距离 ;过 M 点作 点 H,则 | | M 点的轨迹 C 是以点 A(0,焦点 ,直线 y=准线的抛物线 C 的方程 :(y+2); ( )设 P(2t,则 C 在 P 点处的切线 l: O 点到 l 距离 d=1222 12t +112t 2,当且仅当 t=0时 ,等号成立 O 点到 l 距离的最小值 为 2. 点评 :挖 掘 向量运算的几何意义 ,把向量条件等价转 化为几何条件是 几何转化 的 根本 方法 . 同 类 试题 : 3.(2007 年福建高考试题 )如图 ,己知点 F(1,0),直线 l:x= 为平面上的动点 ,过 P 作直线 l 的垂线 ,垂足为 Q,且 ( )求动点 P 的轨迹 C 的方程 ; 646 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、 B 两点 ,交直线 l 于点 A = 1 2求 1+ 2的值 . 4.(2010 年陕西高考试题 )如图 ,椭圆 C:2222 的顶点为 2,2,焦点为 2,| 7 , 2211 S=22211 ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )设 n 是过原点的直线 ,l 是与 n 垂直相交于点 P、与椭圆相交于 A,B 两点的直线 ,|=1, 是否存在上述直线 l 使 =1 成立？若存在 ,求出直线 l 的方程 ;若不存在 ,请说明理由 . 子题类型 :(2008 年全 国高中数学联赛 河北 初赛 试题 )设向量 i,j 为直角坐标平面内 x 轴 ,y 轴正方向上的单位向量 a=(x+2)i+yj,b=(i+ |a|-|b|=2. ( )求 满足上述条件的 点 P(x,y)的 轨迹方程 ; ( )设 A(),F(2,0),问是否存在常数 ( 0),使得 成立？证明你的结论 . 解析 :( )设 2,0),0),则 |a|=|b|=|由 |a|-|b|=2 |2,由 双曲线 定义 知 点 迹 是以 2为焦点 ,实轴长为 2 的双曲线右支 点 P 的 轨迹方程 :(x0); ( )设 P(x0,1),则 3,(,(3,0),() | =2020 0 )1(1=)12(2 100 220 0x x;又 | = 2020 0)2(2=1220 0x x 常数 =2,使得 成立 . 点 评 :由于课标中删去了关于斜率的“夹角”公式 ,因此 ,对解 析几何中 角问题的 处理只有向量方法 ; 同 类 试题 : 5.(2012年北京高考试题 )已知曲线 C:(5-m)(m R).( )若曲线 求 ( )设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方 ),直线 y= 与曲线 C 交于不同的两点 M、 N,直线 y=1 与直线 于点 A,G, 6.(2015 年 福建 高考试题 )已知椭圆 E:222(ab0)过点 (0, 2 ),且离心率为22.( )求椭圆 E 的方程 ; ( )设直线 x=m R)交椭圆 E 于 A,B 两点 ,判断点 G()与以线段 直径的圆的位置关系 ,并说明理由 . 7.(2012 年江西 高考试题 )已知三点 O(0,0),A(),B(2,1),曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足 |= +2.( )求曲线 ( )动点 Q(x0,焦点 ,斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A(x1,B(x2,的两个动点 , O 是坐标原点 ,向量 足 |=|,设圆 C 的方程为 x2+x1+x2)x-(y1+y2)y =0.( )证明 :线段 圆 C 的直径 ; ( )当圆 C 的圆心到直线 的距离的最小值为552时 ,求 10.(2007年 辽宁 高考试题 )已知正三角形 其中 设圆 接圆 (点 C 为圆心 ).( )求圆 C 的方程 ; ( )设圆 M 的方程为 (2+(2=1,过圆 M 上任意一点 P 分别作圆 C 的两条切线 F,切点为 E,F,求 最大值和最小值 . 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 647 11.(2010 年 浙 江高考试题 )已知 m1,直线 l:,椭圆 C:22mx+,2分别为椭圆 C 的左、右焦点 .( )当直线 l 过右焦点 求直线 l 的方程 ; ( )设直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点 , 重心分别 为 G, 在以线段 直径的圆内 ,求实数 m 的取值范围 . 12.(2008 年安徽 高考试题 )设椭圆 C:2222 =1(ab0)过 点 M( 2 ,1),左焦点 为 2 ,0). ( )求 椭圆 C 的方程 ;( )当过 点 P(4,1)的 动 直 线 l 与椭圆 不同点 A、 B 时 ,在 线 段 取点 Q,满 足 :| |=| |,证 明 :点 Q 总 在某定直 线 上 . ( )设 A(2a,B(2b,P(2p,由 3 (a+b),13(a2+3 点 M(322,32); ( )由 a+b=a2+2(2 |p| 2 ;由 面积 =|(=|(920;令|t,则38208 f(t)=t(38 f (t)=38 积 取 最大值1355256. ( )e=530;( )双曲线 E: ( x1+ y1+= 2 (0;又联立 l 和 E 方程得 : 4c2+ 5 22 , 22 2 (45 22 2 )=0 =0 或 ( )过 H ,则 |=| | | 点 是以点 F 为焦点 ,直线 l 为准线的抛物线 动点 P 的轨迹 C:x; ( )设 A(a),B(b),则 (a),(b);由 (a=(b 1;由 1 1=221 1;由 2 2=221 1 1+ 2=221 1+221 1=221 1+1122a a=0. ( )椭圆 C:42x+32y=1;( )由 |=1, =1 = | =1=|2 00;设 A(r ,B( +900), +900),即 B(,其中 ,r=|R=|由 点 A,圆 =12,4=12212r=34212R=34212r+212R=7 |=| | |2=222| | 222r =21r+21R=1270,5点 G 在 圆 外 . 648 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )由 (2 |=2 22 )1( ,=2y;由 |=(+2 22 )1( =y+1 y 曲线 C:y; ( )假设存在点 P(0,t)( m 的取值范围 是 (1,2). ( )椭圆 C:24 22 =1;( )设 A(x1,B