19_3501685_3.积分上限函数及积分函数

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 积分上限函数及积分函数 问题 类型及解 法 设 f(x)在 a,b中可积 ,则 当 x a,b时 , (x)=xa (叫做积分上限函数 ,一般地 ,我们把含有定积分的函数称为积分函数 , 母题结构 :(积分上限函数的求导定理 )设 f(x)在 a,b中可积 ,若 (x)=xa (,x a,b,则 (x)=f(x), (x)是f(x)的一个原函数 解 题 程序 :积分函数中的定积分有两种形式 :形如 ba (的 形式 ,表示常数 ;形如 xa (的 形式 ,具有蕴含变量的功能 ， 这里 一定要分清函数的自变量 x 与积分变量 t. 分 函数 子题类型 :(2014 年 江西 高考试 题 )若 f(x)=10 )( 10 )( ) (A) (B)31(D)1 解析 :设 10 )( a,则 f(x)=a a=10 )( 10=31+2a a=B). 点评 :解决含有 ba (的积分函数 f(x)的问题程序 :设 ba (=m 得含参数 m 的 f(x)的解析式 ;求 定积分ba ( 代入巳知条件求 m;由 f(x)解决相关问题 . 数 的导 数 子题类型 :(1990年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 f(x)是连续函数 ,且 F(x)= (,则 F (x)等于 ( ) (A)f(x) (B)f(x) (C)f(x) (D)f(x) 解析 :令 g (x)=f(x),则 F(x)= (=g(g(x) F (x)=(x)(x)=f(x)A). 点评 :解决含有 xa (的积分函数 F(x)=xa (的问题有两条途径 :设 f(x)的原函数为 g(x),则 g (x)=f(x),且F(x)=g(x)-g(a),由 此 解决 相关问题 ; 直接利用 F (x)=f(x)解决 相关问题 . 数 的性质 子题类型 :(1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 F(x)= 2 t F(x)( ) (A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数 解析 :由 f(x)=周期为 2 的函数 F(x)= 2 t 20 t=0 t+ 2 t(令 t=则 dt=dx,0 t+ 0 x=0 0 t= 0 ( 故选 (A). 点评 :对 积分函数 的研究 ,要充分利用 定积分 的性质和几 何意义 ,本题 首先利用周期函数的 定积分 性质 : (= T ( ;接着 定积分 的运算 性质 :ba ( =ca ( +bc ( ;最后由 定积分 的 几 何意义 :“ 若 在区间 (a,b)内 ,f(x)0,则ba ( 0” ,解决 问题 . 1.(2011 年陕西 高考试题 )设 f(x)= a )0(3)0(若 f(f(1)=1,则 a= . 2.(2008 年山东高考试题 )设函数 f(x)=c(a 0),若 10 )( f(0 1,则 . 3.(1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 f(x)为已知连续函数 ,I=tts (,其中 t0,s0,则 I 的值( ) (A)依赖于 s 和 t (B)依赖于 s、 t 和 x (C)依赖于 t、 x,不依赖于 s (D)依赖于 s,不依赖于 t 4.(1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 f(x)是连续函数 ,且 f(x)=x+210 )( f(x)= . 5.(1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设 f(x)连续且 103 )(x x,则 f(7)= . 6.(1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= x 2(+ f(x)等于( ) (A) (B) (C)ex+ (D).(1993 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )函数 F(x)= x 12(x0)的单调减少区间为 . 8.(2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 (一 )试题 )设函数 f(x)= 20 )2ln(x f (x)的零点个数 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 由 a 3=t3|a0=当 x 0 时 ,f(x)=x+ 由 f(1)= f(f(1)=f(0)= a=1. 由 f(x)=c 10 )( 3110=31a+c c=31a+c 3. 令 tx=y,则 dy,y 0,s I=tts (=s (D). 令 10 )( a,则 f(x)=x+2a 10 )( 2110=21+2a=a a=f(x)=令 F (x)=f(x),则 103 )(x (F(0)=x 3(1 31 f(7)=121. 若 f(x)= x 2(= x t ln=足条件 B). 由 F